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OBJETIVOS:Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:Demonstrar propriedades envol- vendo união de conjuntos; Demonstrar propriedades envol- vendo interseção de conjuntos.
Tipologia: Resumos
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Não perca as partes importantes!
Apresentar algumas propriedades da diferença e do complementar de conjuntos.
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Demonstrar propriedades envol- vendo diferença entre conjuntos; Demonstrar propriedades envol- vendo complementar de conjuntos.
Aula-04 e Aula-07 os conhecimentos das regras de inferência e das regras de equivalência e da teoria axiomática dos conjuntos.
Operações com Conjuntos: Diferença e Complementar
Na aula anterior, vimos operações de união e intersecção en- tre dois conjuntos e algumas propriedades envolvendo as mesmas. Provamos duas delas e deixamos outras como atividades em sala de aula. Na aula de hoje, continuando o estudo das relações en- tre conjuntos veremos mais três operações entre conjuntos. A di- ferença entre conjuntos e uma operação semelhante denominada diferença simétrica e o complementar de um conjunto. Veremos também algumas das propriedades destas operações e finalizando, provaremos duas das propriedades.
Começaremos nossa aula, definindo a diferença de conjuntos. Como o nome indica, a diferença de conjuntos é uma idéia intuitiva de criar um conjunto a partir de dois outros, juntando todos os elementos de um conjunto que não está no outro conjunto.
Definição 9.1. Sejam A e B dois conjuntos. Definimos a diferença de A menos B, denotada A\B, por: ∀A, ∀B(∀x(x ∈ A ∧ x /∈ B) ↔ x ∈ A\B).
Para a diferença de conjuntos listamos aqui, entre outras, as se- guintes propriedades: Sejam A, B e C conjuntos. Valem então as seguintes propriedades:
Operações com Conjuntos: Diferença e Complementar
Começaremos essa seção, definindo o complementar de um con- junto relativo a outro conjunto que o contém. Como o nome indica, o complementar de um conjunto relativo a outro conjunto que o contém é uma idéia intuitiva de criar um conjunto a partir de dois outros, juntando todos os elementos que pertençam ao primeiro conjunto e que falta ao segundo para completar o primeiro.
Definição 9.3. Sejam A e B dois conjuntos tais que B ⊂ A. Definimos o complementar de B relativo a A, denotado A(B), por: ∀A, ∀B((B ⊂ A)∀x(x ∈ A ∧ x /∈ B) ↔ x ∈ A(B)).
Para o complementar de conjuntos listamos aqui, entre outras, as seguintes propriedades: Sejam A, B e C conjuntos tais que B, C ⊂ A. Valem então as seguintes propriedades:
Fundamentos da Matemática: Livro 1
Nesta seção, demonstraremos algumas das (mais precisamente duas) propriedades vistas acima. Provaremos primeiramente a quarta das propriedades da diferença entre conjuntos. A saber: Propriedade1: sejam A, B e C tais que, B ⊂ A e C ⊂ A então A(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C). PROVA É suficiente mostrar que: A(B ∪ C) ⊂ (A\B) ∩ (A\C) e que (A\B) ∩ (A\C) ⊂ A(B ∪ C) a) Primeiramente mostraremos que: A(B ∪ C) ⊂ (A\B) ∩ (A\C) ∀x, x ∈ (A(B ∪ C)) Da definição de diferença entre conjuntos temos: (x ∈ A) ∧ x /∈ (B ∪ C) Ou de outra forma: (x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ (B ∪ C)) Da definição de união de conjuntos temos: (x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B ∨ x ∈ C) Da lei de De Morgan ¬(α ∨ β) ≡ ¬α ∧ ¬β temos: (x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B) ∧ ¬(x ∈ C) De outro modo: (x ∈ A) ∧ (x /∈ B) ∧ (x /∈ C) Como α ≡ α ∧ α temos: (x ∈ A) ∧ (x ∈ A) ∧ (x /∈ B) ∧ (x /∈ C) Rearrumando temos: ((x ∈ A) ∧ (x /∈ B)) ∧ ((x ∈ A) ∧ (x /∈ C)) Da definição de diferença de conjuntos temos: x ∈ (A\B) ∧ x ∈ (A\C)
Fundamentos da Matemática: Livro 1
Da definição de contido: (A\B) ∩ (A\C) ⊂ A(B ∪ C) Das partes a) e b) temos: (A(B ∪ C) ⊂ (A\B) ∩ (A\C)) ∧ ((A\B) ∩ (A\C) ⊂ A(B ∪ C)) Portanto, da definição de igualdade de conjuntos temos: A(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C)
Veremos agora mais uma demonstração de uma das propriedades do complementar. A saber: Propriedade2: A(A(B)) = B PROVA É suficiente mostrar que: A(A(B)) ⊂ B e que B ⊂ A(A(B)) a) Primeiramente mostraremos que: A(A(B)) ⊂ B ∀x, x ∈ A(A(B)) Da definição de complementar temos: x ∈ A ∧ x /∈ A(B) De outro modo: x ∈ A ∧ ¬(x ∈ A(B)) Da definição de complementar temos: x ∈ A ∧ ¬(x ∈ A ∧ x /∈ B) De outro modo: x ∈ A ∧ ¬(x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B)) Da lei de De Morgan ¬(α ∧ β) ≡ ¬α ∨ ¬β temos: x ∈ A ∧ (¬(x ∈ A) ∨ ¬¬(x ∈ B)) Como ¬¬α ≡ α temos: x ∈ A ∧ (¬(x ∈ A) ∨ x ∈ B) Como α ∧ (β ∨ γ) ≡ (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ) temos: (x ∈ A ∧ ¬(x ∈ A)) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ B) Como ⊥≡ (x ∈ A ∧ ¬(x ∈ A)) temos: ⊥ ∨(x ∈ A ∧ x ∈ B)
Operações com Conjuntos: Diferença e Complementar
Como ⊥ ∨α ≡ α temos: x ∈ A ∧ x ∈ B Como B ⊂ A então x ∈ A ∧ x ∈ B → x ∈ B. Logo: x ∈ B Daí, temos: ∀x, x ∈ A(A(B)) → x ∈ B Da definição de contido: A(A(B)) ⊂ B b) Em seguida, mostrarmos que: B ⊂ A(A(B)) ∀x, x ∈ B Como B ⊂ A, x ∈ B → x ∈ A ∧ x ∈ B temos: x ∈ A ∧ x ∈ B Como ⊥ ∨α ≡ α temos: ⊥ ∨(x ∈ A ∧ x ∈ B) Como ⊥≡ (x ∈ A ∧ ¬(x ∈ A)) temos: (x ∈ A ∧ ¬(x ∈ A)) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ B) Como α ∧ (β ∨ γ) ≡ (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ) temos x ∈ A ∧ (¬(x ∈ A) ∨ x ∈ B) Como ¬¬α ≡ α temos: x ∈ A ∧ (¬(x ∈ A) ∨ ¬¬(x ∈ B)) Da lei de De Morgan ¬(α ∧ β) ≡ ¬α ∨ ¬β temos: x ∈ A ∧ ¬(x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B)) De outro modo: x ∈ A ∧ ¬(x ∈ A ∧ x /∈ B) Da definição de complementar temos: x ∈ A ∧ ¬(x ∈ A(B)) De outro modo: x ∈ A ∧ x /∈ A(B)
Operações com Conjuntos: Diferença e Complementar
Sejam A, B e C conjuntos. Valem então as seguintes propriedades para a diferença simétrica de conjuntos:
Sejam A, B e C conjuntos ,tais que B, C ⊂ A. Valem então as seguintes propriedades para o complementar de conjuntos:
Fundamentos da Matemática: Livro 1
Deixamos como atividades a demonstração de alguma das pro- priedades acima.
ATIV. 9.1. Sejam A e B conjuntos. Mostre que:
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as demonstrações acima, elas lhe servirão de guia.
ATIV. 9.2. Sejam A, B e C conjuntos, tais que B, C ⊂ A. Mos- tre que:
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as demonstrações acima, elas lhe servirão de guia.
FERREIRA, Fernando,Teoria dos Conjuntos: Uma Vista, Boletim da Sociedade Portuguesa de Matemática 38: 29-47, 1998. HALMOS, Paul Richard, Naive Set Theory, Springer-Verlag, 1974. CASTRUCCI, Benedito, Elementos da Teoria de Conjuntos. São Paulo: GEEM, 1970.
