Análise de Tensões em Materiais: Cálculo de Tensões Principais e Critérios de Escoamento -, Esquemas de Ciência dos materiais

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ANÁLISE DAS TENSÕES

ESTADO GERAL DE TENSÃO

Tensor de Tensões

Tensões Principais

σ σ

σ σ

ij

=

σσσσ

ij

=

Tensões Principais

Estado de tensão 3D

Estado plano de tensão

0 3 2 2 1 3

=

−

−

I

I

I

P

p

P

σ

σ

σ

(

)

2

2

2

,

1

xy

y

x

y

x

+ − ± + = I

1

, I

2

, I

3

Invariantes das tensões

z

y

x

I

σ

σ

σ

=

1

2

2

2

3

2

xy

z

zx

y

yz

x

zx

yz

xy

z

y

x

I

τ σ τ σ τ σ τ τ τ σ σ σ

−

−

−

=

2

2

2

2

zx

yz

xy

x z z y y x I

τ τ τ σ σ σ σ σ σ

− − − + + =

Solução

3 raízes

σ σ

σ σ

1

≥≥≥≥ σ

σ

σ σ

2

≥σ≥σ≥σ≥σ

3

Direções Principais

(

)

(

)

(

)

0

p z p y p x

=

   

   

    

    

m n l

zy

zx

yz

yx

xz

xy

σ

σ

τ

τ

τ

σ

σ

τ

τ

τ

σ

σ

Desenvolvendo a equação para

σ

1

Obtém-se l

1

, m

1

e n

1

Para

σ

2

obtém-se l

2

, m

2

e n

2

Para

σ

3

obtém-se l

3

, m

3

e n

3

1 2 1 2 1 2 1

=

n

m

l

Lembrando que

Círculo de Mohr 3D

Máximas tensões de cisalhamento no sistema 3D

Critérios de Escoamentos que

estudaremos:

Materiais Dúcteis:

Teoria da Tensão de Cisalhamento Máxima ou Critériode Escoamento de Tresca

Teoria da Energia de Distorção Máxima ou Critério de

von Mises.

Materiais Frágeis:

Teoria da Tensão Normal Máxima –W. Rankine

Fazendo

2

e

e e

e

e e

caso caso caso caso caso caso

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

=

−

⇒

〉

〉

=

−

⇒

〉

〉

〉

=

−

⇒

〉

〉

=

−

⇒

〉

〉

=

−

⇒

〉

〉

=

−

⇒

〉

〉

1

1

3

3

3

1

3

1

3

1

3

1

1

3

1

3

3

1

3

1

0

0

:

6

0

0

:

5

0

0

:

4

0

0

:

3

0

:

2

0

:

1

Teoria da Energia de Distorção Máxima ou Critério de von Mises

Quando a energia de distorção no ponto crítico do componente atingir o mesmo valor da energiade distorção do corpo de prova no momento do seu escoamento, iniciará também o escoamentodo componente naquele ponto”

3 3 2 2 1 1

1 2

1 2

1 2

ε σ ε σ ε σ

=

U

[

]

3

1

2

2

E

[

]

2

1

3

3

1

σ

σ

ν

σ

ε

−

=

E

[

]

3

2

1

1

1

σ

σ

ν

σ

ε

−

=

E

[

] 2 3 3 1 2 1 2 3 2 2 2 1

E

U

(

)

2

e

e

d

E

U

(

)

(

)

(

)

[

]

2

1 2 1 3 2 3 2 2 2 1 2

1

σ σ σ σ σ σ σ

− + − + − = e

2 2 2 2 1 2 1

e σ σ σ σ σ

=

−

No ensaio de tração uniaxial,

σ

1=

σ

e

,

σ

2

=

σ

3

= 0 e temos:

Como a teoria de distorção máxima requer que U

d

= (U

d

)

e

temos que:

No

Caso do estado plano de tensões,

σ

3

= 0

2

3

σ

σ

1

3

σ

σ

Representação Geométrica

Teoria da tensão normal máxima – W. Rankine - 1800

Teoria válida para materiais frágeisA teoria da tensão normal máxima estabelece que um material frágil falhaquando a tensão principal máxima atinge um valor limite igual ao limite deresistência que o material suporta quando submetido à tração simples.Caso o material esteja submetido ao estado plano de tensões tem-se que:

r

σ

σ

2

r

σ

σ

=

1

Comparação dos três critérios

Interpretação Física do critério de escoamento de von Mises utilizando

o valor crítico da tensão de cisalhamento octedral

(

)

(

)

(

)

[

]

2 1 2 1 3 2 3 2 2 2 1

oct

Em tração uniaxial

e

oct

σ

τ

Igualando as equações acima:

(

)

(

)

(

)

[

]

2 1 2 1 3 2 3 2 2 2 1 2

− + − + − = e

Exemplos

Exemplo 1–

O estado de tensão em torno de um ponto é dado

pelo tensor das tensões mostrado abaixo. Determine as tensõesprincipais.

   

   

=

1

12

0

12

6

0

0

0

5

ij

σ

MPa