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Falhas na especificação do modelo: a heterocedasticidade pode também ser ... Na presenção de heterocedasticidade nos erros, os estimadores de MQO continuam.
Tipologia: Resumos
1 / 23
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Teorema de Gauss-Markov
O modelo só é válido para relações lineares.
Quem varia é o regressando, o regressor é fixo, qualquer que seja a amostra. Em
outras palavras, dados os valores controlados de x , Y variará aleatoriamente
segundo uma distribuição de probabilidade, com valor esperado dado por E( Y | x ).
É a mesma coisa afirmar que E( Y| x )= x i
´b.
i
2
2
Os erros são homocedásticos, ou seja, sua variância é uma constante.
i
j
Não há relação entre valores dos erros.
Definição Gráfica Quandt Pagan
White MQP MQGF Robusto
- Natureza das variáveis: alguns relacionamentos apresentam tipicamente
- Valores extremos: a ocorrência de um valor extremo na amostra pode inflacionar
- Falhas na especificação do modelo: a heterocedasticidade pode também ser
- Transformação dos dados: a transformação das variáveis (por exemplo,
2
i i
i i i Var e =^ s
Y = a+ b X + e
i i i
Y = a + b X + e
i i i i
2
1 2
a b b
i i i
Y = a + b X + e i i i
ln( Y )= a+ bln( X )+ e
Definição Gráfica Quandt Pagan
White MQP MQGF Robusto
possuem mais variância mínima). Em outras palavras, seja b o estimador de
MQO, então existe outro estimador b* tal que:
Homocedasticia
Intervalo de
Variação das
estimativas de
MQO
Intervalo de
Variação das
estimativas de
outro método
Heterocedasticia
Intervalo de
Variação das
estimativas de
MQO
Intervalo de
Variação das
estimativas de
um método
mais eficiente
Definição Gráfica Quandt Pagan
White MQP MQGF Robusto
2
j
Definição Gráfica Quandt Pagan
White MQP MQGF Robusto
ê
2
A dispersão
dos resíduos é
a mesma ao
longo de X
ê
2
A dispersão
dos resíduos é
uma função
linear de X
ê
2
A dispersão
dos resíduos
é uma função
quadrática de
X
ê
2
A dispersão dos
resíduos cresce
de maneira
quadrática com
os valores de X
σ constante
2
=
i
2 2
i
σ = σ X
2
1 i 2 i
2
i
σ = α X + α X
2
i
2 2
i
σ = σ X
Definição
Gráfica
Quandt Pagan
White MQP MQGF Robusto
Sejam os valores da amostra:
ï î
ï
í
ì
2
2
2
1 1
2
2
2
0 1
H : σ σ
H : σ σ
Passos para efetuar o teste de Goldfeld-Quandt
1 - Ordenar as observações da amostra de acordo com os valores de X ;
2 - Omitir c observações centrais para dar mais poder ao teste ( c costuma ser igual a 4 para n=30 e
c=10 para n=60) e separar observações em duas subamostras de ( n - c )/2 observações;
3 - Ajustar uma regressão para cada subamostra (cada regressão terá k variáveis independentes);
4 - Testar hipótese da igualdade dos erros quadráticos médios a partir da estatística F.
Regressão 1
Regressão 2
A omissão de c observações centrais objetiva acentuar a diferença
entre o grupo com variância pequena ( SQReg 1 ) e com variância
grande ( SQReg 2
).
SQRes gl
SQRes gl
1
( 1 )
2
= k
n c
onde gl
gl gl
,
p
Y 1 Y 2 ... Yn
1
2
n Onde:^ X 1 < X 2 <...< Xn
Para testar a hipótese nula da homocedasticia:
Definição Gráfica Quandt
Pagan
White MQP MQGF Robusto
4 , 99
526 , 7
2629 , 9
ˆ
ˆ
2
1
2
2 = = =
s
s
F
Regressão 1
Regressão 2
ï î
ï
í
ì
2
2
2
1 1
2
2
2
0 1
H : σ σ
H : σ σ
Amostra 1
i i i
Gasto Aliment = 12 , 6 + 0 , 18 Renda + e ˆ
Das 40 observações originais, foram eliminadas 6
observações centrais para dar mais poder ao teste.
Restaram dois subconjuntos com 17 observações cada.
Amostra 2
i i i
Gasto Aliment = 75 , 1 + 0 , 09 Renda + e ˆ
Fonte gl SQ QM F p
Regressão 1 5967,2 5967,2 11,33 0,
Resíduos 15 7900,0 526,
Total 16 13867,
Fonte gl SQ QM F p
Regressão 1 2308,6 2308,6 0,88 0,
Resíduos 15 39449,1 2629,
Total 16 41757,
estatística
de teste:
15 , 15
0 , 0017
Rejeita-se H 0
, ou seja, pode-se afirmar
que há diferença entre as variâncias
(heterocedasticidade) com uma
probabilidade de erro de apenas 0,17%
E para calcular a probabilidade de erro do tipo I:
Definição Gráfica Quandt
Pagan
White MQP MQGF Robusto
Do ajuste original por MQO obtivemos:
i i i
A partir dos resíduos de MQO, ajustamos o seguinte modelo auxiliar:
i i i
e ˆ 2 , 279 , 5 5 , 21 Renda u ˆ
2
=- + +
O teste de hipóteses será dado por:
î
í
ì
¹
=
: 0
: 0
1 1
0 1
d
d
H
H
2
aux
2
1
0 , 0005
A probabilidade de erro ao rejeitar H 0
é de apenas 0,05%. Em
outras palavras, há fortíssimas evidências para afirmarmos que os
erros são heterocedásticos pois ao fazermos tal afirmação
estaríamos sujeitos a uma chance de erro de apenas 0,05%.
2
aux
e = + Renda + u 0 1
2 ˆ d d
Definição Gráfica Quandt Pagan
White MQP MQGF Robusto
Passos para efetuar o teste de White
1 - Estimar os resíduos do ajuste de MQO para o modelo original de RLM;
2 - Ajustar um modelo auxiliar relacionando o quadrado dos resíduos às variáveis independentes
do modelo original, seus quadrados e produtos cruzados;
3 - Calcular a estatística LM pelo produto do número de observações e o R
2 do ajuste auxiliar;
4 - Calcular o valor p associado à estatística em uma distribuição c
2 com gl dado pelo número de
variáveis explanatórias do ajuste auxiliar;
2
aux
2
h
2
aux
p
ê
2
j
i i i i
Y = + X + X + e 1 1 2 2
i i i i i i i i
e = + X + X + X X + X + X + u
2
5 2
2
0 1 1 2 2 3 1 2 4 1
2
Onde h é o número de
variáveis explanatórias,
R
2
aux
o coeficiente de
determinação e n o número
de observações, todos
referentes ao ajuste
auxiliar
1
0 1 5
j
Seja o modelo de RLM com k =2:
Para verificar se os resíduos quadráticos têm relação com os
regressores, seus quadrados e seus produtos cruzados:
Para testar a hipótese nula da homocedasticia:
Definição Gráfica Quandt Pagan
White MQP^ MQGF^ Robusto
Dada a equação de RLM:
(^222)
1
2
2
2
2
1
0 0 0
0 0 ... 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 ... 0
0 0 0
0 0 0
( ) ( ) s s
s
s
s
e ee = V
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
= =
n^ n
T
v
v
v
Var E
y = Xβ + e
A equivalente matricial:
Haverá heterocedasticidade quando:
A equação de RLM equivale à
transformação:
A equação matricial equivale à trasnformação :
2 2
i i i
Var e = E e = s
Que pode ainda ser representado por:
i i
2 2
onde o fator vi indica
como varia a variância
de e para cada
observação i
A nova equação será homocedástica,
pois:
Haverá heterocedasticidade quando:
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
2
2
1
0 0 0 1
0 0 ... 0
0 1 0 0
1 0 0 0
v
v
v
Λ
A nova equação será homocedástica pois:
2 2
( Λee Λ )= ΛVΛ s = I s
T
E
Definição Gráfica Quandt Pagan
White (^) MQP MQGF Robusto
"
'
' )
)
"
"
∗
= $ + & '
' )
∗
⋯ + &
)
∗
∗
"
"
"
)
)
"
"
"
"
"
"
0
"
0
"
"
"
0
= 2
0
y = Xβ + e em que
Então: Λy^ =^ ΛXβ + Λe
em que
Λ Λ = V
T
2 2
( Λee Λ )= ΛVΛ s = I s
T
E
Definição
Gráfica Quandt Pagan
White (^) MQP MQGF Robusto
2 2 2
1
0 0 0
0 0 ... 0
0 0 0
0 0 0
( e ) s = V s
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
n
v
v
v
Var
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
2
2
1
0 0 0 1
0 0 ... 0
0 1 0 0
1 0 0 0
v
v
v
Λ
e
2
( ) s i i
As estimativas de MQO são:
Supondo que:
Para obter as estimativas de MQP, aplicamos MQO ao modelo transformado:
2 2
40
1
( ) s = V s
i i i
Definição Gráfica Quandt Pagan
White (^) MQP MQGF Robusto
(
(
(
(
(
(
(
Λy = ΛXβ + Λe
Λ Λ = V
T em que
As estimativas de MQP seriam:
(
(
(
∗
As estimativas de MQP são não tendenciosas e as mais eficientes. O estimador da variância
também é não tendencioso. Mas a validade dessas estimativas depende de um pressuposto
forte, que a variância dos erros seja de fato uma função linear da renda.
MQGF - V Desconhecida
y = Xβ + e com heterocedasticidade dada por:^
2
( ) s i i
i
β X V X X V y
1 1 1 ˆ )
ˆ (
ˆ
=
T T
i
1 1
0
2
i k k i
i i
= d + d + + d +
i
k k i
X X
i
v e
d d d
ˆ ...
ˆ ˆ
1 1
0
ˆ
=
Definição
Gráfica Quandt Pagan
White MQP (^) MQGF Robusto
