UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL
APOSTILA DE GEOMETRIA DESCRITIVA
Dennis Coelho Cruz
Luís Gustavo Henriques do Amaral
Barreiras, BA
Março de 2012
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Guias e Dicas
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Encontrar documentos
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Pesquisar documentos Store
Os melhores documentos à venda: Trabalhos de alunos formados
Videoaulas
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Quiz
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Comunidade
Pergunte à comunidade
Peça ajuda à comunidade e tire suas dúvidas relacionadas ao estudo
Ranking universidades
Descubra as melhores universidades em seu país de acordo com os usuários da Docsity
Guias grátis
Os eBooks que salvam estudantes!
Baixe gratuitamente nossos guias de estudo, métodos para diminuir a ansiedade, dicas de TCC preparadas pelos professores da Docsity
Geometria Descritiva: Conceitos Fundamentais e Representação de Pontos, Retas e Planos, Esquemas de Geometria Descritiva
Esta apostila aborda os conceitos básicos da geometria descritiva, incluindo a representação de pontos, retas e planos em projeções ortogonais. Explica os diferentes tipos de retas em relação aos planos de projeção, como retas fronto-horizontais, verticais, horizontais e frontais, e detalha a representação de planos, incluindo planos de rampa, planos que passam pela linha de terra e planos projetantes. A apostila também discute a determinação de retas de máximo declive e máxima inclinação de um plano, além de abordar a intersecção de planos e a representação de planos paralelos.
Tipologia: Esquemas
2024
1 / 92
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Documentos relacionados
Pré-visualização parcial do texto
Baixe Geometria Descritiva: Conceitos Fundamentais e Representação de Pontos, Retas e Planos e outras Esquemas em PDF para Geometria Descritiva, somente na Docsity!
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL
APOSTILA DE GEOMETRIA DESCRITIVA
Dennis Coelho Cruz
Luís Gustavo Henriques do Amaral
Barreiras, BA
Março de 2012
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL
APOSTILA DE GEOMETRIA DESCRITIVA Dennis Coelho Cruz/Luís Gustavo Henriques do Amaral
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL APOSTILA DE GEOMETRIA DESCRITIVA Dennis Coelho Cruz/Luís Gustavo Henriques do Amaral
APRESENTAÇÃO
Esta apostila foi elaborada com o objetivo de servir de fonte de consulta complementar para os estudantes inscritos no componente curricular IAD171 Geometria Descritiva , dos cursos de graduação em Bacharelado Interdisciplinar em Ciência e Tecnologia, Engenharia Civil, Engenharia Sanitária e Ambiental e Geologia do Instituto de Ciências Ambientais e Desenvolvimento Sustentável da Universidade Federal da Bahia. A apostila foi criada com base em referências tradicionais e em publicações mais recentes, as quais são citadas no final do texto, buscando-se o seu enriquecimento com exemplos adequados ao conteúdo proposto no programa do componente curricular. Foram inseridos, quando possível, desenhos em perspectiva para facilitar o entendimento dos problemas resolvidos em épura. Além disso, para sistematizar a apresentação dos conteúdos foram incluídos quadros e tabelas com as informações mais importantes sobre cada assunto. Como este material didático está em constante aperfeiçoamento, esperamos receber contribuições para o seu aprimoramento, de modo a facilitar o entendimento dos conteúdos abordados e estimular o estudo da Geometria Descritiva.
Os autores.
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL APOSTILA DE GEOMETRIA DESCRITIVA Dennis Coelho Cruz/Luís Gustavo Henriques do Amaral
UNIDADE 1 – INTRODUÇÃO...............................................................................................................................
O desenvolvimento das tecnologias computacionais vem facilitando cada vez mais os processos de representação gráfica de objetos tridimensionais. Contudo, a capacidade de raciocínio do ser humano continua sendo a principal ferramenta para a interpretação e elaboração de desenhos técnicos e, mais do que isso, para a criação e transmissão de novas ideias. Ainda que os recursos computacionais tragam inúmeros benefícios à execução de desenhos técnicos, tais como maior rapidez e precisão, a utilização desses recursos só é viável se o indivíduo possuir uma acurada visão espacial, sendo capaz de raciocinar em três dimensões. Ao contrário do que possa parecer, essa habilidade pode ser desenvolvida e aperfeiçoada. Uma das formas de fazê-lo é através do estudo da Geometria Descritiva. Quando corretamente estudada, a Geometria Descritiva desenvolve não só a capacidade de leitura e interpretação de desenhos técnicos, mas também a habilidade de se imaginar objetos e projetos no espaço. Por esse motivo, o estudo da Geometria Descritiva é de fundamental importância em diversos ramos de atividade, tais como: Engenharia, Arquitetura, Geologia, Matemática, Desenho Industrial, Pintura, Escultura, etc.
1.1 HISTÓRICO
Os conceitos da Geometria Descritiva constituem a base do Desenho Técnico, onde se incluem o Desenho Arquitetônico, o Desenho Industrial, o Desenho Mecânico e o Desenho Topográfico. Ainda que esses conceitos já fossem abordados intuitivamente desde a antiguidade, as bases da Geometria Descritiva foram criadas no final do século XVIII pelo matemático francês Gaspard Monge. De origem humilde, Monge destacou-se desde cedo devido às suas habilidades como desenhista e inventor. Frequentando a escola militar de Mézières, apresentou um método inovador para solucionar problemas relacionados à construção de fortificações, método que seria o alicerce da Geometria Descritiva que se conhece atualmente. Esse método foi mantido como segredo militar até o ano de 1794, quando Monge foi autorizado a publicá-lo, revolucionando a Engenharia Militar e o Desenho Técnico.
“Eu uso dois trunfos infalíveis: uma tenacidade invencível e mãos que traduzem meu pensamento com fidelidade geométrica”
Figura 1.1 – Gaspard Monge (1746-1818). Fonte: GASPARD MONGE (2011).
1.2 CONCEITOS BÁSICOS
A Geometria é um ramo da Matemática, e pode ser definida como a ciência que investiga as formas e as dimensões das figuras existentes na natureza. A Geometria Descritiva, por sua vez, é o ramo da Matemática Aplicada que tem como objetivo o estudo de objetos tridimensionais mediante projeções desses sólidos em planos. Em Geometria, é comum utilizarmos os conceitos de forma e dimensão. Forma é o aspecto, ou configuração, de um determinado objeto (forma arredondada, elíptica, etc.), enquanto dimensão é a grandeza que caracteriza uma determinada medida desse objeto (largura, comprimento, etc.). Os elementos fundamentais da geometria são o ponto , a reta e o plano. O ponto é o elemento mais simples, pois não possui forma nem dimensão. Contudo, a partir do ponto é possível obter-se qualquer
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL APOSTILA DE GEOMETRIA DESCRITIVA Dennis Coelho Cruz/Luís Gustavo Henriques do Amaral
Figura 1.9 – Projeção cônica ou central
Ao contrário, quando o centro de projeção está localizado a uma distância infinita do objeto, as projetantes são paralelas entre si e, neste caso, tem-se a projeção cilíndrica ou paralela (Figura 1.10).
Figura 1.10 – Projeção cilíndrica ou paralela
Na Figura 1.10, a direção das projetantes é oblíqua ao plano de projeção e, nesse caso, a projeção cilíndrica é dita oblíqua. Por outro lado, quando a direção das projetantes é perpendicular ao plano de projeção, temos a projeção cilíndrica ortogonal (Figura 1.11).
Figura 1.11 – Projeção cilíndrica ortogonal
(O)
(A) (C) (B)
Projetante
()
Centro de projeção
Ponto objetivo
Plano de projeção A Projeção B
C
(O)
(C)
Projetante
()
Centro de projeção no infinito
Ponto objetivo
Plano de projeção
Projeção
A B
C
(A) (B)
(A) (B)
(C)
A B
C
(O)
Projetante
()
Centro de projeção no infinito
Ponto objetivo
Plano de projeção Projeção
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL APOSTILA DE GEOMETRIA DESCRITIVA Dennis Coelho Cruz/Luís Gustavo Henriques do Amaral
Para que a forma e as dimensões de um objeto sejam compreendidas de modo satisfatório, é necessário que as dimensões da projeção correspondam às dimensões reais do objeto. Ou seja, o objeto deve ser representado em sua verdadeira grandeza (VG). Contudo, quando o objeto não é paralelo ao plano de projeção, ele não é projetado em VG em nenhum dos três sistemas de projeção apresentados (Figura 1.12).
Sistema de Projeções Cônicas Sist. de Proj. Cilíndricas Oblíquas Sist. de Proj. Cilíndricas Ortogonais
Figura 1.12 – Objetos oblíquos ao plano de projeção
Se, por outro lado, o objeto for paralelo ao plano de projeção, têm-se as seguintes situações:
- No Sistema de Projeções Cônicas, as dimensões da projeção não correspondem às dimensões reais do objeto (Figura 1.13(a)). Ou seja, o objeto não é representado em VG.
- No Sistema de Projeções Cilíndricas Oblíquas, o objeto é representado em VG, mas como o ângulo das projetantes com o plano de projeção pode assumir qualquer valor, a projeção pode se localizar em muitas posições diferentes (Figura 1.13(b)).
- No Sistema de Projeções Cilíndricas Ortogonais, o objeto também é representado em VG e, além disso, há somente uma posição em que a projeção pode se localizar, uma vez que as projetantes só podem assumir uma direção (Figura 1.13(c)). Por esse motivo, o sistema mais utilizado em Geometria Descritiva e em Desenho Técnico é o Sistema de Projeções Cilíndricas Ortogonais.
(a) (b) (c) Figura 1.13 – Objetos paralelos ao plano de projeção
1.4 MÉTODO DA DUPLA PROJEÇÃO DE MONGE
Para se definir a forma e a posição de um objeto no espaço de forma satisfatória utilizando-se um sistema de projeções, uma só projeção não é suficiente. Assim, na Geometria Descritiva clássica, são utilizados dois planos de projeção para se representar um objeto, sendo que o sistema de projeção adotado é o Sistema de Projeções Cilíndricas Ortogonais. O método da dupla projeção de Monge, no qual toda a Geometria Descritiva clássica está baseada, consiste em se determinar duas projeções ortogonais do objeto sobre dois planos perpendiculares entre si, o plano horizontal de projeção () e o plano vertical de projeção (’). Esses dois planos dividem o espaço em quatro regiões, denominadas diedros , e se interceptam segundo uma linha chamada linha de terra (Figura 1.14). Os dois planos de projeção definem, ainda, quatro semiplanos: horizontal anterior (A), horizontal posterior (P), vertical superior (’S) e vertical inferior (’I) (Figura 1.15).
(O)
(A)
A
(O)
(A) A (O)
A^ (A)
(O)
(A)
A
(O 1 )
(A)
A 1
A 2
(O 2 )
(O)
A^ (A)
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL APOSTILA DE GEOMETRIA DESCRITIVA Dennis Coelho Cruz/Luís Gustavo Henriques do Amaral
ATIVIDADE PRÁTICA 01
Na representação dos elementos (pontos, projeções, etc.) apresentados nos exercícios a seguir, utilizar o sistema cartesiano, definindo o canto inferior esquerdo da folha de papel milimetrado como a origem dos eixos cartesianos e posicionando os elementos conforme as coordenadas informadas em cada exercício.
Sabendo-se que o triângulo (A)(B)(C) é paralelo ao plano () de projeção, completar a projeção deste triângulo sobre o referido plano. Posteriormente, identificar o sistema de projeção utilizado. Dados: (O): ( 155 , 70 ) Vértice inferior esquerdo do plano (): ( 5 , 5 ) (A): ( 110 , 113 ) Vértice inferior direito do plano (): ( 95 , 55 ) (B): ( 125 , 85 ) Vértice superior esquerdo do plano (): ( 5 , 155 ) (C): ( 100 , 80 ) Vértice superior direito do plano (): ( 95 , 205 ) A: ( 50 , 170 )
Sabendo-se que o hexágono (D)(E)(F)(G)(H)(I) é paralelo ao plano () de projeção e que o centro de projeções é impróprio (está localizado no infinito), completar a projeção deste hexágono sobre o referido plano. Em seguida, identificar o sistema de projeção utilizado. Dados: (D): ( 120 , 95 ) D: ( 40 , 150 ) (E): ( 150 , 85 ) Vértice inferior esquerdo do plano (): ( 5 , 5 ) (F): ( 150 , 55 ) Vértice inferior direito do plano (): ( 95 , 55 ) (G): ( 130 , 35 ) Vértice superior esquerdo do plano (): ( 5 , 155 ) (H): ( 100 , 45 ) Vértice superior direito do plano (): ( 95 , 205 ) (I): ( 100 , 75 )
Determinar a posição do triângulo (J)(K)(L) no espaço, conhecendo-se as suas projeções nos planos horizontal () e vertical (') de projeção e sabendo-se que o sistema de projeção utilizado é o Sistema de Projeções Cilíndricas Ortogonais. Dados: J: ( 85 , 25 ) Vértice inferior esquerdo do plano (): ( 5 , 5 ) K: ( 110 , 65 ) Vértice inferior direito do plano (): ( 105 , 5 ) L: ( 120 , 55 ) Vértice superior esquerdo do plano (): ( 75 , 75 ) J': ( 25 , 120 ) Vértice superior direito do plano (): ( 175 , 75 ) K': ( 65 , 145 ) Vértice inferior esquerdo do plano ('): ( 5 , 5 ) L': ( 55 , 90 ) Vértice inferior direito do plano ('): ( 75 , 75 ) Vértice superior esquerdo do plano ('): ( 5 , 105 ) Vértice superior direito do plano ('): ( 75 , 175 )
Determinar as projeções do sólido (M)(N)(P)(Q)(R)(S)(T)(U)(V)(W)(X)(Y), conhecendo-se as projeções de um dos seus vértices e sabendo-se que o sistema de projeção utilizado é o Sistema de Projeções Cilíndricas Ortogonais. Dados: (M): ( 120 , 95 ) P: ( 150 , 70 ) (N): ( 150 , 125 ) P': ( 70 , 160 ) (P): ( 150 , 160 ) Vértice inferior esquerdo do plano (): ( 5 , 5 ) (Q): ( 135 , 145 ) Vértice inferior direito do plano (): ( 105 , 5 ) (R): ( 135 , 135 ) Vértice superior esquerdo do plano (): ( 75 , 75 ) (S): ( 120 , 120 ) Vértice superior direito do plano (): ( 175 , 75 ) (T): ( 105 , 95 ) Vértice inferior esquerdo do plano ('): ( 5 , 5 ) (U): ( 135 , 125 ) Vértice inferior direito do plano ('): ( 75 , 75 ) (V): ( 135 , 160 ) Vértice superior esquerdo do plano ('): ( 5 , 105 ) (W): ( 120 , 145 ) Vértice superior direito do plano ('): ( 75 , 175 ) (X): ( 120 , 135 ) (Y): ( 105 , 120 )
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL APOSTILA DE GEOMETRIA DESCRITIVA Dennis Coelho Cruz/Luís Gustavo Henriques do Amaral
UNIDADE 2 – ESTUDO DO PONTO
2.1 PROJEÇÕES DO PONTO
No sistema mongeano, um ponto possuirá sempre duas projeções: a horizontal e a vertical. Conhecendo-se essas projeções, é possível determinar a posição do ponto no espaço. Por convenção, de modo a facilitar o estudo, todo ponto situado no espaço deve ser designado por uma letra maiúscula entre parênteses. Já as projeções desse ponto, situadas sobre os respectivos planos de projeção, devem ser designadas pela mesma letra maiúscula, porém sem parênteses, e a projeção vertical deve ser seguida por um apóstrofo (Figura 2.1). Procedendo-se ao rebatimento do plano horizontal sobre o vertical, obtém-se a épura do ponto (Figura 2.2). Na épura, as duas projeções de um ponto devem estar ligadas por uma linha denominada linha de chamada , que deverá ser sempre perpendicular à linha de terra.
Figura 2.1 – Projeções do ponto (A) Figura 2.2 – Épura do ponto (A)
2.2 COORDENADAS DO PONTO
A distância de um determinado ponto a cada um dos planos de projeção recebe um nome característico: a distância de um ponto ao plano vertical de projeção é denominada afastamento , enquanto a distância deste ponto ao plano horizontal de projeção é chamada de cota. O afastamento é positivo quando o ponto está na frente do plano vertical de projeção e negativo quando o ponto está atrás deste plano. A cota é positiva quando o ponto situa-se acima do plano horizontal de projeção e negativa quando o ponto está abaixo deste plano. O conhecimento da cota e do afastamento de um ponto não é suficiente para que um ponto seja individualizado. Como se trata de um sistema tridimensional, é necessário incluir mais uma coordenada para que a posição do ponto fique bem definida. Assim, inclui-se uma terceira coordenada, a abscissa , tomada sobre a linha de terra a partir de um ponto “O”, considerado origem, e marcado arbitrariamente sobre esta linha (Figura 2.3). À direita deste ponto, a abscissa é positiva; à esquerda, é negativa. Em épura, se o afastamento for positivo, a projeção horizontal do ponto estará abaixo da linha de terra e, se for negativo, esta projeção estará acima da linha de terra. Por outro lado, quando a cota for positiva, a projeção vertical do ponto estará acima da linha de terra e, se for negativa, estará abaixo da linha de terra. Ainda com relação à épura, se o ponto estiver à direita da origem, a abscissa será positiva, e se o ponto estiver à esquerda da origem, a abscissa será negativa. Na Figura 2.4, tem-se a épura correspondente ao ponto representado na Figura 2.3, na qual se percebe que o ponto possui abscissa, afastamento e cota positivos.
A
A’
A’
A
(A)
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL APOSTILA DE GEOMETRIA DESCRITIVA Dennis Coelho Cruz/Luís Gustavo Henriques do Amaral
2.3 POSIÇÕES PARTICULARES DO PONTO
No sistema mongeano, um ponto pode ocupar nove diferentes posições em relação aos planos de projeção. Como a posição do ponto é definida pelas suas coordenadas, a partir delas é possível definir em que lugar do espaço o ponto está localizado. Ainda que o valor da abscissa influa na posição do ponto no espaço, ele não influi na posição do ponto em relação aos dois planos de projeção. Como pode ser visto no Quadro 2.1, o afastamento e a cota são as coordenadas que determinam a posição do ponto em relação aos planos de projeção.
Quadro 2.1 – Posições assumidas pelo ponto em função das suas coordenadas
Coordenada
Posição em relação aos planos de projeção 1°D 2°D 3°D 4°D (A) (P) (’S) (’I) L.T. Afastamento + - - + + - 0 0 0 Cota + + - - 0 0 + - 0
No quadro a seguir são apresentadas as perspectivas e as épuras correspondentes a cada um dos nove casos possíveis.
Quadro 2.2 – Posições particulares do ponto
- Ponto no 1° Diedro (afastamento e cota positivos):
- Ponto no 2° Diedro (afastamento negativo e cota positiva):
(B)
B
B’
O
B
B’
O
(’S)
(P)
(A)
A
A’
O
A
A’
O
(’S)
(A)
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL APOSTILA DE GEOMETRIA DESCRITIVA Dennis Coelho Cruz/Luís Gustavo Henriques do Amaral
Quadro 2.2 – Continuação
- Ponto no 3° Diedro (afastamento e cota negativos):
- Ponto no 4° Diedro (afastamento positivo e cota negativa):
- Ponto no semiplano horizontal anterior (afastamento positivo e cota nula):
- Ponto no semiplano horizontal posterior (afastamento negativo e cota nula):
F (F) F’
O
(F)
O F’
F
(’I)
(P)
E’^ (E)^ E
O
(E)
O E’
E
(’S)
(A)
(D)
D
D’
O
D’
D
O
(’I)
(A)
(C) C’
C
O
C
C’
O
(’I)
(P)
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL APOSTILA DE GEOMETRIA DESCRITIVA Dennis Coelho Cruz/Luís Gustavo Henriques do Amaral
ATIVIDADE PRÁTICA 02
Representar uma épura com os pontos (A), (B) e (C), conhecendo-se as suas posições no espaço conforme a figura abaixo:
Representar os pontos (D), (E), (F), (G), (H), (I), (J), (K) e (L) no espaço e informar a sua posição, conhecendo-se as suas representações em épura conforme a figura abaixo:
Na resolução do Exercício 02, representar cada ponto em um desenho separado, desenhando-se os planos de projeção em perspectiva com as seguintes dimensões:
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL APOSTILA DE GEOMETRIA DESCRITIVA Dennis Coelho Cruz/Luís Gustavo Henriques do Amaral
2.4 PONTOS NO PLANO BISSETOR
O plano bissetor é um plano que passa pela linha de terra e forma 45° com os planos de projeção, dividindo o diedro em duas regiões iguais. Há dois planos bissetores, conforme apresentado na Figura 2.5. O Plano Bissetor Ímpar (βI) ou Primeiro Bissetor (β 13 ) atravessa os diedros impares (1° e 3°), enquanto o Plano Bissetor Par (βP) ou Segundo Bissetor (β 24 ) atravessa os diedros pares (2° e 4°).
Figura 2.5 – Planos bissetores
Os pontos situados nos planos bissetores têm a característica principal de serem equidistantes dos planos de projeção, o que pode ser explicado pelo ângulo de 45° formado entre o bissetor e os planos de projeção (Figura 2.6).
Figura 2.6 – Ponto “A” no plano bissetor e suas projeções.
Os sinais do afastamento e da cota de um ponto situado em um plano bissetor dependem da posição do ponto em relação aos planos de projeção, conforme apresentado no Quadro 2.2. Na Figura 2. tem-se a representação em épura de quatro pontos localizados nos planos bissetores: (A)[ -40 ; 20 ; 20 ], (B)[ -20 ; -20 ; -20 ], (C)[ 20 ; 20 ; -20 ] e (D)[ 40 ; -20 ; 20 ].
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL APOSTILA DE GEOMETRIA DESCRITIVA Dennis Coelho Cruz/Luís Gustavo Henriques do Amaral
Figura 2.9 – Pontos simétricos em relação ao plano ()
Quando dois pontos são simétricos em relação ao plano vertical de projeção, possuem a mesma abscissa, cotas iguais em grandeza e sentido e afastamentos de mesma grandeza e sentidos contrários (Figura 2.10).
Figura 2.10 – Pontos simétricos em relação ao plano (’)
2.5.1.2 Pontos simétricos em relação aos planos bissetores Quando dois pontos são simétricos em relação ao plano bissetor ímpar, possuem a mesma abscissa e a cota de um ponto é igual ao afastamento do outro em grandeza e sentido. Nesse caso, as projeções de nomes contrários dos dois pontos são simétricas em relação à linha de terra (Figura 2.11).
Figura 2.11 – Simetria de pontos em relação ao Plano Bissetor Ímpar
Quando dois pontos são simétricos em relação ao plano bissetor par, possuem a mesma abscissa e a cota de um ponto é igual ao afastamento do outro com sinal contrário. Nesse caso, as projeções de nomes contrários dos dois pontos são coincidentes (Figura 2.12).
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL APOSTILA DE GEOMETRIA DESCRITIVA Dennis Coelho Cruz/Luís Gustavo Henriques do Amaral
Figura 2.12 – Simetria de pontos em relação ao Plano Bissetor Par
2.5.1.3 Pontos simétricos em relação à linha de terra Quando dois pontos são simétricos em relação à linha de terra, possuem a mesma abscissa e cotas e afastamentos iguais em grandeza, mas de sentidos contrários. Nesse caso, as projeções de mesmo nome são simétricas em relação à linha de terra (Figura 2.13).
Figura 2.13 – Simetria de pontos em relação à linha de terra
ATIVIDADE PRÁTICA 03
Representar em épura o ponto (A), situado no 1° bissetor, e o ponto (B), situado no 2° bissetor. Dados: (A) [ -10 ; 15 ;? ] e (B) [ 10 ;? ; 20 ].
Representar em épura o ponto (C), simétrico do ponto (D) em relação ao plano (), e o ponto (E), simétrico do ponto (F) em relação ao plano ('). Dados: (D) [ 0 ; 10 ; 20 ] e (F) [ 15 ; -30 ; 15 ].
Representar em épura o ponto (G), simétrico do ponto (H) em relação ao 1° bissetor, e o ponto (I), simétrico do ponto (J) em relação ao 2° bissetor. Dados: (H) [ 10 ; 10 ; 15 ] e (J) [ 20 ; -10 ; 20 ].
Representar em épura o ponto (K), simétrico do ponto (L) em relação à linha de terra, e o ponto (M), simétrico do ponto (N) em relação a essa mesma linha. Dados: (L) [ 0 ; -15 ; 25 ] e (N) [ 25 ; 20 ; 0 ].