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Vetores no R^2
O conjunto dos pares ordenados de números reais
é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano x O y.
Qualquer vetor neste plano tem sempre um representante cuja origem é a origem do sistema. Assim, a cada vetor se associa um único ponto P, e vice-versa. Se P = ( x , y ), e u é um vetor representado pelo segmento orientado O P, então a expressão analítica deste vetor é u = ( x, y ).
As coordenadas x e y de P são chamadas as componentes de.
A origem O=(0,0) do sistema representa o vetor nulo.
Se = (x,y) , então -= (-x,-y).
Igualdade: Dois vetores = ( x1,y1) e = (x (^) 2, y2) são iguais se, e somente se,
x (^) 1= x 2 e y (^) 1= y 2
Operações. Sejam os vetores = ( x (^) 1,y1) e
= (x2, y2) e a R. Define-se:
- = ( x^ 1,y1)+ (x^ 2, y2) = (x^1 + x2, y1 + y^ 2)
b) a = a ( x1,y1) = (a x1, ay (^) 1)
Vetor definido por dois pontos
= = (x2, y2) - ( x (^) 1,y1) = (x 2 - x 1 , y2 - y (^) 1)
Ex: Se A = (2,3) e B=( 1,5), então AB = B-A = ( 1-2, 5-3 ) = ( -1, 2 ).
Produto escalar Dados dois vetores = ( x1,y1) e = (x2, y (^) 2) , define-se seu produto escalar ou produto
interno como sendo o número real
. = x (^) 1x2 + y 1 y
notação:. ou ( lê-se “interno ” ou, “ escalar ” ) Ex: Se = (2,3) e^ = ( 1,5), então. = 2.1 + 3.5 = 2 + 15 = 17.
Módulo de um vetor O módulo ou comprimento de um vetor = ( x ,y) é definido como o número real . Observe que o mesmo resultado se obtém usando o Teorema de Pitágoras:
Ex: Se = ( 2 , 5), então Observe! Dado um vetor com extremidades A = ( x (^) 1,y1) e B= (x2, y^ 2), o módulo desse vetor será
= d (A,B)
Exercício: a) Calcule a distância entre os pontos A(-2,5) e B(4,7).
b) Determine o vetor AB e calcule a sua norma. Compare com o item a).
Propriedades do produto escalar
Quaisquer que sejam os vetores u, v e w e o número real qualquer k, tem-se:
- u.u 0 e u.u = 0 somente se u =
Ex. 1 Verifique se são paralelos os vetores a) (1,2) e ( 5,10); b) (2,3) e ( 8, 7)
- Verifique se são ortogonais os vetores a) ( 2,3) e ( -3, 2); b) (1,4) e ( 2, -1)
Bases do plano
Um conjunto ordenado de vetores não- colineares { v1, v2} constitui uma base do plano. Dada uma base do plano { v (^) 1, v2}, qualquer vetor v do plano pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base, ou seja: existem números reais a 1 e a^2 tais que^ v = a^1 v1 + a^2 v. Os números a 1 e a^2 são chamados de^ componentes ou coordenadas de v^ com relação à base { v1, v2}. Assim, com relação a essa base podemos também escrever^ v = (a^1 , a2 )^.
uma base é dita ortogonal se os vetores da base são ortogonais. uma base é dita ortonormal se os vetores da base são ortogonais e unitários. dado um vetor = (x,y), podemos escreve-lo como combinação linear dos vetores i = (1,0) e j = (0,1): = (x,y) = x ( 1,0) + y (0,1) = x i + y j
- Os vetores i e j constituem uma base ortonormal do plano : A base { i, j} é chamada de base canônica do plano
Cursos: Engenharia de Produção/ Engenharia de Telecomunicações Disciplina: Geometria Analítica Professora: Maria Ignez S. Salomão
