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Nesta aula, aprenderemos a definir, propriedades e relações da operação de união e interseção de conjuntos, fundamentais na teoria dos conjuntos. Além disso, provaremos diversas propriedades dessas operações.
Tipologia: Resumos
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Não perca as partes importantes!
Introduzir algumas propriedades da união e da interseção de conjuntos.
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Demonstrar propriedades envol- vendo união de conjuntos; Demonstrar propriedades envol- vendo interseção de conjuntos.
Aula-04 e Aula-07 os conhecimentos das regras de inferência e das regras de equivalência e da teoria axiomática dos conjuntos.
Operações com Conjuntos: União e Interseção
Na aula anterior, vimos duas teorias axiomáticas dos conjuntos. A primeira (Teoria dos Conjuntos de Cantor) que teve sua impor- tância histórica por ser a primeira a lançar sementes para teorias mais elaboradas como a de Zermelo-Fraenkel. A segunda vista, com mais detalhes (Teoria dos Conjuntos de Zemelo-Fraenkel) cor- rigiu alguns dos defeitos da primeira e é hoje em dia a base dos Fundamentos da Matemática. Embora importante por si só, uma teoria axiomática é como uma criança cheia de potencial, mas que é preciso ser desenvolvida. Na aula de hoje, continuaremos por de- senvolver a Teoria dos Conjuntos, definindo as operações de união e intersecção e provando algumas de suas propriedades.
Começaremos nossa aula, definido união de conjuntos. Como o nome indica, a união de conjuntos é uma idéia intuitiva de criar um conjunto a partir de dois outros juntando todos os elementos de cada um dos dois conjuntos.
Definição 8.1. Sejam A e B dois conjuntos. Definimos a união de A com B, denotada A ∪ B, por: ∀A, ∀B(∀x(x ∈ A ∨ x ∈ B) ↔ x ∈ A ∪ B).
Antes de continuar com as propriedades da união de conjuntos, observaremos que a definição de igualdade entre conjuntos pode ser modificada do seguinte modo: ∀A, ∀B(∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B) ↔ A = b) Como α ↔ β ≡ (α → β) ∧ (β → α) temos:
Operações com Conjuntos: União e Interseção
OBS 8.1. Nem sempre dois conjuntos A e B compartilham ele- mentos em comum, neste caso dizemos que os conjuntos são dis- juntos e escrevemos A ∩ B = ∅.
Para a interseção de conjuntos listamos aqui, entre outras, as se- guintes propriedades: Sejam A, B e C conjuntos. Valem então as seguintes propriedades:
Para a união e interseção de conjuntos listamos aqui, entre outras, as seguintes propriedades: Sejam A, B e C conjuntos. Valem então as seguintes propriedades:
Adicionalmente listaremos também algumas propriedades da rela- ção de contido.
Fundamentos da Matemática: Livro 1
Para a relação de contido entre conjuntos listamos aqui, entre ou- tras, as seguintes propriedades: Sejam A, B e C conjuntos. Valem então as seguintes propriedades:
Nesta seção, vamos demonstrar algumas das propriedades vis- tas acima. Vamos provar a primeira das propriedades da união e interseção. A saber: Propriedade1: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). PROVA É suficiente mostrar que: A∩(B∪C) ⊂ (A∩B)∪(A∩C) e que (A∩B)∪(A∩C) ⊂ A∩(B∪C). a) Primeiramente mostraremos que: A∩(B∪C) ⊂ (A∩B)∪(A∩C) ∀x, x ∈ A ∩ (B ∪ C) Da definição de interseção de conjuntos: x ∈ A ∧ x ∈ (B ∪ C) Da definição de união de conjuntos: x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C) Como α ∧ (β ∨ γ) ≡ (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ) temos: (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C) Da definição de interseção de conjuntos: x ∈ (A ∩ B) ∨ x ∈ (A ∩ B)
Fundamentos da Matemática: Livro 1
Propriedade2: A ∩ B = B ∩ A PROVA É suficiente mostrar que: A ∩ B ⊂ B ∩ A e que B ∩ A ⊂ A ∩ B. a) Primeiramente mostraremos que: A ∩ B ⊂ B ∩ A ∀x, x ∈ A ∩ B Da definição de interseção temos: x ∈ A ∧ x ∈ B Como α ∧ β ≡ β ∧ α temos: x ∈ B ∧ x ∈ A Da interseção de conjuntos temos: x ∈ B ∩ A Daí, teremos que: ∀x, x ∈ A ∩ B → x ∈ B ∩ A Da definição de contido: A ∩ B ⊂ B ∩ A b) Em seguida mostraremos que: B ∩ A ⊂ A ∩ B ∀x, x ∈ B ∩ A Da definição de interseção temos: x ∈ B ∧ x ∈ A Como α ∧ β ≡ β ∧ α temos: x ∈ A ∧ x ∈ B Da interseção de conjuntos temos: x ∈ A ∩ B Daí, teremos que: ∀x, x ∈ B ∩ A → x ∈ A ∩ B Da definição de contido: B ∩ A ⊂ A ∩ A Das partes a) e b) teremos:
Operações com Conjuntos: União e Interseção
(A ∩ B ⊂ B ∩ A) ∧ (B ∩ A ⊂ A ∩ A) Portanto, da definição de igualdade de conjuntos temos: A ∩ B = B ∩ A
Caro aluno, a nossa aula termina aqui, mas como você deve ter percebido o conteúdo abordado, devido ao seu aspecto técnico, exi- ge uma dedicação maior. Na próxima aula, prosseguiremos vendo mais operações sobre conjuntos. Em particular detalharemos a diferença e o complementar.
Caro aluno, não é sufuciente ter uma teoria dos conjuntos li- vre de paradoxos. Precisamos completá-la com operações sobre conjuntos. Duas operações em especial, a união e a interseção de dois conjuntos, formam um terceiro reunindo todos os elementos de cada conjunto e separando os elementos que são comuns aos dois respectivamente.
Sejam A, B e C conjuntos. Valem então as seguintes propriedades para a união de conjuntos:
Operações com Conjuntos: União e Interseção
Comentário: Reveja a seção: Algumas Demonstrações.
ATIV. 8.2. Sejam A e B conjuntos. Mostre que:
Comentário: Reveja a seção: Algumas Demonstrações.
FERREIRA, Fernando.Teoria dos Conjuntos: Uma Vista, Boletim da Sociedade Portuguesa de Matemática 38: 29-47, 1998. HALMOS, Paul Richard, Naive Set Theory, Springer-Verlag, 1974. CASTRUCCI, Benedito. Elementos da Teoria de Conjuntos. São Paulo: GEEM, 1970.
