Produto Misto
O produto misto de três vetores u, v e w é o número real u . ( v x w ) .
Notação: (u, v, w ) = u . ( v x w )
Exercícios
1. Mostre que se u = x1 i + y1j + z1k , v = x2 i + y2j + z2k e w = x3 i + y3j + z3k , então o
produto misto desses vetores é dado pelo determinante:
( u, v, w).=
resolução:
v x w = = ( y2 z3 – z 2y3 ) i - ( x2 z3 – z2 x3 ) j + ( x2 y3 – y2 x3 ) k
u . ( v x w ) = ( x1 i + y1j + z1k ) . [ ( y2 z3 – z 2y3 ) i - ( x2 z3 – z2 x3 ) j + ( x2 y3 – y2 x3 ) k ]
u . ( v x w ) = x1 ( y2 z3 – z 2y3 ) - y1 ( x2 z3 – z2 x3 ) + z1 ( x2 y3 – y2 x3 )
u . ( v x w ) =
2. Calcular o produto misto dos vetores u ( 0,1,3), v ( 2,1,1) e w ( 4,0,3).
Propriedades do produto misto
1. ( u, v, w) = 0 se um dos vetores é nulo, se dois são colineares, ou se três são coplanares.
Se um dos vetores é nulo ou se dois são colineares, então uma linha do determinante é nula,
ou uma linha é múltipla da outra. Em ambos os casos, o determinante é igual a zero.
Se os três vetores são coplanares, então v x w é ortogonal a v e a w, logo v xw é ortogonal
a todos os vetores do plano determinado por v e w , e , em particular, a u . Daí temos :
( u, v, w ) = u . ( v x w ) = 0.
