Fundamentos de Matemática e Estatística, Slides de Matemática e Estatística

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Fundamentos de

Matemática e Estatística

Aritmética - Revisão

Prof. Lúcio Soares e Silva Jr Mestre em Educação pela FACED - UFC FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA PROF.LÚCIO JR 1

Objetivos

• (^) Reconhecer os sistemas numéricos;
• (^) Saber como utilizá-los na prática. Nemo nascitur sapiens. Tempora mutantur et nos in illis.” “Ninguém nasce sabendo. Novos tempos, novos costumes. ” - (^) Pensador desconhecido FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA PROF.LÚCIO JR 2

Continuando...

• (^) Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o numerador e denominador ∈ Z). Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas.
• (^) São exemplos de números racionais: -3/5 ; +9/2 ; 2; 0,3333, etc.
• (^) Todos os números decimais são racionais.
• (^) Todas as dízimas periódicas (simples ou compostas) são racionais.
• (^) 5 / 6 = 0.833333...... ; período = 3 ; parte não periódica = 8.
• (^) 157 / 55 = 2,8545454.... ; período= 4 ; parte não periódica= FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA PROF.LÚCIO JR 4

As Dízimas

• (^) Dízima periódica simples: Para cada algarismo do período colocamos um 9 no denominador.
• (^) Exemplo : 0,2222.... = 0, 2 = 2 / 9 ; 0,27272727 = 0,27 = 27/
• (^) Dízima periódica composta:
• (^) Exemplo : 0,23535.... = 0, 235 = (235 – 2)/990 = 233/
• (^) 4,23535.... = 4, 235 = (4235 – 42)/990 = 4193/
• (^) Numerador : parte não periódica seguida do período menos parte não periódica.
• (^) Denominador: tantos 9 quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica não inteira. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA PROF.LÚCIO JR 5

Os Reais

• (^) É o conjunto dos números reais, formados

por todos os números racionais e

irracionais.

• (^) Notemos a propriedade:
• (^) N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R – Importantíssimo; Z ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R – Importantíssimo; Q ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R – Importantíssimo; R – Importantíssimo;
• (^) isto é, todo número natural é inteiro, todo

número inteiro é racional, todo número

racional é real.

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA PROF.LÚCIO JR 7

Notações Importantes em Matemática FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA PROF.LÚCIO JR 8 = (igual à) ≠ (diferente de) φ ou { } (conjunto vazio) ∈ (pertence à) ∉ (não pertence à) ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R – Importantíssimo; (está contido) ⊄ (não está contido) ⊃ (contém) ⊃ / (não contém) ∃ (existe pelo menos um) ∃ / (não existe) ∃ | (existe e é único) - | (tal que / tais que) ∨ (ou) ∧ (e) - A∩B (interseção dos conjuntos A e B) A ∪ B (união dos conjuntos A e B) B (união dos conjuntos A e B) ∀ (para todo e qualquer, qualquer que seja) ⇒ (implica)(implica) ⇔ (implica e a recíproca é equivalente) - ∴ (donde se conclui)(donde se conclui)

Importante

• (^) Note que entre dois números reais existem infinitos números reais. Por exemplo:
• (^) Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais: 1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1, ... FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA PROF.LÚCIO JR 10 Q Z^ N R Ir N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R – Importantíssimo; Z ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R – Importantíssimo; Q ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R – Importantíssimo; R Ir ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R – Importantíssimo; R Q ∪ B (união dos conjuntos A e B) Ir = R Q ∩ Ir =Ǿ Ir = R - Q

Números Reais

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA PROF.LÚCIO JR 11 0

-∞ +∞ Módulo ou Valor Absoluto O módulo de + 7 é 7. O módulo de -7 é 7. O módulo de 0 é 0. Podemos, então, dizer que o módulo ou valor absoluto de um número real é sempre positivo, com exceção do número zero que não tem sinal. / -7 / = 7 ; / 7 / = 7 ; / 0 / = 0

Subtração ou Diferença

• (^) Com o sinal de menos (–) antes de um parêntese trocamos o sinal do número que está entre parênteses e procedemos como na operação anterior.
• (^) a) (+10) − (+2) = +10 − 2 = +
• (^) b) (+10) − (−2) = +10 + 2 = +
• (^) c) (−10) − (+2) = −10 − 2 = −
• (^) Minuendo – subtraendo = resto ou diferença FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA PROF.LÚCIO JR 13

Multiplicação/Divisão

• (^) Regra : Números de mesmo sinal dão sempre resultado positivo, enquanto que os de sinais contrários conduzem sem pre a resultados negativos.
• (^) a) (+10)×(+2) = +
• (^) b) (+10) × (−2) = −
• (^) c) (−10) × (−2) = +
• (^) d) (−10) ÷ (−2) = +
• (^) Multiplicação - 1º fator x 2º fator = Produto
• (^) Divisão - Dividendo ÷ Divisor = Quociente
• (^) Quociente x Divisor + Resto = Dividendo FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA PROF.LÚCIO JR 14

Radiciação

• (^) Raiz n-ésima de um número:
• (^) Dizemos que um número “ b” é a raiz n-ésima exata de um número “a” quando
• (^) a = bn^ e ela é representada por:
• (^) Denomina-se radiciação a operação pela qual se obtém a raiz n-ésima de um número. Nas
• (^) operações exatas, a radiciação é a operação inversa da potenciação. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA PROF.LÚCIO JR 16 n

√a =

b

Continuação da Explicação

• (^) Assim, temos:
• (^) O sinal √ é o radical, o número “a” é o radicando e o número “n” é o índic
• (^) √ 9 = 3 porque 3^2 = 9 e do radical.
• (^) √ 8 = 2 porque 2^3 = 8.
• (^) No caso de n = 2 a raiz se diz quadrada
• (^) No caso de n = 3 a raiz se diz cúbica FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA PROF.LÚCIO JR 17

Continuação das Propriedades

• (^) e) Base dez : O número de zeros de uma potência é igual ao valor do expoente.
• (^105) = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 10.
• (^) Emprego de Potências de Dez para simplificar a representação de certos números:
• (^) 2.000 = 2×10^3 ; 4.000 .000 = 4×10^6
• (^) 0,0003 = 3×10−4^ 0,025 = 25×10− FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA PROF.LÚCIO JR 19

Ainda continuando...

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA PROF.LÚCIO JR 20 a = √ ap p -- q q

• (^) f) Base fracionária : Elevar uma fração a um expoente é o mesmo que elevar os seus termos a este expoente.
• (^) (1/2)^4 = (1^4 )/(2^4 ) = 1 / 16
• (^) h) Expoente Fracionário
• (^) Toda potência de expoente fracionário equivale a uma raiz cujo índice é o denominador da fração e cujo radicando é a base elevada a um expoente igual ao numerador, ou seja: