Fundamentos de Algebra I, Notas de estudo de Matemática

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fundamentos de álgebra I

Fundamentos de Álgebra I

Universidade Federal de Minas Gerais Reitor: Clélio Campolina Diniz Vice-Reitora: Rocksane de Carvalho Norton Pró-reitoria de Graduação Pró-Reitora: Antônia Vitória Soares Aranha Pró-Reitor Adjunto: André Luiz dos Santos Cabral Diretor do CAED: Fernando Fidalgo Coordenador da UAB-UFMG: Wagner José Corradi Barbosa Coordenador Adjunto UAB-UFMG: Hormindo Pereira de Souza Júnior

editora UFMG Diretor: Wander Melo Miranda Vice-Diretor: Roberto Alexandre do Carmo Said Conselho editorial Wander Melo Miranda (presidente) Flavio de Lemos Carsalade Heloisa Maria Murgel Starling Márcio Gomes Soares Maria das Graças Santa Bárbara Maria Helena Damasceno e Silva Megale Paulo Sérgio Lacerda Beirão Roberto Alexandre do Carmo Said

ASSISTÊNCIA EDITORIAL Eliane Sousa e Euclídia Macedo EDITORAÇÃO DE TEXTOS Maria do Carmo Leite Ribeiro REVISÃO E NORMALIZAÇÃO Danivia Wolff REVISÃO DE PROVAS Danivia Wolff PROJETO GRÁFICO E CAPA Eduardo Ferreira FORMATAÇÃO Sérgio Luz PRODUÇÃO GRÁFICA Warren Marilac IMPRESSÃO Imprensa Universitária da UFMG

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© 2011, Ana Cristina Vieira © 2011, Editora UFMG © 2012, REIMPRESSÃO Este livro ou parte dele não pode ser reproduzido por qualquer meio sem autorização escrita do Editor.

Vieira, Ana Cristina Fundamentos de Álgebra I / Ana Cristina Vieira. – Belo Horizonte : Editora UFMG, 2011.

75 p. : il. (Educação a Distância)

ISBN: 978-85-7041-842-

1. Álgebra. 2. Matemática. I. Título. II. Série.

CDD: 512 CDU: 512

V657f

Elaborada pela DITTI – Setor de Tratamento da Informação Biblioteca Universitária da UFMG

PrÓ-reitoria de GradUaÇÃo Av. Antônio Carlos, 6.627 - Reitoria - 6º andar Campus Pampulha - 31270-901 - Belo Horizonte - MG Tel.: + 55 31 3409-4054 - Fax: + 55 31 3409- www.ufmg.br - info@prograd.ufmg.br - educacaoadistancia@ufmg.br

Este livro recebeu apoio financeiro da Secretaria de Educação a Distância do MEC.

A Educação a Distância (EAD) é uma modalidade de ensino que busca

promover inserção social pela disseminação de meios e processos de

democratização do conhecimento. A meta é elevar os índices de esco-

laridade e oferecer uma educação de qualidade, disponibilizando uma

formação inicial e/ou continuada, em particular, a professores que não

tiveram acesso a esse ensino.

Não se pode ignorar que é fundamental haver, sempre, plena conexão

entre educação e aprendizagem. A modalidade a distância é um tipo

de aprendizagem que, em especial na Universidade Federal de Minas

Gerais (UFMG), já está concretizada como um ensino de qualidade. Hoje, a aprendizagem tornou-se, para todos os profissionais dessa

universidade envolvidos no programa de Educação a Distância, sinô-

nimo de esforço e dedicação de cada um.

Este livro visa desenvolver no curso a distância os mesmos conheci-

mentos proporcionados num curso presencial. Os alunos estudarão

o material nele contido e muitos outros, que lhe serão sugeridos em

bibliografia complementar. É importante terem em vista que essas

leituras são de extrema importância para, com muita dedicação, avan-

çarem em seus estudos.

Cada volume da coletânea está dividido em aulas e, em cada uma delas,

trata-se de determinado tema, que é explorado de diferentes formas

• textos, apresentações, reflexões e indagações teóricas, experimenta-

ções ou orientações para atividades a serem realizadas pelos alunos. Os

objetivos propostos em cada uma das aulas indicam as competências e

habilidades que os alunos, ao final da disciplina, devem ter adquirido.

Os exercícios indicados ao final de cada aula possibilitam aos alunos

avaliarem sua aprendizagem e seu progresso em cada passo do curso.

Espera-se que, assim, eles se tornem autônomos, responsáveis, críticos

e decisivos, capazes, sobretudo, de desenvolver a própria capacidade

intelectual. Os alunos não podem se esquecer de que toda a equipe

de professores e tutores responsáveis pelo curso estará, a distância ou

presente nos polos, pronta a ajudá-los. Além disso, o estudo em grupo,

a discussão e a troca de conhecimentos com os colegas serão, nessa

modalidade de ensino, de grande importância ao longo do curso.

Agradeço aos autores e à equipe de produção pela competência, pelo

empenho e pelo tempo dedicado à preparação deste e dos demais

livros dos cursos de EAD. Espero que cada um deles possa ser valioso

para os alunos, pois tenho certeza de que vão contribuir muito para o

sucesso profissional de todos eles, em seus respectivos cursos, na área

da educação em geral do país.

Ione Maria Ferreira de Oliveira Coordenadora do Sistema Universidade Aberta do Brasil (UAB/UFMG)

sumário

• Introdução
• Aula 1 | Princípio de Indução Matemática
• Aula 2 | PIM e PBO
• Aula 3 | Lema de Euclides
• Aula 4 | Divisibilidade
• Aula 5 | Números primos
• Aula 6 | Teorema Fundamental da Aritmética
• Aula 7 | Máximo divisor comum
• Aula 8 | Equações diofantinas lineares e MMC
• Referências
• Sobre a autora

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Fundamentos de Álgebra I

ver resultados que dizem respeito à sua distribuição entre os naturais e faremos a demonstração da infinitude dos primos. Comentaremos alguns problemas em aberto sobre primos que são curiosamente estu- dados até hoje.

Daremos continuidade ao estudo de números primos na Aula 6, onde demonstraremos o Teorema Fundamental da Aritmética, que garante que todos os naturais a partir de 2 podem ser escritos como um produto de números primos. A unicidade desta fatoração implica em conse- quências interessantes na Teoria dos Números, conforme veremos.

Na Aula 7, nos ocuparemos do estudo de divisores comuns de dois inteiros, sendo destacado o máximo divisor comum (MDC). Veremos quais são as alternativas para calculá-lo e estudaremos suas principais propriedades.

Na Aula 8, introduziremos as chamadas equações diofantinas lineares, que se destinam a resolver problemas que tenham como soluções pares de números inteiros e veremos que a existência de tais soluções está relacionada com propriedades do MDC. Finalizaremos estudando o mínimo múltiplo comum (MMC) de dois inteiros e sua relação com o MDC.

Nas referências no fim deste texto destacamos alguns livros recentes em Teoria de Números que podem servir como bibliografia comple- mentar para os estudantes. Lá também destacamos a página da web onde foram consultadas as informações históricas sobre os matemá- ticos citados no texto.

AULA 1

Princípio de Indução matemática

objetIvos Vamos apresentar um dos postulados que caracterizam os números naturais: o Princípio de Indução Matemática Em seguida, veremos como utilizá-lo para demonstrar afirmações a respeito desses números

Cap´ıtulo 1

Aula 1: Princ´ıpio de

Indu¸c˜ao Matem´atica

Objetivos: Vamos apresentar um dos postulados que caracterizam os n´umeros naturais: o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica. Em seguida, veremos como utiliz´a-lo para demonstrar afirma¸c˜oes a respeito destes n´umeros.

Na matem´atica, tal como numa ciˆencia f´ısica, podemos utilizar a observa¸c˜ao para descobrir leis gerais. Mas h´a uma diferen¸ca marcante. Nas ciˆencias f´ısicas, nem sempre h´a uma autoridade superior `a observa¸c˜ao, enquanto que na matem´atica essa autoridade existe: a prova rigorosa. A prova (ou demonstra¸c˜ao) de um resultado ´e feita, de maneira geral, utilizando-se outros resultados previamente estabelecidos, mas existem sen- ten¸cas que n˜ao s˜ao provadas ou demonstradas e s˜ao consideradas como ´obvias ou como um consenso inicial necess´ario para a constru¸c˜ao ou aceita¸c˜ao de uma teoria. Nesse contexto, usaremos axioma, postulado e princ´ıpio como sinˆonimos de uma hip´otese inicial (que n˜ao ser´a demonstrada) a partir da qual outros enunciados s˜ao logicamente derivados. Aqui, vamos considerar o conjunto dos n´umeros naturais como o conjunto:

N = { 0 , 1 , 2 , · · · }.

O Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica, que ´e um postulado baseado no ´ultimo axioma de Giuseppe Peano (1858 - 1932), praticamente define este conjunto. Foi August de Morgan, que em 1883, descreveu o princ´ıpio cuidadosamente e deu a ele o nome de Indu¸c˜ao Matem´atica. Vamos entender como ´e este princ´ıpio e ver como utiliz´a-lo na demonstra¸c˜ao de afirma¸c˜oes a respeito de n´umeros naturais.

Problema 1.1 O que ´e indu¸c˜ao e o que ´e indu¸c˜ao matem´atica?

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aula 1

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A lei que acabamos de enunciar foi encontrada por indu¸c˜ao. A indu¸c˜ao tenta encontrar regularidade e coerˆencia para al´em das observa¸c˜oes. Mas, conforme j´a foi dito, ´e necess´ario uma demonstra¸c˜ao formal para que um resultado em matem´atica seja aceito como verdadeiro. Podemos fazer uma pequena simplifica¸c˜ao no enunciado da nossa conjectura pois ´e f´acil de verificar que

1 + 2 + 3 + · · · + n =

n(n + 1) 2 , para todo n = 1, 2 , · · ·. (1.2)

Para ver isto, tomamos um retˆangulo com lados n e n + 1 e fazemos o seguinte: → Dividimos o retˆangulo em n(n + 1) quadrados de lados iguais a 1, como na Figura 1a que mostra o caso n = 4 e temos 20 quadrados de lado 1. → Preenchemos os quadrados com ∗ da seguinte maneira: o primeiro qua- drado da primeira coluna, os dois primeiros quadrados da segunda coluna, os trˆes primeiros quadrados da terceira coluna e assim por diante at´e pre- enchermos os n primeiros quadrados da n-´esima coluna, como na Figura 1b para n = 4. → Notamos que a ´area da regi˜ao preenchida ´e igual a ´area da regi˜ao n˜ao preenchida e ´e dada por 1 + 2 + ... + n; para n = 4 este valor ´e 1 + 2 + 3 + 4 (ver Figura 1b). ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Figura 1a Figura 1b Ora, a ´area total do retˆangulo ´e n(n + 1) da qual a ´area preenchida ´e metade. Isto prova a f´ormula (1.2) acima. Assim, podemos transformar o resultado que encontramos por indu¸c˜ao em

13 + 2^3 + 3^3 + · · · + n^3 =

n(n + 1) 2

, para todo n = 1, 2 , · · ·. (1.3)

Muito provavelmente, a f´ormula ´e geralmente verdadeira, isto ´e, verdadeira para todos os valores de n.

Problema 1.2 Ser´a que a afirma¸c˜ao continua verdadeira quando passamos de algum valor de n para o valor seguinte n + 1?

Solu¸c˜ao: N˜ao sabemos ainda se (1.3) ´e verdadeira para um n = k arbitr´ario, mas se soub´essemos que era verdade, ter´ıamos

13 + 2^3 + 3^3 + · · · + k^3 =

k(k + 1) 2

e poder´ıamos adicionar (k + 1)^3 aos membros da equa¸c˜ao obtendo

13 + 2^3 + 3^3 + · · · + k^3 + (k + 1)^3 =

k(k+1) 2

• (k + 1)^3 = (k + 1)^2

k^2 +4(k+1) 4

(k+1)(k+2) 2

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Fundamentos de Álgebra I

8 CAP´ITULO 1. AULA 1: PRINC´IPIO DE INDUC¸ AO MATEM ˜ ATICA´

Por virtude do que acabamos de dizer, a conjectura, ao ser verdadeira para n = 6, tem tamb´em de ser verdadeira para n = 7; ao ser verdadeira para n = 7, ´e verdadeira para n = 8; e assim sucessivamente. Ou seja, o resultado est´a provado em geral. A prova precedente pode servir como padr˜ao em muitos casos semelhantes. Se tivermos uma afirma¸c˜ao sobre n´umeros naturais que afirmamos ser ver- dadeira para todo natural n a partir de um natural a, podemos ser capazes de usar a experiˆencia do exemplo anterior para concluir que a asser¸c˜ao ser´a verdadeira se for provada para n = a e se puder ser provada para k + 1, desde que seja admitida verdadeira para n = k. Este processo ´e usado tantas vezes que merece um nome. Pod´ıamos chamar- -lhe “prova de n para n + 1”, mas o termo t´ecnico aceito ´e indu¸c˜ao matem´a- tica. Em muitos casos, como no discutido acima em detalhes, a fonte ´e a indu¸c˜ao, ou seja, a asser¸c˜ao ´e encontrada experimentalmente. Deste modo, a prova surge como um complemento matem´atico `a indu¸c˜ao; o que explica o nome.

Problema 1.3 Como fazer uma demonstra¸c˜ao por indu¸c˜ao?

Solu¸c˜ao: A demonstra¸c˜ao de uma afirma¸c˜ao a respeito de n´umeros naturais baseada no Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica (PIM) ´e chamada uma prova por indu¸c˜ao. Ela consiste de duas etapas:

• etapa 1: a demonstra¸c˜ao de que a afirma¸c˜ao vale para um n´umero natural inicial a (esta etapa ´e mais comumente chamada de etapa inicial);
• etapa 2: a demonstra¸c˜ao de que a afirma¸c˜ao vale para o sucessor k + 1 de um n´umero natural arbitr´ario k > a depois de termos suposto que a afirma¸c˜ao vale para k. Esta suposi¸c˜ao ´e chamada hip´otese de indu¸c˜ao. Vamos agora estabelecer formalmente o PIM em sua forma mais simples.

PIM - primeira forma: Seja a um n´umero natural. Suponha que para cada natural n, se tenha uma afirmativa P (n) que satisfa¸ca as seguintes propriedades: (i) P (a) ´e verdadeira (ou seja, a afirmativa vale para n = a); (ii) se a afirmativa for verdadeira para um natural k > a qualquer, ent˜ao ela ´e verdadeira para o seu sucessor k + 1. Ent˜ao P (n) ´e verdadeira para todo n ≥ a.

E importante destacarmos que a indu¸´ c˜ao matem´atica ´e constitu´ıda de duas etapas, cada uma de consider´avel importˆancia, pois a primeira garante que estamos partindo de um fato verdadeiro para o natural inicial a; a segunda garante que ao assumir que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira para um natural k ≥ a qualquer, ent˜ao devemos garantir que ela ´e verdadeira para o seu sucessor; esta etapa consiste em demonstrar uma implica¸c˜ao. Como um primeiro exerc´ıcio, vocˆe pode observar que de fato provamos que (1.3) ´e verdadeira a partir do PIM - primeira forma.

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10 CAP´ITULO 1. AULA 1: PRINC´IPIO DE INDUC¸ AO MATEM ˜ ATICA´

Problema 1.4 Como demonstrar uma desigualdade usando PIM?

Solu¸c˜ao: Devemos seguir as etapas da mesma forma como fizemos no Exemplo 1.1. Vamos provar o enunciado abaixo como exemplo:

2 n^ < n!, ∀n ≥ 4.

(a) Etapa inicial: verificar que vale para n = 4. De fato vale, pois 2^4 = 16 < 24 = 4!. (b) Hip´otese de indu¸c˜ao: admitimos que vale para n = k > 4, ou seja, 2 k^ < k!. (c) Temos que provar que vale para n = k + 1. Observamos que

2 k+1^ = 2 · 2 k

e usando a hip´otese de indu¸c˜ao, temos

2 · 2 k^ < 2 · k!

ou seja, 2k+1^ < 2 · k!. Agora temos que comparar 2 · k! com (k + 1)! (que ´e onde queremos chegar). Mas sabemos que (k + 1)! = (k + 1) · k! e como 2 < k + 1 (lembre que k ≥ 4), multiplicando por k! os dois lados da desigualdade (sem alter´a-la) temos:

2 · k! < (k + 1) · k!

o que mostra que 2k+1^ < (k + 1)!.

O exemplo acima foi importante pois mostrou que muitas vezes temos que lan¸car m˜ao de propriedades que n˜ao aparecem explicitamente para chegar- mos a nossa conclus˜ao. No caso do exemplo, precisamos do fato “2 < k + 1” para terminarmos a demonstra¸c˜ao. Em geral, esta necessidade surge naturalmente ao desen- volvermos a express˜ao que queremos provar. Portanto, vocˆe sempre deve observar atentamente o que precisa ser feito na etapa 2 do PIM em cada um dos exerc´ıcios.

Problema 1.5 Como fazer uma dedu¸c˜ao?

Solu¸c˜ao: Novamente, vamos resolver este problema atrav´es de um exem- plo. Vamos deduzir a express˜ao geral que exprime de modo simplificado o produto: (^)  1 −

n^2

Note que n˜ao faz sentido considerarmos n = 1, j´a que come¸camos com 1 − 14. Assim, iniciamos com n = 2 e verificamos o que acontece para valores pequenos de n:

Para n = 2, temos 1 −

Para n = 3, temos

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aula 1

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Para n = 4, temos

Para n = 5, temos

A princ´ıpio, parece que n˜ao h´a regularidade. Mas observando bem, parece que temos algo comum quando n ´e par. Veja: n = 2 →

n = 4 →

Note que ´e indicado deduzir que para n par o produto obtido corresponde a n + 1 2 n

Por outro lado, se observarmos bem, a express˜ao obtida para os casos em que n ´e ´ımpar nos d´a:

n = 3 →

n = 5 →

ou seja, isto indica que o resultado tamb´em ´e verdadeiro para n ´ımpar. Deste modo, somos induzidos a acreditar que:  1 −

n^2

n + 1 2 n

, ∀n ≥ 2.

A demonstra¸c˜ao de que a dedu¸c˜ao ´e mesmo verdadeira, vocˆe far´a no primeiro exerc´ıcio da lista a seguir.

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7 - O que est´a errado com o seguinte argumento que afirma que qualquer d´ıvida de n d´olares, n ≥ 4 , pode ser paga com notas de apenas 2 d´olares? Logicamente a afirma¸c˜ao ´e v´alida para n = 4. Considerando k > 4, suponhamos que a afirma¸c˜ao seja verdadeira para todo l, 4 ≤ l < k. Devemos provar que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira para n = k. Para isto, aplicamos a hip´otese de indu¸c˜ao a k − 2 e vemos que uma d´ıvida de k − 2 d´olares pode ser paga com notas de apenas 2 d´olares. Adicionando mais uma nota de 2 d´olares, vemos que podemos pagar uma d´ıvida de k d´olares com notas de apenas 2 d´olares, como desejamos.