Baixe Geometria: Triângulos, Quadriláteros, Polígonos e Figuras Geométricas e outras Notas de estudo em PDF para Geometria, somente na Docsity!
Geometria Plana
1.^
Triângulo Relações métricas em um triângulo retângulo
Em um triângulo retângulo qualquer: *^
2
2
2
a^
b^
c =^
*^
(^2) b
ma=
*^
(^2) c
na=
*^
(^2) h
mn=
*^
ah
bc=
•^
Área de um triângulo
bh^2 S^ =
ab sen S
(^
)(^
)(^
)
S^
p^
p^
a^
p^
b^
p^
c
=^
−^
−^
−^
,^
c b a p^
abc^4 S^
R
S^
pr=
,^ em que
c b a p^
Sejam
A(
x^ ,yA
),^ A
B(x
,yB
) eB
C(
x^ ,yC^
) três pontos deC
um plano cartesiano. Sendo
D
o determinante
obtido por
y x
y x
y x D
C C
B B
A A =^
, tem-se que:
*^
D^
A,
B^
e^ C
são colineares;
*^
D^
≠^0
A,
B^
e^ C
são vértices de um triângulo
cuja área
S^
é dada por:
S^
| D |
•^
Teorema dos senos (
ou lei dos senos
a^
b^
c^
R
sen
sen
sen
α^
β^
γ
=^
=^
•^
Teorema dos cossenos (
ou lei dos cossenos
2
2
2
2
2 2
2
2
a^
b^
c^
bc cos
b^
a^
c^
ac cos
c^
a^
b^
ab cos
α^ β^ γ
2
=^
+^
=^
+^
=^
+^
A
C^
D^
B
a
c
h
n
b m
h b^
C^
B
A
b
a
α
A
B^
C
a
b
c
a
b
c
A
B^
C
R O
A
B^
C
a
b
c^
r^
r O r
A
B^
C
a α
b
β^
γ
c
R
O
A
B^
C
a α
b
β^
γ
c
•^
Teorema da bissetriz Interna
AB
AC
BS
=CS
Externa
AB
AC
BS
=CS
2.^
Quadriláteros
-^
Áreas dos quadriláteros notáveis Trapézio
(^
) 2 B^
b h
S^
Paralelogramo
S^
a h= ⋅
Retângulo
S^
a b= ⋅
Losango
d^ D^2 S^
Quadrado
2 S^ =
A
Diagrama de inclusão dos quadriláteros
Quadriláteros
Trapézios
Paralelogramos
Retângulos
Losangos
Quadrados
3.^
Polígonos
Em um polígono convexo de
n^ lados:
*^
o número de diagonais é
(^
) 3 2 n n d^
*^
a soma dos ângulos internos é
(^
2 180)
S^ i
n =^
−^
*^
a soma dos ângulos externos é
S^ =e
Em um polígono regular de
n^
lados:
*^
cada ângulo interno é
(^
)2 180
i^
n S n^
n −^
α =
Se n^
° n
β =
4.^
Círculo
-^
Áreas das partes do círculo Círculo *^
2 S^
R π
*^
C^
R π
Setor circular
2 R
CR
S^
α=
=^
,^ α
em radianos
Coroa circular
(^
2 ) 2
r R S^
π=
α^
A α
C
B^
S^
pé da bissetriz interna
β β pé da bissetriz externa
S
C
B
A
h B b
b^
b
a
a
h
b^
b
a a
d
A^
A A
A
D^
A A
A
A
α α^
α
α α α
α
A β
A
A
A
A A
A
β
β
β β
β
β^ n^6
5
4 2 3
1
n n
1
3
5
(^24)
6
6
5
(^34)
2
1 R
C
R^
R
O^ α
R
r
rh
A^
π =^2 A
3.^
Pirâmide
Em uma pirâmide qualquer: *^ o volume é
B
V^
A^
h
=^
⋅^
(^
)A A^
é a soma das áreas
das faces laterais* a área total
(^
)T A^
é^
T^
B A^
A^
A
=^
+^
A
•^
Sólidos importantes Tetraedro regular
*^
Área da base:
(^23) a^4 AB
*^
Área lateral:
(^2) a
A^
=A
*^
Área total:
(^2) a AT^
*^
Altura:
(^6) a 3
H^
*^
Volume:
(^3) a V^
Octaedro regular
*^
Área total:
2 =^
a AT
*^
Volume:
(^32) a^3 V^
*^
Diagonal:
a d^ =
4.^
Cone circular reto
r
g^
g
h
Em qualquer cone circular reto: *^
2 2 2
r h g^
*^
a área da base é
(^2) r
A^ B
π=
rg A^
π= A
(^
)g rr
AT^
π=
h r
V^
2 1 π= 3
5.^
Esfera
- Área da superfície esférica:
2 4
R
A^
π
3 4 3
R
V^
π
•^
Partes da esfera
altura
apótema da pirâmide
apótema da base
aresta da base
arestalateral
V
a^
a a
a
H
a
a a a^
a
g
g
A^
rg = πA 2 πr
r
raio do setor circular
raio dabase
O^
R
Cunha esférica
(^
3
3
volume da cunha R^
R
V
S
π^
π^
θ
⇒
∼ θ∼
θ^ em radianos
Fuso esférico
(^
2
2
R^ área do fuso
S^
R
S
π^
π^
=^
θ
∼ θ∼
θ^ em radianos
Segmento esférico de duas bases * Volume (
V):
(^
[^
2 ]
(^22) (^21) 3 6
h r r h V^
π=
S):
2
2 1
2
S^
Rh
r^
r
=^
π^
Segmento esférico de uma base * Volume (
V):
(^
2 3 6
h r h V^
π=
S):
2
S^
Rh
r
=^
π^
Calota esférica
Zona esférica
S):
Rh S^
π =^2
S):
Rh S^
π =^2
6.^
Razão de semelhança de dois sólidos
Quando dois sólidos
S^ e^1
S^ (^2
como
os^
da figura
)^
são
semelhantes
de
razão linear
k
*^
a^
razão
entre
dois
elementos
lineares quaisquer é
k
razão
entre
as^
áreas
correspondentes é
(^2) k
- a razão entre os volumes é
(^3) k
7.^
Tronco de pirâmide de bases paralelas
Sendo
A^ b
a área da base menor,
A^ B
a área da
base maior,
A^ A
a área lateral,
h a altura e
V
o
volume do tronco, tem-se que:* a área lateral
A^ é a soma das áreas das facesA
laterais
AA
A
A
A^
b B T^
(^
)b
B b B^
A
A
A
A
h V^
=^3
A
Cunha esférica
R O R^ B
θ
A
Fuso esférico
R O R^ B
θ
e
r^1 r 2
h
O^
O
e^
e
h
h
r
r
e O
h
r R
Calota esférica ésó a superfície
R
O^
h
Zona esférica ésó a superfície
e
V
V'
D^
C
A
A'^
B'
B
(^
)S 1
(^ )S 2
C'
D'
O
O'
base menor
aresta lateral
h
altura
base maior
Poliedros Regulares
Tetraedro regular
Hexaedro regular
Octaedro regular
Dodecaedro regular
Icosaedro regular
Um poliedro é regular somente se: o 1 ) todas
as
suas
faces
são
polígonos
regulares e congruenteso 2 ) possui
todos
os
ângulos
poliédricos
congruentes Observações importantes *^
São os poliedros de Platão com todasas faces
formadas
por
polígonos
regulares *^
"Todo poliedro regular é de Platão,mas nem todo poliedro de Platão éregular."
