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Capítulo 2

FFFunções FFunçõesunçõesunçõesunções

Alguns dos fatos envolvem “truques” para cálculo mental rápido, que podem ser explicados, usando uma representação polinomial simples.

Nesta época de calculadoras, esses fenômenos são introduzidos, não porque são rápidos, mas porque funcionam; os alunos são desafiados a provar por que funcionam!

Fato Surpreendente 1 Se dois números de dois algarismos têm iguais os algarismos das dezenas, e se os algarismos das unidades somam 10 , pode-se calcular seu produto instantaneamente. Se os alunos me testam, com 77 × 73, por exemplo, respondo instantaneamente 5621. Após mais um ou dois exemplos, revelo meu “truque”: multiplica-se o algarismo das dezenas, 7, pelo seu sucessor, 8, achando 56, cujos algarismos serão, nessa ordem, os algarismos dos milhares e das centenas da resposta. Acrescenta-se à direita de 56 o produto dos algarismos das unidades, 7 × 3 ou 21, obtendo-se 5621. Podemos aumentar a confiança no processo, aplicando- o a vários outros casos, mas muitos exemplos não constituem uma demonstração. Porém, se usarmos binômios para representar os números a serem multiplicados, podemos dar uma demonstração que independe dos exemplos escolhidos.

Represente pora o algarismo das dezenas dos dois números considerados e porb o algarismo das unidades do primeiro número. Então o algarismo das unidades do segundo número será 10 − b.

Logo, 10a +b é o primeiro número e 10a + (10 − b), o segundo número. Seu produto é:

(10a +b) × (10a + 10 − b)= ... = 100a (a + l) +b (10 − b).

Fato Surpreedente 2

Se você somar 1ao produto de quatro inteiros consecutivos, o resultado sempre será um quadrado perfeito.

Alguns exemplos levarão os alunos a suspeitar que essa afirmação é sempre verdadeira. Poderemos anotar nossas observações no quadro- negro assim:

1 × 2 × 3 × 4 +1 = 25 = 5 2 , 2 × 3 × 4 × 5 +1 = 121 = 11^2 , 97 × 98 × 99 × 100 + l = 94109401 = 9701 2. Para obter uma prova desse fato, vamos representar os inteiros consecutivos por:n, n+ l, n+2 en + 3.

Então n(n + l )(n + 2)(n + 3) + l =n^4 + 6n^3 +11n^2 + 6n + 1 (l)

Temos, agora, dois procedimentos possíveis. Alguns alunos notarão que o quadrado perfeito, nos nossos exemplos numéricos, é o quadrado de 1 mais o produto do primeiro pelo último termo da seqüência (é também o quadrado de 1 menos o produto do segundo pelo terceiro termo da seqüência). Poderemos observar, por exemplo, que

4 × 5 × 6 × 7 + l= 841 = 29 2 = (l + 4 × 7) 2.

Expressando em polinômios, escrevemos [1+ n(n + 3)]^2 = n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n +1. (2)

Isso, além de confirmar que (1) é um quadrado perfeito, também nos diz de que número é o quadrado perfeito.

Outra maneira de proceder é trabalhar diretamente a partir de (1) e conjecturar que seria bom fatorar o segundo membro e ver que ele é um quadrado perfeito. Esse quadrado teria, para uma conveniente, a forma:

(n^2 + an + l)^2 =n^4 + 2an 3 + (2 +a 2 )n^2 + 2an + l. (3)

Igualando os coeficientes em (1) e (3), temos: 2a = 6 e 2 +a 2 = 11, ou seja,a = 3.

Introdução O perações de serviços disponíveis na Internet, movimentações bancárias e outras transações eletrônicas necessitam da criptografia para comunicação confidencial de dados. A palavra criptografia tem origem grega (kripto = escondido, oculto;grapho = grafia) e define a arte ou ciência de escrever mensagens em códigos, de forma que somente pessoas autorizadas possam decifrá-las. A criptografia é tão antiga quanto a própria escrita; já estava presente no sistema de escrita hieroglífica dos egípcios e os romanos utilizavam códigos secretos para comunicar planos de batalha. Contudo, desde aquele tempo, seu princípio básico continua o mesmo: encontrar uma transformação (função) injetiva f entre um conjunto de mensagens escritas em um determinado alfabeto (de letras, números ou outros símbolos) para um conjunto de mensagens codificadas. O fato de f ser inversível é a garantia de o processo ser reversível e as mensagens poderem ser reveladas pelos receptores.

Adaptado do artigo de Antonio Carlos Tamarozzi

Codificando e

decifrando mensagens

O grande desafio de um processo criptográfico, portanto, está em ocultar eficientemente os mecanismos (chaves) para a inversão def, de modo que estranhos não possam fazê-lo.

Emissor Receptor

Descreveremos aqui dois exemplos elementares de processos criptográficos, sendo o primeiro acessível inclusive para alunos do ensino fundamental. Acreditamos que possam constituir material útil para exercícios, como também para atividades e jogos de codificação. O professor pode dispor deles para fixação de conteúdos matemáticos associados, como por exemplos: funções e matrizes. Inicialmente, relacionamos números ao alfabeto (o símbolo # representa um espaço em branco) que vamos utilizar nos modelos. Assim:

A B ... J K L ... V W X Y Z

0 1 2 ... 10 11 12 ... 22 23 24 25 26

Portanto, cifrar uma mensagem recai no problema de permutar números por meio de uma regraf. Pode-se fazer isso, de forma muito prática, por exemplo, através das funções afins f(x) =ax +b, com a,b inteiros, a ≠ 0, definidas no conjunto {0, 1,..., 26}. Suponhamos que Ana e Ivo desejem trocar mensagens sigilosas utilizando o alfabeto escolhido. O primeiro passo a tomarem é definirem a função cifradora, digamos f(x) = 2x −3. Assim, por exemplo, à mensagem

R E V I S T AR E V I S T AR E V I S T AR E V I S T AR E V I S T A R P MR P MR P MR P MR P M

Ana associa a seqüência numérica 18 5 22 9 19 20 1 0 18 16 13

Mensagem original Mensagem codificada Mensagem original

e transmite a seqüência 64 23 84 31 97 39 3 1 86 34 39 13. Para ler a mensagem recebida, Ivo, da mesma forma, restaura a forma matricialAM, e em seguida, com sua chaveA−^1 , pode recuperar M através da identidade matricial,

Como já frisamos, os métodos tratados neste trabalho tem apenas caráter instrutivo. Na prática atual tais processos são pouco utilizados pela inconveniência de exigirem trocas prévias de chaves entre os usuários. Portanto, são inviáveis na descrição de transações eletrônicas nas quais um único receptor recebe dados de milhares de emissores, como ocorre em vendas pela Internet, transações bancárias e outras. Mesmo nesses casos mais complexos, a Matemática resolveu a trama, e desta vez, quem diria, o ramo da Teoria dos Números.

E ste problema foi-me apresentado por um torneiro mecânico, que desejava fazer 6 furos na base de uma peça de forma cilíndrica. A peça ficaria como indicado na figura ao lado.

O diâmetro da base media 120mm e os furos deveriam distribuir-se igualmente sobre uma circunferência imaginária de diâmetro 100mm. O problema pode ser resolvido graficamente com simplicidade, usando-se um compasso. Entretanto, o torneiro dispunha apenas de um outro instrumento que ele chamou de altímetro. Vou apresentá-lo esquematicamente. O altímetro é constituído por uma barra milimetrada fixada à peça uma régua que desliza perpendicularmene à barra.

Adaptado do artigo de Pedro Firmino da Silva

Trigonometria na

oficina mecânica

Logaritmos

Vamos aqui expor partes adaptadas de alguns textos publicados naRPM que apresentam aplicações interessantes e motivadoras dos logaritmos.

Adaptado do artigo de Geraldo Ávila

O jogo de xadrez

S egundo uma lenda antiga, o jogo de xadrez

foi inventado na Índia para agradar a um soberano, como passatempo que o ajudasse a esquecer os aborrecimentos que tivera com uma desastrada batalha. Encantado com o invento, o soberano, rei Shirham, quis recompensar seu súdito Sissa Ben Dahir, o inventor do xadrez. Shirham disse a Sissa que lhe fizesse um pedido, que ele, rei Shirham, o atenderia prontamente. Sissa disse, simplesmente: −Bondoso rei, dê-me então um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, dois pela segunda casa, quatro (= 2^2 ) pela terceira, oito (= 2^3 ) pela quarta, e assim por diante, até 2 63 grãos de trigo pela última casa do tabuleiro, isto é, a 64a^ casa. O rei achou esse pedido demasiado modesto e, sem dissimular seu desgosto, disse a Sissa:

Pérolas

− Meu amigo, tu me pedes tão pouco, apenas um punhado de grãos de trigo. Eu desejava cumular-te de muitas riquezas −palácios, servos e tesouros de ouro e prata.

Como Sissa insistisse em seu pedido original, o rei ordenou a seus auxiliares e criados que tratassem de satisfazê-lo. 0 administrador do palácio real mandou que um dos servos buscasse um balde de trigo e fizesse logo a contagem. Um balde com cerca de 5 kg de trigo contém aproximadamente 115 000 grãos (como o leitor pode verificar, fazendo, ele mesmo, a contagem...); foi o suficiente para chegar à 16a^ casa do tabuleiro, mas não além, pois (veja o quadro logo abaixo)

1 + 2 + 2^2 + 2^3 +^...^ + 2^15 = 2^16 −1 = 65 535,

enquanto, para chegar à 17a^ casa seriam necessários

1 + 2 + 2^2 + 2 3 +^...^ + 2 16 = 2 17 1 = 131 071

grãos de trigo.

Lembremos a fórmula que fornece a soma dos termos de uma progressão geométrica. Dado qualquer númeroq ≠ 1, chamado razão daprogressão, en um inteiro positivo arbitrário, temos S = 1 +q + q^2 +q^3 +^...^ +qn e observamos que qS = q + q^2 +q^3 +q^4 +^...^ +qn+^. Portanto, subtraindo a primeira dessas igualdades da segunda, obtemos

qS − S =qn+1^ −1, donde

que é a fórmula da soma que está sendo usada nos cálculos.

simples, cada um levando apenas uma fração de segundo para ser executado e chegamos a 2^64 = 18 446 744 073 709 551 615. Mas, e quando não havia computador? Bem, se fosse há uns 300 anos, eles poderiam recorrer aos logaritmos. Para efetuar cálculos com a ajuda dos logaritmos, primeiro é preciso dispor de uma tábua (ou tabela) dos logaritmos dos números num certo intervalo. Por exemplo, uma tábua dos logaritmos decimais dos números inteiros de 1 a 10 000 já é suficiente para muitos cálculos. A título de ilustração, tentemos calcular o número 2^64.

Consultando uma tábua (de logaritmos decimais), encontramos log2 ≈ 0,30103, de sorte que

log2^64 = 64 × log2 ≈ 64 × 0,30103 = 19,26592. Este cálculo já é suficiente para sabermos que 2^64 está compreendido entre 10^19 e 10^20 , pois seu logaritmo é maior do que 19 e menor do que 20, o que já é uma boa informação.

O logaritmo de um número pode sempre ser escrito como a soma de um inteiro −chamadocaracterística −e uma parte decimalm tal que 0 ≤ m < 1, chamadamantissa. No caso do número a calcular, 19 é a característica e 0,26592 é a mantissa de seu logaritmo. As tábuas só dão as mantissas. Mas, ao consultarmos uma tábua, nem sempre encontramos, na coluna dos logaritmos, a mantissa desejada. No caso concreto que estamos considerando, ao consultar a tábua, verificamos que o logaritmo 0,26592 está compreendido entre dois outros que lá se encontram; mais precisamente,

log 1,844 = 0,26576 e log 1,845 = 0,26600. A partir daqui, fazemos uma interpolação para determinar o número que tem 0,26592 como logaritmo.

Encontramos 0,26592 ≈ log 1,844666...,

donde, log (1,844666... × 1019 ) ≈ 19,26592; e daqui segue que

264 ≈ 1,844666... × 1019 ≈ 18446666666666666666.

Os quadrados que cobrem o Brasil

“Quantos quadrados são necessários para “cobrir” o Brasil, supondo o processo indicado na figura coma = 8.000 km e o lado do primeiro quadrado igual a 1 cm?”

Aqui deixo que os alunos estimem o resultado e suas estimativas são muito acima do resultado correto (que é menor do que a intuição indica).

Os alunos devem chegar ao resultado por tentativas:

1 o^ quadrado → 1 cm de lado, 3 o^ quadrado → 2 cm de lado, 5 o^ quadrado → 4 cm de lado, ............................................

59 o^ quadrado → 536.870.912 cm (= 2^29 ) 61 o^ quadrado → 1.073.741.824 cm (= 2^30 ) Logo o 61o^ quadrado já tem lado maior que 800.000.000 cm que é igual 8.000 km.

Como uma calculadora, sem função exponencial, não resolve o problema, temos uma motivação para tentar obter uma solução rápida e

Comparando este valor aproximado com o valor exato calculado anteriormente, verificamos que o erro relativo é inferior a 10−^5 ; portanto, o valor aproximado é muito bom.

Adaptado do artigo de Renato Fraenkel

Regra dos 70

Para calcular o tempo aproximado de duplicação de um investimento, divida 70 pela taxa percentual anual de juros. Vamos justificar o cálculo do gerente. Para isso, usaremos a função logaritmo natural dex,x > 0, denotada por ln(x), que pode ser definida como sendo a função inversa da exponencialex.

Logo, “ologaritmo natural dex é a potência dee necessária para se obterx”, isto é,

y = ln(x) ⇔ x =e y^. Precisamos de uma forma prática para calcular o valor numérico do logaritmo, mesmo que aproximado. Podemos usar a expressão a seguir que pode ser encontrada em textos de Cálculo Diferencial e Integral:

Tal expressão, conhecida como a série de Taylor da função ln(1 +x), permite a aproximação ln(1 +x) ≈ x para valores de x positivos e próximos de 0.

Podemos também perceber essa aproximação graficamente:

Os gráficos das funçõesy = ln(x),y = ln(1 +x) ey =x, fornecem uma justificativa gráfica para a aproximação ln(1 +x) ≈ x.

Voltemos à regra dos 70.

Um capitalC, aplicado à taxa anual dei%, transforma-

se, após 1 ano, em

Após dois anos teremos

De forma geral, apóst anos teremos.

Logo, o tempod necessário para duplicação do capital é obtido da equação:

que implica

Usando a aproximação mencionada para o cálculo de tem-

se , e sendo ln(2) ≈ 0,70, podemos escrever

como estabelecido na regra dos 70.

Na verdade, a regra dos 70 vale sempre que houver um crescimento

exponencial (como em ), com taxa de crescimento