Introdução à Geometria Analítica: Conceito de Vetor, Manuais, Projetos, Pesquisas de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Geometria Analítica

UNIDADE 1

Para início de conversa

Olá, estudante! Seja bem-vindo(a) a nossa disciplina Geometria Analítica. É um prazer ter a sua companhia nesta nova jornada de estudos. Conto com seu comprometimento, pois ele será a chave para seu sucesso.

orientações da disciPlina

Prezado estudante, antes de iniciar o estudo deste guia é primordial que você faça a leitura de seu livro- -texto. Para sua melhor compreensão assista também a videoaula, caso queria fazer novas pesquisas aces- se a nossa biblioteca virtual.

Ao final da nossa unidade, não deixe de acessar o ambiente e responder as atividades. Caso você tenha alguma dúvida, envie uma mensagem para seu tutor, ele está apto para quaisquer tipos de esclarecimentos.

Espero que esteja preparado(a), vamos começar!

Palavras do Professor

Caro(a) aluno(a), no início desse curso da disciplina Geometria Analítica eu gostaria de fazer alguns co- mentários sobre o conteúdo a ser abordado nessa unidade I. Bem, o foco dessa unidade é a conceituação

de vetor e, posteriormente, entender as características, propriedades e operações com vetores, para tanto você, aluno(a), deverá ter uma ideia clara e precisa de o que é um vetor.

É fato, e eu mesmo reconheço que a definição de vetor não constitui tarefas das mais simples, pois se trata de um objeto da matemática um tanto abstrato, mas entendo e farei você compreender a importância da materialização desse objeto no estudo das ciências exatas e da natureza. Ora, como seria possível fazermos estudo de algo que não vemos efetivamente, por exemplo, a força, que é um vetor, nós até podemos senti- la, mas efetivamente não a vemos.

É aí que o vetor se apresenta mostrando a importância de representá-lo, através de uma imagem, e daí o estudo dessa grandeza abstrata passa a ser materializada através de sua imagem.

Esta disciplina lhe dará subsídios importantíssimos para que você tenha êxito em várias disciplinas no decorrer do seu curso.

E sobre vetores o que podemos falar?

Quando alguém lhe pergunta o que é um vetor, qual a primeira imagem que vem a sua mente?

Uma flecha? Uma seta?

Isso. É esta a ideia intuitiva de vetor. Pois o que é um vetor senão um segmento de reta orientado.

Fonte:Autor,

Ora, como identificarmos a posição de cada uma dessas flechas? Vamos associar a cada flecha um número (bem original). Que número é este? O número que representa a medida do ângulo que cada flecha forma com o eixo horizontal. E veremos, mais adiante, que a esta posição associaremos outro número (ainda melhor), qual seja, o número chamado tangente do ângulo.

Fonte: Autor: 2016

Daí, se duas ou mais flechas formarem ângulos com a mesma medida, dizemos que todas têm a mesma direção. Assim, a posição de cada flecha fica determinada por um número que é o ângulo que forma com o eixo, deste modo podemos definir a direção, por este número que é a medida do ângulo, pois, a cada posição é associada um e somente um ângulo.

dica

E aí? O texto acima deixa claro o que é a direção de um vetor? Ainda tem dúvida? Para maior esclareci- mento faça a leitura da página 5 até a 8 do seu livro-texto BUP. E então entendeu as características de um vetor? Acredito que sim!

rePresentante de Um vetor

Imagine, agora, um conjunto formado por todos os segmentos orientados que têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Este conjunto define o vetor geométrico.

Segundo essa definição, quando desenhamos uma flecha (segmento de reta orientado) para indicar um vetor, estaremos na verdade, tomando um representante de todos os vetores que têm aquela direção, aquele sentido e o mesmo comprimento. Este objeto, assim definido, é de grande importância e é aplicado no campo da física e com muita vantagem para representar as chamadas grandezas vetoriais.

tipos de vetores

Pois bem, neste momento iniciaremos o estudo dos tipos de vetores, pois existem alguns vetores que são bem peculiares. Vamos conhecê-los agora!

vetor nulo: Vimos que o vetor geométrico tem comprimento. Se este comprimento for igual à zero, o

vetor representante é chamado vetor nulo 0

vetor Unitário: Vetor que tem comprimento igual a 1. Então a sua norma ou módulo é 1.

Posição relativa entre dois vetores

vetor oposto: O vetor AB tem sentido de A para B. O oposto a ele é o vetor BA que tem sentido de B para A. Note que estabelecemos a igualdade entre estes dois vetores pela expressão algébrica AB = BA.

Vetores paralelos ou colineares.

Vetores iguais.

Vetores Equiversos e contraversos.

Vetores coplanares.

Condições de Paralelismo Entre dois Vetores.

Considere dois vetores u = (x 1 , y 1 , z 1 ) e v = (x 2 , y 2 , z 2 ) que sejam colineares ou paralelos.

Nestas condições existe um número real k tal que v = k ∙ u.

Conclusão: Dois vetores são paralelos, então, suas coordenadas são proporcionais e o número real k é chamado de constante de proporcionalidade.

Convido você, caro(a) aluno(a), a fazer uma breve leitura sobre esses tipos de vetores nas páginas 8, 9 e 10 de seu livro texto BUP.

Você leu o que foi recomendado? E aí? Entendeu bem esses tipos de vetores? Ótimo!

Módulo de um vetor é a medida do seu comprimento. Leia as páginas 11 e 12 do seu livro texto BUP.

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Em R^3 a base canônica é (i, j, k) e as coordenadas são (x, y, z). Uma vez que os tores i, j e k constituem uma base para R^3 , ou seja, o espaço então qualquer vetor do R^3 poderá ser escrito como uma combinação linear dos vetores i, j e k.

módulo de Um vetor v

É a medida de seu comprimento.

Para vetores no plano temos ‖v‖=√(x^2 + y^2 ) e para vetores no espaço

‖v‖=√(x^2 +y^2 + z^2 )

versor de Um vetor

Agora falaremos em particular de um vetor. Esse a que me refiro é chamado de

VERSOR. Não está escrito errado é versor mesmo. Este cara é tão conhecido na comunidade científica, mas o meu editor de texto não o reconhece!

Só faz sentido falar de versor de um vetor. Então o versor de um certo vetor não nulo é um vetor unitário que possui a mesma direção e mesmo sentido do vetor considerado.

A expressão analítica que permite encontrar o versor de certo vetor é:

Onde u →^ é o versor do vetor v →.

aplicação 2 - Verifique que o vetor é unitário.

Solução: Para verificarmos se o vetor (AB) →^ é, de fato, unitário teremos que mostrar que o seu módulo é igual a 1. Então vejamos.

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exemPlo

Aplicação 2 - Encontre o verso do vetor v = (3,-4).

Solução: Cálculo do módulo de v.

leitUra comPlementar

Leia a página 11 do seu livro texto BUP para melhor entender. Bom, agora você sabe o que é um versor? Se a resposta é sim, então vamos em frente.

oPerações com vetores

Neste item, estudaremos as seguintes operações com vetores:

1. Multiplicação de um vetor por um número real; também chamada de multiplicação de um vetor por um escalar.
2. Soma ou adição de vetores.
3. Diferença de vetores.

leitUra comPlementar

Sobre essas operações consulte as páginas 12, 13 e 14 do seu livro-texto BUP e faça uma leitura minuciosa sobre esse item. E então, gostaram da leitura? Entenderam as operações com vetores? Ótimo!

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leitUra comPlementar

Mas, se eventualmente você ainda tem dúvidas sobre esse conteúdo, sugiro que con- sulte Steinbruch e Winterle. Para sua compreensão do conceito de ângulo entre veto- res, leia as páginas 18 e 19 do seu livro texto PUB.

E então, leu o conteúdo que eu sugeri?

Ótimo, observou que o ângulo entre dois vetores é sempre o menor ângulo entre eles, isso é importante.

Nas próximas unidades, esse conceito será importante quando estudarmos uma operação conhecida por produto interno ou escalar.

O nosso próximo objetivo é a decomposição de um vetor no plano e no espaço.

decomposição de vetores

Algumas vezes, na prática, existe a necessidade de, dado um vetor em certa direção, decompomos ele em certas direções, isto é o que chamamos de decomposição de vetores, ou seja, encontrar as suas coor- denadas em relação a um sistema de eixos. Se esse sistema de eixo está no plano, então, as forças são decompostas no plano. Caso esses vetores estejam em três dimensões, então, diz-se que a decomposição é espacial. Agora pegue o livro-texto PUB e faça a leitura da página 19 até a 26.

Produto de vetores

Na primeira parte desta unidade foram definidos conceitos, propriedades e operações com vetores. Duas operações com vetores foram apresentadas: adição de vetores e multiplicação de um vetor por um escalar (número real).

Completando a explanação sobre vetores, você vai conhecer os produtos de vetores. Sabemos que as grandezas físicas estão divididas em dois grandes grupos, ou seja, elas são escalares ou vetoriais. As grandezas escalares ficam perfeitamente caracterizadas por um número e sua unidade de medida, se exis- tir, já as grandezas vetoriais, além do número e de sua unidade de medida, necessitam de módulo, direção e sentido. Desta forma, as operações de produto de vetores seguem certas regras a serem cumpridas.

ProdUto interno oU ProdUto escalar

O produto interno associa dois vetores a um número real, obedecendo à seguinte expressão.

Dados os vetores:

Obs.: Se o produto escalar entre dois vetores é nulo, então, esses vetores são ortogonais.

O produto interno ou escalar tem importância fundamental no conteúdo que será desenvolvido na unidade II. Esta operação também será importante para determinarmos ângulos entre dois vetores e projeção de um vetor na direção de outro. Pegue o livro-texto PUB e faça a leitura das páginas 27 e 28. Fez a leitura sobre produto escalar? E aí, surgiu alguma dúvida?

Vejamos algumas aplicações do produto escalar.

aplicação 1 - Determine o ângulo interno relativo ao vértice A do triângulo ABC, sendo A(3,-3,3) , B(2,-1,2) e C(1,0,2).

Solução.

Observe que o ângulo A é ângulo entre os vetores AB e AC.

aplicação 2 - Se u = (0,2) e v = (3,3), então, determine o ângulo entre esses dois vetores.

Solução:

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Produto misto

Este produto de vetores é uma combinação dos produtos escalar e vetorial.

Considere os vetores u, v e w, o produto misto destes três vetores, tomados nessa ordem, é o número real:

exemplo 1 - Determine o produto misto dos vetores u = (1, -1, 3), v = (2, 1, -2) e w = (1, 0, -1).

Solução: Encontre o valor do determinante abaixo, que tem como solução o número real -2, visto que o produto misto é um número real.

Para resUmir

• O produto misto é o produto de três vetores e tem como solução um número real.
• O produto vetorial é produto de dois vetores e tem como solução um vetor. (É uma operação para o R^3 ).
• O produto misto é um produto ternário de vetores no R^3.

Palavras do Professor

Prezado(a) estudante, chegamos ao final da nossa I unidade. Acredito que você assimilou todo o conteúdo explicado. Caso tenha alguma dúvida, faça uma nova leitura de seu livro-texto.

acesse o ambiente virtUal

Caro(a) aluno(a), agora chegou o momento de colocar em prática seu aprendizado, acesse o ambiente virtual e responda as atividades. Caso tenha alguma dificuldade, envie uma mensagem para seu tutor.

Bons estudos e até a próxima unidade!

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