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Gráficos X-Bar y S
Resumen
El procedimiento Gráficos X-Bar y S crea gráficos de control para una simple variable numérica cuando los datos han sido recabados en subgrupos. Crea un Gráfico X-bar para monitorear las medias subgrupales y un Gráfico S para monitorear las desviaciones estándar subgrupales. Las señales fuera-de-control son iluminadas incluyendo los puntos que se encuentran más allá de los límites de control y cualquier racha inusual en los datos. Los Gráficos pueden ser construidos ya sea en el modo Estudio Inicial (Fase 1), donde los datos actuales determinan los límites de control, o en el modo Control a Estándar (Fase 2), donde los límites provienen de un estándar conocido o de datos previos.
El resultado y las opciones disponibles en el procedimiento Gráficos S y X-bar son similares a aquellos del procedimiento Gráficos X-bar y R. Este documento señalará solamente las diferencias entre los dos procedimientos. Para una discusión detallada de las opciones comunes refiérase a la documentación para Gráficos X-Bar y R.
StatFolio de Muestra: xbarschart.sgp
Datos de la Muestra:
El archivo pistonrings.sf3 contiene las mediciones hechas sobre el diámetro de los anillos de los pistones de los motores de automóviles tomados de Montgomery (2005). Los datos consisten en m = 25 muestras de 5 anillos cada una. La tabla de abajo muestra una lista parcial de los datos en ese archivo:
Sample X1 X2 X3 X4 X 1 74.030 74.002 74.019 73.992 74. 2 73.995 73.992 74.001 74.011 74. 3 73.988 74.024 74.021 74.005 74. 4 74.002 73.996 73.993 74.015 74. 5 73.992 74.007 74.015 73.989 74. 6 74.009 73.994 73.997 73.985 73. 7 73.995 74.006 73.994 74.000 74. 8 73.985 74.003 73.993 74.015 73. 9 74.008 73.995 74.009 74.005 74. 10 73.998 74.000 73.99 74.007 73. 11 73.994 73.998 73.994 73.995 73. 12 74.004 74.000 74.007 74.000 73.
STATGRAPHICS se refiere a cada fila del archivo como un subgrupo. El tamaño del subgrupo es n = 5.
Captura de Datos
En la captura de datos para este procedimiento el usuario puede introducir:
- las mediciones originales
- las medias de los subgrupos y las desviaciones estándar.
Caso #1: Introduciendo las Mediciones Originales En este caso, los datos que serán analizados consisten en las mediciones originales tomadas de una simple variable.
- Observaciones: una o más columnas numéricas. Si se introduce más de una columna, cada fila del archivo se asume que representa un subgrupo con tamaño de subgrupo n igual al número de columnas introducidas. Si solamente una columna es introducida, entonces los Números Subgrupales o el campo Tamaño es usado para formar los grupos.
- Número o Tamaño de Subgrupos : Si cada conjunto de n filas representa un grupo, introduzca el único valor n. Por ejemplo, introducir 5 implica que los datos en las filas 1-
- Estadísticos por Subgrupo : los nombres de la columna que contiene las medias subgrupales y las desviaciones estándar de los subgrupos.
- Números o Tamaño de Subgrupos : Si todos los subgrupos contienen el mismo número de observaciones, introduzca el único valor n. De otra manera, introduzca el nombre de una columna numérica que contenga los tamaños de los subgrupos.
- Etiquetas de Subgrupos: etiquetas opcionales para cada subgrupo.
- Selección: selección del subconjunto.
Gráfico X-bar
Este Gráfico grafica las medias de los subgrupos (^) x (^) j.
Gráfico X-bar para X1-X
0 5 10 15 20 25 Subgrupo
74
X-bar
CTR = 74.
LSC = 74.
LIC = 73.
En el modo Fase 1 ( Estudios Iniciales ), la línea central y los límites de control son determinados a partir de los datos. La línea central está localizada en el promedio cargado de las medias de los subgrupos.
=
m
j
j
m
j
j j
n
n x x
1
Los límites de control son colocados arriba y abajo de la línea central en:
n
x k
donde k es el múltiplo de sigma especificado en la tabulación Gráficos de Control del cuadro de
diálogo Preferencias ( k = 3 excepto en casos raros), σˆ es la estimación de la sigma del proceso
y n es el tamaño subgrupal. Si los tamaños de los subgrupos no son iguales entonces dependiendo de las Opciones de Análisis si n es reemplazado por:
(1) n , el tamaño subgrupal promedio. En este caso, los límites de control son los mismos para todos los subgrupos.
(2) nj , los tamaños de los subgrupos individuales. En este caso, los límites de control son funciones peldaño.
El método para estimar la sigma del proceso también depende de las especificaciones en la tabulación Gráficos de control del cuadro de diálogo Preferencias como se discute en la sección Resumen del Análisis de abajo.
- Marcar Violaciones a Reglas de Secuencias: señala con un símbolo de punto especial cualquier secuencia o racha inusual. Las reglas de las corridas aplicadas de manera predeterminada son especificadas en la tabulación Pruebas de Corridas del cuadro de diálogo Preferencias.
- Zonas de Color: verificar este Gráfico para mostrar zonas verdes, amarillas y rojas.
Gráfico S
Este Gráfico grafica las desviaciones estándar de los subgrupos s (^) j.
Gráfico S para X1-X
0 5 10 15 20 25 Subgrupo
0
S
CTR = 0.
LSC = 0.
LIC = 0.
En el modo Fase 1 ( Estudios Iniciales ), la línea central y los límites de control son determinados a partir de los datos. La línea central está localizada en:
CL = σˆ (3)
Los límites de control son localizados arriba y debajo de la línea central en los siguientes lugares:
4 4
c n c n
k CL ± −
donde k es el múltiplo de sigma especificado en la tabulación Gráficos de Control del cuadro de
diálogo Preferencias ( k = 3 excepto en casos raros), σˆ es la estimación de la sigma del proceso
y n es el tamaño subgrupal. Si los tamaños subgrupales no son iguales, Opciones de Análisis especifica si se usa el tamaño subgrupal promedio o los tamaños subgrupales individuales.
El Gráfico S para los datos de la muestra no muestra señales inusuales.
Opciones de Cuadro Las mismas opciones existen para el Gráfico X-bar.
Reportes de los Subgrupos
Este cuadro tabula los valores graficados en los gráficos de control:
Reporte de Subgrupos Todos los Subgrupos X = Excluida * = Fuera de Límites Subgrupo Tamaño X-bar S 1 5 74.0102 0. 2 5 74.0006 0. 3 5 74.008 0. 4 5 74.003 0. 5 5 74.0034 0. 6 5 73.9956 0. 7 5 74.0 0. 8 5 73.9968 0. 9 5 74.0042 0. 10 5 73.998 0. 11 5 73.9942 0. 12 5 74.0014 0. 13 5 73.9984 0. 14 5 73.9902 0. 15 5 74.006 0. 16 5 73.9966 0. 17 5 74.0008 0. 18 5 74.0074 0. 19 5 73.9982 0. 20 5 74.0092 0. 21 5 73.9998 0. 22 5 74.0016 0. 23 5 74.0024 0. 24 5 74.0052 0. 25 5 73.9982 0.
Los puntos fuera-de-control están indicados por un asterisco. Los puntos excluidos de los cálculos están indicados por una X.
Opciones de Cuadro
- Mostrar: especifica los subgrupos para mostrar en el reporte.
- Gráfico X-bar: un resumen de la línea central y los límites de control para el Gráfico x- bar, el cual grafica las medias de los subgrupos x (^) j. Usando Opciones de Análisis , límites separados pueden ser calculados para diferentes periodos (conjuntos de subgrupos).
- Gráfico S: un resumen de la línea central y de los límites de control para el Gráfico S, el cual grafica las desviaciones estándar de los subgrupos s (^) j.
- Estimaciones: estimaciones de la media del proceso μ y la desviación estándar del
proceso σ. La media del proceso es estimada a partir del promedio cargado de las medias
subgrupales:
μˆ = x (6)
La sigma del proceso puede ser estimada en alguna de las 4 maneras, dependiendo de las especificaciones establecidas en la tabulación Gráficos de control del cuadro de diálogo Preferencias , accesible desde el menú Edición. Existen 3 opciones:
(1) Del promedio s con corrección no sesgada : la sigma del proceso es estimada del promedio cargado de las desviaciones estándar subgrupales. (2) Del promedio s con correción sesgada : la sigma del proceso es estimada del promedio cargado de las desviaciones estándar subgrupales y después multiplicada por un factor que hace que el resultado sea una estimación
insesgada de σ.
(3) Del conjunto s con corrección no sesgada : la sigma del proceso es estimada del conjunto dentro de la varianza del grupo, como en el ANOVA de una vía.
En este caso, s 2 es una estimación insesgada de σ^2 pero s es un estimador
sesgado para σ. (4) Del conjunto s con corrreción sesgada : la sigma del proceso es estimada del conjunto dentro de la varianza del grupo y después multiplicada por un factor
que convierte el resultado en una estimación insesgada de σ.
- Promedio s: el promedio de las desviaciones estándar de los subgrupos:
m
s s
m
j
∑ j
= =^1 (7)
Opciones de Análisis
- Tipo de Estudio: determina como los límites de control son establecidos. Para un Gráfico Estudio Inicial (Fase 1), los límites son estimados a partir de los datos actuales. Para el Gráfico Control a Estándar (Fase 2), los límites de control están determinados a partir de la información de la sección Control a Estándar del cuadro de diálogo.
- Normalizar: si es seleccionado todos los estadísticos serán normalizados al calcular los valores Z y los valores Z graficados en los Gráficos. La línea central en ese Gráfico está siempre localizada en 0 y los límites de control están siempre localizados en ± k.
- Tamaño Promedio de Subgrupo: si es verificado los límites de control serán líneas horizontales basadas en el tamaño subgrupal promedio. Si no es verificado, los tamaños subgrupales individuales serán usados, resultando en límites de control de funciones peldaño si los tamaños subgrupales no son todos iguales.
- Usar Formato de Zona: si es verificado, los estadísticos serán graficados usando un Gráfico de zona en vez del formato usual. Ver el ejemplo de abajo.
- Recalcular en: los límites de control del Gráfico pueden ser recalculados hasta en 4 lugares a lo largo del eje X especificando los números subgrupales en los cuales nuevas estimaciones serán iniciadas. Estimaciones separadas de la media y la sigma del proceso se obtendrán usando los datos en secciones diferentes. En tales casos, los límites de control serán ajustados al inicio de cada nuevo periodo.
- Límites de Control para X-bar: especifica el múltiplo k para usar en la determinación de los límites de control superior e inferior en el Gráfico X-bar. Para eliminar un límite completamente introduzca 0.
Carta S para X1-X
0 5 10 15 20 25 Subgrupo
0
5
10
15
20
25
(X 0.001)
S
CTR = 0.
LSC = 0.
LIC = 0.
Note cómo aparece la función peldaño en los límites de control. Desde que los estadísticos muestrales de subgrupos más pequeños tienen una variabilidad inherente mayor, se debe permitir que se desvíen más allá de la línea central antes de que una señal fuera-de-control sea generada.
Guardar Resultados
Los siguientes resultados pueden ser guardados en la hoja de base de datos:
- Medias – las medias subgrupales.
- Sigmas – las desviaciones estándar de los subgrupos
- Tamaños – los tamaños subgrupales
- Etiquetas – las etiquetas subgrupales.
- Media de Proceso – la media del proceso estimada.
- Sigma de Proceso – la desviación estándar del proceso estimada.
Cálculos
Estimación de la Sigma del Proceso
(1) Del promedio s con corrección no sesgada:
∑
∑
=
= = k j
j
k j
j j
n
ns
1
σˆ 1 (8)
(2) Del promedio s con corrección sesgada
( )
∑
∑
=
= ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜ ⎜ ⎝
⎛
= (^) k
j j
k j (^) j
j j
h
c n
fs
1
(^1 ) σˆ (9)
donde
( ) ( (^) j )
j j (^) c n
c n h (^) 2 4
2 4 1 −
(3) Del conjunto s con corrección no sesgada:
( )
∑(^ )
∑
=
= −
− = (^) k
j j
j
k j
j
n
n s
1
2 1 1
1 σˆ (11)
(4) Del conjunto s con corrección sesgada:
( )
∑(^ )
∑
=
= −
− = (^) m
j j
j
k j j
n
n s
c d 1
2 1 (^4 )
1
( )
σˆ 1 (12)
donde
∑^ (^ )
= + −
k j
d nj 1
