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Planos
Equação geral do plano Sejam A ( x 1 , y 1 , z 1 ) um ponto de um plano e n = a i + b j + c k um vetor normal ao plano. O plano é o conjunto de todos os pontos P ( x, y, z ) do espaço tais que o vetor AP é ortogonal a n: P
dedução da equação do plano:
( P - A ). n = 0 ( x-x 1 , y-y 1 , z-z 1 ). ( a, b, c ) = 0 a (x-x 1 ) + b ( y-y 1 ) + c ( z-z 1 ) = 0 a x + b y + c z - a x 1 - a y 1 - a z 1 = 0
a x + b y + c z + d = 0, onde d = - a x 1 - a y 1 - a z 1
equação geral ou cartesiana do plano : a x + b y + c z + d = 0
Observações
- Se n é um vetor normal a um plano, então todo vetor v colinear a n , v = k n , k0, também é normal ao plano.
- Se n é um vetor normal a um plano, então n é ortogonal a todo vetor não-nulo do plano. Se u e v são vetores não-colineares do plano, então como n é simultâneamente ortogonal a ambos os vetores, segue que n é colinear ao vetor u x v.
- Dado um plano a x + b y + c z + d = 0, todos os planos paralelos a ele têm o mesmo vetor normal n = (a, b, c).
Exercícios
1.Dê a equação geral do plano que contém o ponto A (1, 2, 5) e cujo vetor normal é u =( 3, 2,1). 2.a) Dê um vetor normal ao plano 2x +5y -z +3= b) Verifique se os pontos A ( 0, 0, 3), B (1, 0, -1) e C ( 2, 1, 1) pertencem ao plano do item a)
- a) Dê a equação geral dos planos paralelos ao plano 5x -y + 2z -1 = 0. b) Dê a equação do plano que contém A( 0, 1,-3 ) e é paralelo ao plano 5x -y + 2z -1 = 0.
- Dê a equação do plano que contém o ponto A ( 1,4, -2 ) e é perpendicular à reta
r:
Determinação de um plano
Existe apenas um plano que:
- passa por um ponto A e é paralelo a dois vetores não-colineares u e v. Nesse caso, n = u x v. ex: Dê a equação do plano que passa por A ( 1,0,2) e é paralelo aos vetores u = ( 2, -3, 1) e v = ( 3, 1, -1 ).
- passa por dois pontos A e B e é paralelo a um vetor u, não-colinear a AB. Nesse caso, n = u x AB ex: Dê a equação do plano que passa pelos pontos A ( -1,1,2) e B (0,0,3) e é paralelo ao vetor u = (1,2,2)
3.passa por três pontos não-colineares A, B e C. Nesse caso, n = AB x AC ex: Dê a equação do plano que passa pelos pontos A ( -1,0,4) , B (0, 1, 3) e C = ( 2,-2,0).
4.contém duas retas concorrentes. Nesse caso, n = u x v, sendo u e v os vetores diretores das retas. Ex: Dê a equação do plano que contém as retas r: e s:
- contém duas retas paralelas r e s. Nesse caso, n = u x AB, sendo u o vetor diretor de r ( ou s ), A r e B s. ex: Dê a equação do plano que contém as retas r: s:
- contém uma reta r e um ponto B r. Nesse caso, n = v x AB, sendo v um vetor diretor de r e A um ponto de r.
Ex: Dê a equação do plano que contém a reta r: e o ponto B(0,2,-1).
Planos paralelos aos eixos coordenados
a) Se o vetor normal a um plano é do tipo n = ( 0, b, c) então n. i = ( 0,b,c). ( 1,0,0) = 0. Logo n é ortogonal a i , ou seja, n é ortogonal ao eixo ox. Daí o plano é paralelo ao eixo ox. Segue que a equação geral de um plano paralelo ao eixo ox é : by + cz + d = 0.
ex: O plano 2y + z -2 =0 intercepta os eixos oz e oy nos pontos A(0,0,2), B(0,1,0), não contém pontos do eixo ox ( pontos do tipo ( x,0,0) ) e possui vetor normal n = ( 0, 2, 1), ortogonal ao eixo ox. Veja a figura abaixo
Plano 2y + z –2 = 0
x
y
z
Analogamente, mostra-se que b ) a equação de um plano paralelo a oy é: ax +cz + d = 0
c) a equação de um plano paralelo a oz é: ax +by + d = 0
Reta e plano
Sejam r uma reta com vetor diretor u e um plano com vetor normal n. Então: a) Se u e n são ortogonais, r e são paralelos. b) Se u e n são paralelos, r e são perpendiculares. c) Se u e n são ortogonais e existe um ponto A de r, que também pertence a , então a reta r está contida no plano.
Ex. 1. Verifique se a reta r e o plano são paralelos: r: : 2x - y + ½ z -7 = 0
- Verifique se a reta r está contida no plano.
a) r: : x + y + z - 1 = b) r: : x + 7/2 y + z - 2 =
- Verifique se a reta r e o plano são perpendiculares: a) r: : 2x + 2 y -4 z - 3 = 0 b) r: : x + 2 y + z = 0
Interseção de reta e plano
A interseção de uma reta com um plano pode ser: a) um ponto b) o conjunto vazio, caso a reta e o plano sejam paralelos c) a própria reta, caso a reta esteja contida no plano.
Ex. Obter a interseção da reta r: com o plano : x - y + z = 0 a) Substitui-se as coordenadas x, y e z da equação da reta, na equação do plano: ( 3 + t ) - t + ( -1 -2t) = 0 t = 1. b) Substitui-se t = 1 na equação da reta: .Assim, o ponto de interseção é P (4, 1, -3)
Pode-se também proceder do seguinte modo: resolve-se o sistema cuja equações são a equação do plano e as equações reduzidas da reta. No nosso exemplo acima, as equações reduzidas de r são: r:. Logo bastaria resolver o sistema:
Interseção de dois planos
Consideremos os planos não-paralelos : 2x - y + z = 0 e : x + 3y - z + 1 = 0. A interseção desses planos é uma reta r cujos pontos são soluções do sistema :. Este sistema é compatível indeterminado e , em termos de x, sua solução é:
Chamando x = t, e substituindo nas reduzidas, obtemos:
Poderíamos proceder de outro modo, obtendo um ponto A de r e seu vetor diretor u.
Como r é simultâneamente ortogonal aos vetores normais aos planos, seu vetor diretor é dado pelo produto vetorial desses vetores: n 1 x n 2 = ( -2,3,7). Para obter A, podemos atribuir um valor arbitrário para x ( ou y, ou z) e resol ver o sistema. Fazendo, por exemplo, x=0: y = z =. Portanto, A = ( 0, ,) é um ponto de r. Logo, r:
Interseção de um plano com os planos e eixos coordenados
Consideremos, por exemplo, o plano x + 3y - z + 1 = 0.
Interseção com o eixo ox. Fazendo y = z = 0, obtemos o ponto A ( -1, 0, 0 ), que é a a interseção do plano com o eixo ox. Interseção com o eixo oy. Fazendo x = z = 0, obtemos o ponto A ( 0, -1/3, 0 ), que é a a interseção do plano com o eixo oy. Interseção com o eixo oz. Fazendo x = y = 0, obtemos o ponto A ( 0, 0, 1 ), que é a a interseção do plano com o eixo oz. Sabendo as interseções do plano com os eixos coordenados, podemos facilmente esboça-lo.
Interseção com o plano x = 0. Fazendo x =0, e substituindo na equação do plano, obtemos 3y - z + 1 = 0. Assim, a interseção é dada pela reta cujas equações reduzidas são:
Interseção com o plano y = 0. Fazendo y =0, e substituindo na equação do plano, obtemos x - z + 1 = 0. Assim, a interseção é dada pela reta cujas equações reduzidas são:
Interseção com o plano z = 0. Fazendo z =0, e substituindo na equação do plano, obtemos x+3y + 1 = 0. Assim, a interseção é dada pela reta cujas equações reduzidas são:
