Guia de estudos Geometria analítica 2, Manuais, Projetos, Pesquisas de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Geometria Analítica

UNIDADE 2

UNIDADE 2 - RETAS E PLANOS

GEOMETRIA ANALÍTICA

Para início de conversa

Olá, estudante! Como vão os estudos? Espero que esteja tudo bem! Seja bem-vindo(a) a nossa II unidade, conto com seu comprometimento nesta nova jornada de estudos!

orientações da disciPlina

Antes de iniciar a leitura deste guia de estudo, faça a leitura de seu livro-texto, ela irá nortear seus estu- dos. Utilize também a nossa biblioteca virtual, busque novos conhecimentos. Assista a nossa videoaula ela foi elaborada com o objetivo de facilitar seu aprendizado. Ao final da nossa II unidade, acesse ao ambiente e responda a atividade e, em caso de dúvidas, não perca tempo e envie uma mensagem para seu tutor! Nesta unidade o seu livro-texto (BUP – Boris Junior), páginas 37 a 58, apresenta uma exposição dos princípios conceitos, propriedades e equações de Retas e Planos que iremos trabalhar neste momento. Inicialmente, você refletirá e procurará entender um conceito de reta, a partir de uma conceituação geo- métrica baseada na Geometria Euclidiana. Esse conceito euclidiano, agora, é reforçado por uma análise algébrica que atinge os objetivos surgindo às equações de reta. Posteriormente, você fará uma comparação do estudo de reta e poderá avançar ampliando os conceitos para o estudo do plano. Espero que você faça uma proveitosa leitura no seu livro-texto. Nesta primeira parte da unidade II, leia as páginas 37, 38, 39, 40, 41 e 42, observe a exposição dos conceitos e as conclusões necessárias para chegar às diferentes equações da reta.

leitura comPlementar

Se você ainda não aceitou plenamente as ideias que culminaram com a conclusão da equação vetorial da reta r, = , retorne as páginas 37, 38, 39 e 40 do livro-texto e resuma o seu entendimento para a compreensão da equação vetorial trabalhada com a anotação utilização.

Então? Vamos fazer um exemplo para verificarmos o aprendizado e dirimir as possíveis dúvidas.

exemPlo

1 - Imagine um ponto A (3 ,-2, 3) e um vetor diretor. Determine um ponto da reta acima definida. Solução: consideremos um ponto genérico P (x, y, z) da reta definida na questão, um parâmetro K e escre- vemos a equação vetorial na forma como aprendemos: = :. P - A=

Guarde essa ideia!

(lembre-se que o vetor = P - A, ponto final menos ponto inicial). P - A = :. P = A + (Substituindo) (x, y, z) = (3, -2, 3) + K ( -2, 2 ,-2) Logo, como K é um número real, ele pode variar de (-∞,+∞), ou seja, K é um número real, sendo assim um ponto P genérico pode descrever a reta r. Se fizermos K = 2 (é um valor real arbitrário).

Guarde essa ideia!

(x, y, z) = (3, -2, 3) + 2 (-2, 2, -2) (lembre como trabalhar as operações indicadas no 2° membro; temos que considerar as operações com as coordenadas de mesmo nome). (x, y, z) = (3, -2, 3) + (-4, 4, -4) (x, y, z) = (-1, 2, -1) Então, o ponto de coordenadas (-1, 2, -1) é um ponto pertencente à reta r.

exemPlo

2 - Imagine o ponto A (1, 0, 1) e o vetor diretor. Determine um ponto pertencente à reta definida pelo vetor diretor e o ponto dado, usando o parâmetro K = 2. Fica este para o aluno exercitar. A resposta encontrada para o ponto procurado com K = 2 é (-3, 4, -3). Muito bem! Acertou na mosca! Agora, consulte novamente o seu livro-texto e faça uma nova leitura das páginas 40, 41 e 42. Ok! equações da reta na forma paramétrica

Palavras do Professor

Caro(a) aluno(a), já que você acompanhou a construção da equação vetorial da reta, ficou mais fácil para entender as equações paramétricas. Considere agora um sistema de coordenadas e volte a observar a figura que fizemos no início do item 2 (Equação Vetorial da Reta). Utilizando a mesma anotação escreva a equação vetorial que lá obtivemos:

= P - A= (substituindo) P = A + (x, y, z) = (x 1 , y 1 , z 1 ) Multiplique o parâmetro K por cada coordenada correspondente do vetor V = (a, b, c). (x, y, z) = (x 1 , y 1 , z 1 )

• (ka, kb, kc). Sendo assim, separando para cada coordenada x, y, z, obtemos:

Que lindo! Um sistema de equação com o mesmo parâmetro K. Vamos entender como isso acontece na prática?

Agora substituindo na respectiva equação vetorial temos. = ou P – A = K. , sendo assim com os valores dados e obtidos abaixo: a) - (x, y, z) = (3, -2, 3) + (3, -2, 3) + K (-2, 2, -2) b) - Para escrever as equações da reta na forma paramétrica retornamos à equação vetorial no item aci- ma: (x, y, z) = (3, -2, 3) + (-2K, 2K, -2K) e separando os valores por respectivas coordenadas ; E separado os valores por respectivas coordenadas; x = 3 – 2k (lembrete: = V, da maneira que procuramos resolver). y = -2 + 2k z = 3 – 2k

Ótimo! Assim ficou fácil? c) - Para verificarmos se um ponto dado pertence à reta r, você substitui cada coordenada do ponto dado pela respectiva coordenada na equação paramétrica, e assim, encontrará o valor do parâmetro K. Encon- trando o mesmo valor de K em todas as equações, você irá concluir que o ponto pertence à reta, por outro lado se o valor de K falha, em pelo menos uma vez você poderá dizer que o ponto não pertence à reta.

• O ponto C (-1, 2, -1) substituído nas equações: (veja a equação acima). Para x = -1, x = 3 – 2K :. -1 = 3 – 2K :. -2K = -4 :. K = 2 Para y = 2, y = - 2 + 2K :. 2 = -2 + 2K :. 2K = 4 :. K = 2 Para z = 2, z = 3 – 2K :. -1 = 3 – 2K :. -2K = -4 :. K = 2 O valor de K em todas as equações paramétricas que substituímos foi sempre o mesmo K = 2. Concluímosque o ponto C pertence à reta r.

O ponto D (5, 1, 5) substituído nas equações paramétricas: Para x = 5, x = 3 – 2k :. 5 = 3 – 2k :. – 2k = 5 – 3 :. -2k = 2 :. k = - Para y = 1, y = -2 + 2k :. 1 = -2 + 2k :. k = Como o valor de K já não é o mesmo encontrado na primeira equação, podemos parar e concluir que o ponto D não pertence à reta r.

Que bom! Tenho certeza que você entendeu direitinho! d) Você agora vai dizer: Peguei o avião. O ponto E (1, 0, 1) Para x = 1 :. 1 = 3 – 2k :. k = 1 Para y = 0 :. 0 = -2 +2k :. k = 1 Para z = 1 :. 1 = 3 – 2k :. k = 1 Conclusão: O valor de K para que o ponto E pertença à reta r é K = 1. Obs.: Por coincidência, verifique que este ponto E tem as mesmas coordenadas do ponto B (1, 0, 1) dado no problema ao definir a reta. Isto reforça que estamos no caminho certo! equações simétricas da reta

leitura comPlementar

É bom você dar uma passada nas páginas 40 e, principalmente, 41 e 42 do seu livro- texto. Leu as páginas indicadas? Entendeu o conceito de simetria que o autor quer passar? Espero que sim! Então, na prática, você escreve as equações paramétricas da reta da mesma forma que fizemos para chegarmos a elas, veja lá na página 4? x = x 1 + ka y = y 1 + kb (K IR) z = z 1 + kc Um ponto A (x 1 , y 1 , z 1 ) e um vetor diretor V = ( a, b, c). Observou a página? Conferiu? Tire o valor do parâmetro K em todas as equações. Se:

Finalmente, 1 = -1 = 1 é uma sentença falsa! O ponto Q não pertence à reta r. condição para alinhamento de três pontos Dados três pontos A (x 1 , y 1 , z 1 ) e B (x 2 , y 2 , z 2 ) e C (x 3 , y 3 , z 3 ), a condição para que estes pontos estejam ali- nhados é que os vetores e sejam colineares.

Palavras do Professor

Que condição é essa? Volte ao guia da unidade I, e consulte no final da página. 3 e início da 4 o item 5. Tipos de vetores: mais em baixo, no final da página 3 você encontrará: Condições de paralelismo entre vetores. Sejam V e U dois vetores: V = KU, (nestas condições, os vetores v e u são paralelos ou colineares) para K IR. Faça: = e = , então = K

Guarde essa ideia!

Os vetores e são colineares. Certo? Verificou isso lá no guia da unidade I? Essa condição de pa- ralelismo e/ou alinhamento entre vetores é muito importante. Esquecer jamais! = K. Então, para os pontos A, B, C alinhados = K é o mesmo que = K

, (separando as coordenadas de mesmo nome).

exemPlo

Dados os pontos A (5, 2, -6), B (-1, -4, -3) e C (7, 4, -7) verifique se estes pontos estão alinhados. Solução: encontramos a condição acima que substituindo temos:

Realmente os pontos dados são colineares. interseção entre retas

leitura comPlementar

Antes de iniciarmos os comentários deste item, recomendo uma breve leitura no seu livro-texto – BUP, páginas 44, 45 e 46. Entendeu? Achou fácil? Realmente! Você aprendeu ainda no ensino fundamental que duas retas distintas são concorrente quando possuem um único ponto em comum. Considerando as equações de duas retas, basta igualar as coordenadas x, y, z de cada uma delas. Observe que ao igualar as coordenadas x, y, z das duas retas forma um sistema linear, obtendo 3 equações com 2 incógnitas. Ao resolvermos o sistema, obtemos sua solução ou verificamos que não existe solução.

Praticando

Resolva agora está bronca: Você então pode duvidar: Quando resolvemos o sistema, encontramos os valores de dois parâmetros nas duas equações iniciais que trabalhamos. E você pergunta: Estes valores para os parâmetros que foram encontrados são a solução do sistema? Ainda não! (Eu respondo) E agora, que faço? (Você pergunta)

Por exemplo, substitua K=1 na reta R:

O ponto de interseção das retas é (2, 1, -2)

ÂnGulo entre retas

leitura comPlementar

Leia o texto no guia, em produto escalar de dois vetores unidade I página 10 no seu livro-texto – BUP e utilize os mesmos princípios, a mesma fórmula para determinar o ângulo entre duas retas.

exemPlo

1. Volte à página 10 do guia e faça novamente o exercício resolvido.
2. Leia e faça o exercício resolvido na página 46 do seu livro-texto – BUP.

Plano

Palavras do Professor

Vamos continuar a nossa viagem percorrendo conceitos da Geometria Analítica. Antes de iniciarmos alguns comentários sobre plano, postulados e equações do plano, é con- veniente que você pegue seu livro-texto – BUP e faça uma leitura das páginas 52 a 56.

Aproveitou bem a leitura? Que bom! Então, deu para entender que o princípio fundamental é o postulado geométrico euclidiano que diz: Três pontos distintos e não alinhados determinam um único plano. A partir deste princípio, vamos explorar as ideias que nos levam a conhecer as diferentes equações do plano. Já imaginou por que se diz? Uma mesa com três pés está numa posição de melhor equilíbrio que outra com quatro pés.

equação vetorial do plano Seja A um ponto de um plano e um par de vetores = (a, b, c) e = (e, f, g); vetores diretores. Um ponto “P” pertence ao plano se o conjunto ( , ) é LD, ou seja, um dos vetores é uma combinação linear dos outros dois. Considere:

Considere:

exemPlo

Dado o ponto A (1, 2, 1) e os vetores diretores = (1,-4,5) e = (2, 1, 3), determine duas equações veto- riais do plano assim definido. Solução: Usando A, u e v obtemos uma equação vetorial. P = (x 1 , y 1 , z 1 ) + K (a, b, c) + L (e, f, g) P = (1, 2, 1) + K (1, -4, 5) + L (2, 1, 3 Para obter outras equações vetoriais podemos adotar como vetores diretores ( + ) e ( - ), que ficaria assim: P = (1, 2, 1) + K ( + ) + L ( - ), Sendo:

• = ( 3, -3, 8) - = (-1, -5, 2)

Trabalhando com as duas primeiras equações, ficam:

Temos, somando as equações acima e à direita: 9L = -18, donde L = - Substituindo para encontrar K, temos: 4K + 8L = -8, onde 4K + 8 (-2) = -8, então, 4K = -8 + 16, onde K = 2 Usando finalmente a equação n. 03 z = 1 + 5K + 3L, onde 5 = 1 + 5 (2) + 3 (-2) Verificamos a igualdade; 5 = 1 + 10 – 6, onde 5 = 5. Conclusão: O ponto B (-1, -8, 5) pertence ao plano. O ponto C (1, 0, -2), fica como exercício. Resposta: Você vai encontrar que o ponto C não pertence ao plano cartesiano. equação Geral do plano Esta é também uma importante equação do plano. Esta equação como também as equações anteriores são muito importantes no estudo do cálculo veto- rial. Seja A (xdefinido é o conjunto de pontos P ( x, y, z) do espaço tais que: 1 , y 1 , z 1 ) um ponto pertencente a um plano e^ = (a, b, c) um vetor^ não nulo, o plano agora

Lembre que esta operação é um produto interno de vetores ortogonais que vimos na unidade I (produto escalar de vetores). Dois vetores são ortogonais quando o produto interno destes é igual à zero.

Acompanhe o desenvolvimento a seguir aplicando o produto interno de vetor.

Organizando e separando os termos genéricos dos termos que são constantes ax + by + cz - ax 1 - by 1 – cz 1 = 0, observe que; - ax 1 – by 1 – cz 1 = d, pois todo este termo é constante. Logo, teremos ax + by +cz + d = 0, conhecida como equação cartesiana ou equação geral do plano. Espero que você esteja acompanhando as informações para a construção das equações do plano. Vamos exercitar mais uma vez com números? Você quer tirar as dúvidas? Quando usamos o produto devetores?

Procure rever produtos de vetores no guia da unidade I, páginas 8 a 12. E, mais precisamente, o produtointerno. Você também tem outra opção: consultar o seu livro-texto – BUP, páginas 27 a 31, e mais preci- samente as páginas 27 e 28 que se referem a produto escalar, pois estamos usando agora nesta nossa exposição. Exemplos: 1 - Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto A ( 2, -1, 3 ) e tem o vetor = ( 3, 2, -4) como vetor normal ao plano. Solução: A equação geral é ax + by + cz + d = 0, onde a, b, c, são as coordenadas do vetor , substituindo- -as; 3x + 2y – 4z + d = 0. Precisamos encontrar o valor de “d” que tem valor; d = - ax 1 - by 1 – cz 1 donde d = - (3). (2) – (2). (-1) – (-4). (3), ou seja, d = - 6 + 2 + 12, onde d = 8, então a equação do plano fica, 3x + 2y – 4z + 8 = 0. 2 – Determine a equação do plano que passa por A (1, 3,-2) e que tem vetor ortogonal = (2, -3, 2) Solução: Pode fazer tomando os mesmos princípios usados no problema anterior, ou seja, assim como em .

Palavras do Professor

Prezado(a) aluno(a), chegamos ao final da nossa II unidade. Chegou o momento de colocar em prática os seus conhecimentos, acesse o ambiente virtual e responda as atividades. Caso tenha alguma dúvida, pergunte ao seu tutor. Bons estudos e até a próxima unidade!