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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
LISTA DE EXERCÍCIOS
ROTA 1: INTRODUÇÃO E SISTEMAS DE COORDENADAS
1) Dado o gráfico abaixo, quais as coordenadas de cada ponto mostrado?
2) Seja a reta abaixo. Quais as coordenadas dos pontos da reta na interseção com os eixos?
3) abaixo (sistema cartesiano), onde cada quadrado tem Seja a região retangular representada no gráfico lado com uma unidade de tamanho. Defina essa região na forma de intervalos, isto é, a≤x≤b e c≤y≤d.
4) (sistema cartesiano), onde cada quadrado tem lado Seja o círculo representado no gráfico abaixo com uma unidade de tamanho. Qual o centro e o raio deste círculo?
ROTA 2: MATRIZES
5) Seja a matriz ao lado. Responda: a) Qual a dimensão da matriz? b) Qual o valor de a 34? c) Qual o valor de a 11 +a 22 +a 35? d) Qual a posição do valor 0?
A
6) Ache as transpostas das matrizes abaixo.
a)
A b)^ B^ =^ 41 02 63 c)
C
7) Sejam as matrizes abaixo.
A e
B
Calcule A+B, A-B, AB e BA. 8) Sejam as matrizes abaixo. A = [ 1 2 2 0 1 ]e BT^ =[ 0 1 3 2 1 ] Calcule AB. 9) Sejam as matrizes abaixo.
a) A = (^) 21 93 b)
B c)
C
Calcule os determinantes de cada uma delas.
ROTA 3: SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
10) Quais dos sistemas abaixo são sistemas de equações lineares.
a) (^) xln+^ xy+ =ln 2 y=^1 b)
x y z 0
2 x 3 y 1
x y z 2 c) (^)
x y 2
x y^13
d) (^) xx^ ++yy= =^34 y e)^ xx^ ++yy = 2 =^10
(^22) f)
yz 4
2 x 3 y 1
x y z 2
11) Resolva os sistemas de equações lineares abaixo.
a) (^) 2 xx^ +−yy= =^33 b)^ ^3 xx^ −+y^2 =y 1 =^0 c)^ xx++y^2 y == 24
12) Resolva os sistemas de equações lineares abaixo.
a)
2 x y z 0
2 x 3 y 1
x y z 2 b)
x y 2 z 0
2 x y 2 z 1
x y 4 c)
x 2 y z 2
2 x 3 y z 1
y 2 z 2
ROTA 4: VETORES
13) Sejam os vetores no plano mostrados abaixo.
a) y 2 = 4 −x^2 b) 4 y 2 + x^2 = 4 c) 4 y^2 = 4 +x^2 d) y = 4 x+ x^2 21) Seja a circunferência (x-2)^2 +(y-3)^2 =4. Determine se os pontos abaixo são internos, externos ou estão sobre a circunferência. a) (0,0) b)^ (4,3)^ c)^ (3,2)^ d)^ (0,3)^ e)^ (3,5) 22) Seja a parábola y=x^2 -5x+6. Determine o seu vértice. 23) Seja a parábola y=x^2 -x+A. Determine os valores para A que garantam que y>0 para qualquer x. 24) Seja a elipse mostrada abaixo. Qual a sua equação na forma padrão?
ROTA 6: ESPAÇOS VETORIAIS
25) O vetor u=(1,0,-2) é uma combinação linear dos vetores v=(2,1,-1) e w=(3,2,0) na forma u=av+bw (a e b reais). Quais os valores de a e b? (1,0,-2) = a(2,1,-1) + b(3,2,0) X: 1=2a+3b Y: 0=a+2b.
26) O vetor u=(3,2,6) é uma combinação linear dos vetores v=(1,1,1), w=(0,1,1) e z=(1,2,3) na forma u=av+bw+cz (a, b e c reais). Quais os valores de a, b e c? 27) Seja o conjunto de vetores V={(2,0,0), (0,-1,0), (0,0,1/2)}. Esse conjunto é linearmente independente? Explique. 28) O que é uma base ortonormal? Dê um exemplo para o R^4.
ROTA 7: TRANSFORMAÇÕES LINEARES
29) Seja a transformação T:R^3 →R^2 , T(x,y,z)=(x+y, z+3). Essa transformação é linear. 30) Seja a transformação linear T:R^3 →R^3 , T(x,y,z)=(x+y-z,x-y+z,2z). Calcule T(1,1,1), T(1,-1,1) e T(1,2,3). 31) transformação, tal que T(v)=Av, v=(x,y,z). Seja a transformação linear T:R^3 →R^3 , T(x,y,z)=(x-y-z,x-2y+z,3z+2y+x). Qual a matriz A dessa
32) Sejam as transformações lineares do tipo Ti:R^3 →R^3 , T 1 (x,y,z)=(x-y,x-2y+z,x+y+z) e T 2 (x,y,z)=(x+y,y+z,x). Qual a matriz A da transformação T=T 1 -T 2? 33) Seja a transformação linear T:R^3 →R^3 , T(v)=Av, v=(x,y,z). Essa transformação é de reflexão em relação ao plano (x,y). Qual é a matriz A? 34) Seja a transformação linear T:R^3 →R^3 , T(v)=Av, v=(x,y,z). Sabe-se que T(1,1,1)=(2,2,2), T(1,2,3)=(2,4,6) e T(4,2,3)=(8,4,6). Qual é a possível matriz A? Que tipo de transformação ela representaria?
35) O operador linear de rotação no plano pode ser representado como abaixo. v' =sencosθθ −cossen θθ v
Se v = ( 2 , 0 )e (a) v' = ( 1 , 3 )e (b) v '= ( 2 , 2 ), quais são os ângulos θ?
√3^1 ^ −^ ^20
1 2cos √3 2sin
ROTA 8: AUTOVALORES, AUTOVETORES E DIAGONALIZAÇÃO
36) Sejam as matrizes abaixo. Calcule seus autovalores.
a) (^) ^26 − 31 b) (^) 23 31 c) (^) 13 13 d)
37) Seja a transformação linear T:R^2 →R^2 dada por T(x,y)=(2x-y,-3y). Quais são os autovalores da matriz de transformação? Determine dois autovetores associados. 38) Obtenha (a) o polinômio característico, (b) os autovalores e (c) os autovetores da matriz (^) 10 12 .
39) Seja a transformação linear T:R^2 →R^2 dada por T(x,y)=(x+3y,-x+5y). (a) Quais são os autovalores da matriz de transformação? (b) Quais são os autovetores associados? 40) Seja um operador linear T:R^2 →R^2 na base B diagonalizado na base B' e referenciado como T'. Assim, conhecido o sistema de mudança de base v=Mv' para a base do operador diagonalizado, os passos para calcular T(v) são os seguintes:
- obter v' a partir de v usando o sistema v=Mv' (resolver o sistema usando os valores de v para obter v');
- aplicar T' a v' para obter u'=T'(v');
- substituir u' no sistema de mudança de base u=Mu' para obter u (basta multiplicar M por u'); o vetor u é T(v). Assim sendo, seja o seguinte sistema de mudança de base e o respectivo operador diagonalizado.
vv 21 = −^1116 vv '' 21 e^ T'(v')= 03 −^04 vv'' 21 = −^34 vv'^1 ' 2 Usando este processo, calcular vetor u=T(2,2).
29) T(x 1 ,y 1 ,z 1 )+T(x 2 ,y 2 ,z 2 )=(x 1 +y 1 ,z 1 +3)+(x 2 +y 2 ,z 2 +3)= (x 1 +y 1 +x 2 +y 2 ,z 1 +z 2 +6) (A) T(x 1 +x 2 ,y 1 +y 2 ,z 1 +z 2 )=(x 1 +y 1 +x 2 +y 2 ,z 1 +z 2 +3) (B) (A)≠(B) → Não é transformação linear! 30) T(1,1,1)=(1,1,2); T(1,-1,1)=(-1,3,2); T(1,2,3)=(0,2,6).
31)
A.
A.
A.
A , transformação de expansão no espaço.
35) a) 60o; b) 45o. 36) a) λ 1 =4; λ 2 =5; b) λ 1 = 3 + 2 ; λ 2 = 3 − 2 ; c) λ 1 =2; λ 2 =4; d) λ 1 =0; λ 2 =2. 37) λ 1 =-3; λ 2 =2; v 1 =(x 1 ,5x 1 ) e v 2 =(x 1 ,0) → v 1 =(1,5) e v 2 =(1,0). 38) (a) p(λ)= λ^2 - λ-2; (b) λ 1 =2 e λ 2 =-1; (c) v 1 =(x 1 ,x 1 ) e v 2 =(x 1 , x 1 /2) → v 1 =(1,1) e v 2 =(2,1). 39) (a) λ 1 =2, λ 2 =4; (b) v 1 =(3,1) e v 2 =(1,1). 40) u=(-18,2).
