Geometria Analítica
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Geometria Analítica: Superfícies de Revolução - Hiperboloides e Paraboloides, Notas de aula de Geometria
Os hiperboloides de revolução são obtidos por rotações em torno dos eixos y a z. Page 3. Hiperboloide de uma folha. Fazendo a rotação da hipérbole em torno do ...
Tipologia: Notas de aula
2022
1 / 30
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Geometria Analítica
Superfícies
Prof° Marcelo Maraschin de Souza
Hiperboloide de Revolução
Considere no plano yz a hipérbole de equações 𝑦^2 𝑏^2
𝑧^2 𝑐^2
Os hiperboloides de
revolução são obtidos
por rotações em torno dos eixos y a z.
Hiperboloide de uma folha
A equação será obtida substituindo y por 𝑥 2
- 𝑦 2 , ou seja, 𝑥 2 𝑏^2
y 2 b^2
z 2 𝑐^2
De uma forma mais generalizada, pode dizer que a equação de um hiperboloide de uma folha ao longo do eixo z é representada por
2
2
y
2
b
2
z
2
2
Hiperboloide de uma folha
Hiperboloide de uma folha ao longo do eixo y é representada por
2
2
y
2
b
2
z
2
2
Hiperboloide de uma folha ao longo do eixo x é representada por
2
2
y
2
b
2
z
2
2
Hiperboloide de duas folhas
Fazendo a rotação da hipérbole em torno do eixo y resulta no hiperboloide de duas folhas.
Hiperboloide de duas folhas
Hiperboloide de duas folhas
Hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo x é representada por
2
2
y
2
b
2
z
2
2
Hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo z é representada por
2
2
y
2
b
2
z
2
2
Hiperboloide de duas folhas
O traço do hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo y é dado por
2
2
2
2
2
2
2
2
No plano xz, y=k, tem-se conjunto vazio, um ponto ou
elipses.
Paraboloide
Consideremos a parábola no plano yz de equações
2
2
Paraboloide Elíptico
Paraboloide Elíptico
Um paraboloide elíptico ao longo do eixo y é representado por 𝑦 =
2 𝑎 2
2 𝑐 2
Um paraboloide elíptico ao longo do eixo x é representado
por
2
2
2
2
Paraboloide Elíptico
O traço do paraboloide elíptico ao longo do eixo z é dado por
2
2
2
2
Obs: Traços no nos planos z=k> 0 são elipses.
Paraboloide Hiperbólico
Paraboloide Hiperbólico
Um paraboloide hiperbólico ao longo do eixo z é representado por 𝑧 =
2 𝑏^2
2 𝑎^2 Um paraboloide hiperbólico ao longo do eixo y é representado por 𝑦 =
2 𝑐 2
2 𝑎 2 Um paraboloide hiperbólico ao longo do eixo x é representado por 𝑥 =
2 𝑐^2
2 𝑏