Produto Vetorial
Dados os vetores u = x1 i + y1j + z1k e v = x2 i + y2j + z2k , chama-se produto vetorial
dos vetores u e v o vetor denotado por u x v, dado pelo determinante formal
u x v = = ( y1 z2 - z1y2 ) i - ( x1 z2 - z1x2 ) j + ( x1 y2 - y1x2 ) k
Exercício: Calcule o produto vetorial u x v, sendo u = ( 0, 1, 5) e v = ( 2, 3, 0).
Vamos usar a Regra de Sarrus para
calcular o determinante
1. Repetimos as duas primeiras colunas
ao lado da terceira.
2. Obtemos a soma S1 dos produtos dos
elementos das diagonais paralelas à
diagonal principal da matriz:
S1 = (ix1x 0) + ( jx5x2) + ( kx0x3)
= 10 j
3. Obtemos a soma S2 dos produtos dos
elementos das diagonais paralelas à
diagonal secundária da matriz:
S2 = ( kx1x2 ) +
( ix5x3) + ( j x 0 x 0) =
2 k + 15 i
4. Efetuamos a subtração S1 - S 2 : S1
- S 2 = 10 j - 2 k + 15 i
Assim, u x v = 15 i + 10 j - 2 k
Propriedades do produto vetorial
1. u x u = 0 ( resulta: i x i = j x j = k x
k = 0 ).
2. u x v = - ( v x u ) = -v x u ( resulta:
i x j = -j x i , i x k = -k x i, j x k = -k x j ).
3. u x ( v + w) = u x v + u x w
4. m ( u x v ) = (mu) x v = u x (mv)
5. u x v = 0 se e somente se , um dos
vetores é nulo, ou são vetores colineares.
6. u x v é ortogonal simultâneamente aos
vetores u e v.
7 Identidade de Lagrange.
