Baixe Funções Par e Ímpar: Propriedades e Exemplos e outras Notas de estudo em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
Pré-CálculoHumberto José BortolossiDepartamento de Matemática AplicadaUniversidade Federal FluminenseParte 3 Parte 3 Pré-Cálculo^
Função par e função ímpar 1 Parte 3^
Pré-Cálculo^2
Função parUma função real^ f^ :^ D^ →^ C^
Definição é par se^ f^ (−x) =^ f^ (x),^ ∀x^ ∈^ D. Exemplo de função par: f : R →^ R.^4 x →^ f^ (x) =^1 −^ x De fato: para todo^ x^ ∈^ R,^4 4 f (−x) = 1 − (−x)=^1 −^ x=^ f^ (x). Note que a definição de função par pressupõe que o domínio^ D^ seja simétricocom relação a origem 0: se x pertence a^ D, então^ −x^ também deve pertencera D. Parte 3 Pré-Cálculo^
Função parO gráfico de uma função par é simétrico com relação ao eixo 3
y! Parte 3^
Pré-Cálculo^4
Função ímparUma função real^ f^ :^ D^ →^ C^ é ímpar se
Definição^ f^ (−x) =^ −f^ (x),^ ∀x^ ∈^ D. Exemplo de função ímpar: f : R →^ R.^5 x →^ f^ (x) =^ x+^ x^ De fato: para todo^ x^ ∈^ R,
5 5 f (−x) = (−x)+ (−x) =^ −x−^ x^ =
5 −(x+^ x) =^ −f^ (x).
Note que a definição de função ímpar pressupõe que o domínio
D^ seja simétrico com relação a origem 0: se^ x^ pertence a^ D
, então^ −x^ também deve pertencer a^ D. Parte 3^
Função ímpar Pré-Cálculo 5
O gráfico de uma função ímpar é simétrico com relação à origem!Parte 3^
Pré-Cálculo^6
ObservaçõesExistem funções que não são pares e nem ímpares:^ f^ :^ R^ →^
R.^3 x → f^ (x) =^2 −^ x De fato: f (− 1 ) = 3 = 1 = f ( 1 ) e f^ (−^1 ) =^3 ^ =^ −^1 =^ −f^ (^1 ). Parte 3 Pré-Cálculo^
ObservaçõesExiste um função que seja par e ímpar ao mesmo tempo?Sim! A função identicamente nula definida em 7
R!
Toda função definida em^ R^ se escreve como soma de uma funçãopar e uma função ímpar:f^ (x) +^ f^ (−x)^ f^ (x)^ =^2 ︸^ ︷︷^ ︸^ par
f^ (x)^ −^ f^ (−x) +.^2 ︸^ ︷︷^ ︸^ ímpar Parte 3 Pré-Cálculo^8
O problema da caixa^50
x x^30 cm cm^2 3 Aqui, y = f (x) = x ( 30 −^2 x) (^50 −^2 x) =^1500 x^ −^160 x+^4 xe^ A^ = (^0 ,^15 ). Parte 3 Pré-Cálculo^
O problema da caixa 13 Parte 3^
Pré-Cálculo^14
Extremos globaisSeja^ f^ :^ D^ →^ C^ uma função e seja^
Definição A^ um subconjunto do domínio^ D. (1) Dizemos que p ∈ A é um ponto de máximo global (ou máximoabsoluto) de f em A se f (p) ≥^ f^ (x),^ ∀x^ ∈^ A. Neste caso, f (p) é denominado de valor máximo da função^ f^ em^ A. (2) Dizemos que p ∈ A é um ponto de mínimo global (ou mínimo absoluto)de f em A se f (p) ≤^ f^ (x),^ ∀x^ ∈^ A. Neste caso, f (p) é denominado de valor mínimo da função^ f^ em^ A. (3) Dizemos que p ∈ A é um extremo global (ou extremo absoluto) de^ f em A se p é um ponto de máximo global ou^ p^ é um ponto de mínimoglobal de f em A. Parte 3 Pré-Cálculo^
Extremos locaisSeja^ f^ :^ D^ →^ C^ uma função e seja 15
Definição^ A^ um subconjunto do domínio^ D. (1) Dizemos que p ∈ A é um ponto de máximo local (ou máximo relativo)de f em A se existe um intervalo aberto^ I, com^ p^ ∈^ I^ e f (p) ≥^ f^ (x),^ ∀x^ ∈^ I^ ∩^ A. (2) Dizemos que p ∈ A é um ponto de mínimo local (ou mínimo relativo)de f em A se existe um intervalo aberto^ I, com^ p^ ∈^ I^ e f (p) ≤^ f^ (x),^ ∀x^ ∈^ I^ ∩^ A. (3) Dizemos que p ∈ A é um extremo local (ou extremo relativo) de^ f^ em^ A se p é um ponto de máximo local ou^ p^ é um ponto de mínimo localde f em A. Parte 3 Pré-Cálculo^
16
4 Exemplo: y = f (x) = 3 x−
3 2 16 x+^18 x,^ A^ = [−^1 ,^4 ] O ponto de máximo global de f em^ A^ é^ p^ =^ −^ 1. y 40 20 x 0 − 2 − 1 1 2 3 4 5 − 20 Parte 3 Pré-Cálculo^17
4 Exemplo: y = f (x) = 3 x−
3 2 16 x+^18 x,^ A^ = [−^1 ,^4 ] O ponto de mínimo global de f em^ A^ é^ p^ =^ 3. y 40 20 x 0 − 2 − 1 1 2 3 4 5 − 20 Parte 3 Pré-Cálculo^18
4 Exemplo: y = f (x) = 3 x−
3 2 16 x+^18 x,^ A^ = [−^1 ,^4 ] Os pontos de máximo local de f em A que não são globais são^ p^ =^ 1 e^ q^ =^ 4. y 40 20 x 0 − 2 − 1 1 2 3 4 5 − 20 Parte 3 Pré-Cálculo^19
4 Exemplo: y = f (x) = 3 x−
3 2 16 x+^18 x,^ A^ = [−^1 ,^4 ] O ponto de mínimo local de f em A que não é global é^ p^ =^ 0. y 40 20 x 0 − 2 − 1 1 2 3 4 5 − 20 Parte 3 Pré-Cálculo^20
Módulo (ou valor absoluto) de um número real^ f^ :^ R^ →^ R^ x^ ^ →^ f^ (x) =^ |x
Definição^ {^ x,^ se^ x^ ≥^0 ,|^ =^ −x,^ se^ x^ <^0. Exemplos:^22 | 2 | = 2 , | − 2 | = 2 ,^ |^0 |^ =^0 ,^ |x|^ =^ x, { x^ −^1 ,^ se^ x^ ≥^1 , |x − 1 | = −x^ +^1 ,^ se^ x^ <^1. Parte 3 Pré-Cálculo^
Módulo (ou valor absoluto) de um número real 25
Mais exemplos:√√^2 | 1 − 2 | = 2 − 1 , |π −^3.^14 |^ =^ π^ −^3.^14 ,^ |x+^1 |^ =
2 x+^1 ,
{^ ,^ se^ ^ ≥^0 , || =^ −^ ,^ se^ ^ <^0 , { 2 2 x−^1 ,^ se^ x−^1 ≥^0 , 2 |x− 1 | =^2 2 −^ (x−^1 ),^ se^ x−^1 <^0 , { 2 x−^1 ,^ se^ x^ ≤ −1 ou^ x^ =
≥^1 , 2 − x+ 1 , se − 1 < x < 1.
Parte 3^
Pré-Cálculo^26
Módulo (ou valor absoluto) de um número realObservação:^ {^ x,^ se^ x^ ≥^0 |x|^ =
{^ ,x,^ se^ x^ >^0 ,= −x, se x < 0 −x,^ se^ x^ ≤^0 ⎧ x, se x > 0 ,⎨ = 0 , se x = 0 ,⎩ −x, se x < 0. Parte 3 Pré-Cálculo^
Propriedades^ ^ ∀a^ ∈^ R,^ |a| ≥^ 0. Além disso, 27
|a|^ =^0 ⇔^ a^ =^ 0. |a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b. |a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou^ a^ =^ −b). ∀a, b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|. ∀a ∈ R, ∀b ∈ R − { 0 }, |a/b| =^ |a|/|b|. |p| < a ⇔ −a < p < a. Vale também que^ |p| ≤^ a^ ⇔ −a^ ≤^ p^ ≤^ a. |p| > a ⇔ p < −a ou p > a. Vale também que^ |p| ≥^ a^ ⇔^ p^ ≤ −a^ ou
p^ ≥^ a.
^ ∀a,^ b^ ∈^ R,^ |a^ +^ b| ≤ |a|^ +^ |b|^ (desigualdade triangular).∣∣∣∣^ ^ ∀a,^ b^ ∈^ R,^ |a| − |b|≤ |a^ −^ b|. Parte 3^
Pré-Cálculo^28
Propriedade [PM01]: demonstração^ ∀a^ ∈^ R,^ |a| ≥^ 0. Além disso,
|a|^ =^0 ⇔^ a^ =^ 0. Demonstração.^ Se^ a^ ∈^ R, então, ou^ a^ >
0, ou^ a^ =^ 0 ou^ a^ <^ 0.^ Se^ a^ >^ 0, então |a|^ =^ a^ >^ 0. Se^ a^ =^ 0, então^ |a|^ =^ 0. Se^
a^ <^ 0, então^ |a|^ =^ −^ a^ >^ 0 (pois se^ a^ <^ 0, então^ −a^ >^ 0). Em todos os três casos,^ |a| ≥
Vamos agora demonstrar que^ |a|^ =^0 ⇔^ a^ =
(⇒)^ Suponha, por absurdo, que exista^ a^
∈^ R^ tal que^ |a|^ =^ 0 e^ a^ ^ =^ 0.^ Se^ a^ ^ =^ 0, então^ a^ >^ 0 ou^ a^ <^ 0. Nos dois casos,^ |a
|^ >^ 0, uma contradição. Portanto, vale que |a|^ =^0 ⇒^ a^ =^ 0. (⇐)^ Se^ a^ =^ 0, então, por definição,^ |a|^ =^ 0. Parte 3^
Propriedade [PM02]: demonstração Pré-Cálculo 29
|a|^ =^ |b| ⇔^ a^ =^ b^ ou^ a^ =^ −b. Demonstração. (⇒) Sejam a, b ∈ R tais que |a|^ =^ |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que^ |a|^ =^ |b| ⇒^ a^ =^
b^ ou^ a^ =^ −b. ^ a^ =^ 0 e^ |a|^ =^ |b|^ ⇒^ |b|^ =^ |a|^ =^0 ⇒^ b
=^ 0 e^ a^ =^0 ⇒^ a^ =^ b. ^ b^ =^ 0 e^ |a|^ =^ |b|^ ⇒^ |a|^ =^ |b|^ =^0 ⇒^ a
=^ 0 e^ b^ =^0 ⇒^ a^ =^ b. ^ a^ >^0 ,^ b^ >^ 0 e^ |a|^ =^ |b|^ ⇒^ a^ =^ b. ^ a^ >^0 ,^ b^ <^ 0 e^ |a|^ =^ |b|^ ⇒^ a^ =^ −b. ^ a^ <^0 ,^ b^ >^ 0 e^ |a|^ =^ |b|^ ⇒^ −a^ =^ b^ ⇒^
a^ =^ −b. ^ a^ <^0 ,^ b^ <^ 0 e^ |a|^ =^ |b|^ ⇒^ −a^ =^ −b^ ⇒
a^ =^ b. (⇐)^ Se^ a^ =^ b, então^ |a|^ =^ |b|. Se^ a^ =^ −b, então^ {^ −^ b,^ se^ −^ b^ |a|^ =^ | −^ b|^ =
{^ ≥ 0 ,−b,^ se^ b^ ≤^0 ,==^ |b|. − (−b), se − b < 0 b,^ se^ b^ >^0 Parte 3 Pré-Cálculo^ 30
Propriedade [PM03]: demonstração^ |a|^ =^ b^ ⇔^ b^ ≥^ 0 e
(a^ =^ b^ ou^ a^ =^ −b). Demonstração. (⇒)^ Sejam^ a,^ b^ ∈^ R^ tais que^ |a|^ =^ b. Por [PM01],
b^ ≥^ 0. Portanto,^ b^ =^ |b|. Sendo assim, |a|^ =^ b^ ⇒ |a|^ =^ |b|. Por [PM02], segue-se então que
a^ =^ b^ ou^ a^ =^ −b. (⇐)^ Por [PM02], se^ a^ =^ b^ ou^ a^ =^ −b, então
|a|^ =^ |b|. Como^ b^ ≥^ 0,^ |b|^ =^ b. Logo, |a|^ =^ b. Observação.A sentença^ |a|^ =^ b^ ⇒^ a^ =
b^ ou^ a^ =^ −b^ é verdadeira!Mas sua recíproca é falsa!(Exercício!)Parte 3 Pré-Cálculo^
Propriedade [PM04]: demonstração 31
∀a,^ b^ ∈^ R,^ |a^ ·^ b|^ =^ |a| · |b|. Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de
a^ e de^ b.^ ^ a^ =^0 ⇒^ a^ ·^ b^ =^ 0 e^ |a|^ =^0 ⇒ |a^ ·^ b|^ =^ 0 e
|a| · |b|^ =^0 ⇒ |a^ ·^ b|^ =^ |a| · |b|. ^ b^ =^0 ⇒^ a^ ·^ b^ =^ 0 e^ |b|^ =^0 ⇒ |a^ ·^ b|^ =^ 0 e
|a| · |b|^ =^0 ⇒ |a^ ·^ b|^ =^ |a| · |b|. ^ a^ >^ 0 e^ b^ >^0 ⇒^ a^ ·^ b^ >^ 0 e^ |a|^ =^ a^ e^ |b|^ =
b^ ⇒ |a^ ·^ b|^ =^ a^ ·^ b^ =^ |a| · |b|. ^ a^ >^ 0 e^ b^ <^0 ⇒^ a^ ·^ b^ <^ 0 e^ |a|^ =^ a^ e^ |b|^ =
−b^ ⇒ |a^ ·^ b|^ =^ −a^ ·^ b^ =^ a^ ·^ (−b) =^ |a| · |b|. ^ a^ <^ 0 e^ b^ >^0 ⇒^ a^ ·^ b^ <^ 0 e^ |a|^ =^ −a^ e^ |b|
=^ b^ ⇒ |a^ ·^ b|^ =^ −a^ ·^ b^ = (−a)^ ·^ b^ =^ |a| · |b|. ^ a^ <^ 0 e^ b^ <^0 ⇒^ a^ ·^ b^ >^ 0 e^ |a|^ =^ −a^ e^ |b|
=^ −b^ ⇒ |a^ ·^ b|^ =^ a^ ·^ b^ = (−a)^ ·^ (−b) =^ |a| · |
b|. Em todos os casos, vemos que sempre^ |a^ ·
b|^ =^ |a| · |b|. Parte 3 Pré-Cálculo^
32
Propriedade [PM09]: demonstração∣∣^ ∀a,^ b^ ∈^ R,^ |a
∣∣^ | − |b|≤ |a^ −^ b|. Demonstração. Usando a desigualdade triangular, temos que |a| = |b + (a − b)| ≤ |b| + |a − b|^ ⇒^ |a| − |b| ≤ |a^ −^ b| e |b| = |a + (b − a)| ≤ |a| + |b − a| = |a| + |a^ −^ b|^ ⇒^ −|a^ −^ b| ≤ |a| − |b|. Desta maneira: −|a − b| ≤ |a| − |b| e |a| − |b| ≤ |a^ −^ b|. Segue-se então, por [PM06],∣∣∣∣ (^) que |a| − |b|≤ |a − b|. Parte 3 Pré-Cálculo^
Interpretação geométrica^ −^3 −^2
−^1 0 1
A^ BCD^3
E d(A, B) = + 2 d(B,^ C) = +^1 d(B,^ E) = +
5 d(D,^ E) = +^2
Parte 3^
Pré-Cálculo^38
Interpretação geométrica^ a^
b
{^ b^ −^ a,^ se^ b^ ≥^ a,d(a, b) ==^ a^ −^ b,^ se^ b^ <^ a^
|b^ −^ a|.
Moral:^ |b^ −^ a|^ representa a distância entre os números
a^ e^ b^ na reta
numérica. Parte 3^
Duas propriedades importantes Pré-Cálculo 39
|p|^ <^ a^ ⇔^ −a^ <^ p^ <^ a |p|^ >^ a^ ⇔^ p^ <^ −a^ ou^ p^ >
a Para justificar estas propriedades,
lembre-se que^ |p|^ =^ |p^ −^0 |^ é a distância entre
p^ e 0. 0
−a^
pa
Parte 3^
Pré-Cálculo^40
AplicaçãoResolva a desigualdade
|^3 +^2 x|^ <^ 2.
|^3 +^2 x^ |^ <^2 ⇔^ −^2 <^3 +^2 x^ <︸^ ︷︷^ ︸︸^ ︷︷^ ︸^ p^ p
2 ⇔^ −^2 −^3 <^2 x^ <^2 −^351 ⇔ − 5 < 2 x < − 1 ⇔^ −^ <^ x^ <^ −^2 2 ]^ [ 51 S = − , −^2 2 Parte 3 Pré-Cálculo^41
AplicaçãoResolva a desigualdade
|^2 x^ +^5 |^ >^ 3. | 2 x + 5 | > 3 ⇔ 2 x + 5 < −^3 ou^2 x^ +^5 >^3 ︸ ︷︷ ︸︸ ︷︷ ︸︸^ ︷︷^ ︸ p p^ p ⇔ 2 x < − 3 −^5 ou^2 x^ >^3 −^5 ⇔ 2 x < − 8 ou^2 x^ >^ −^2 ⇔ x < − 4 ou^ x^ >^ −^1 S =] − ∞, − 4 [ ∪ ] −^1 ,^ +∞[ Parte 3 Pré-Cálculo^42
AplicaçãoResolva geometricamente a desigualdade
|x^ +^1 |^ <^ |x^ −^2 |.
|x^ +^1 |^ =^ |x^ −^ (−^1 )|^ é a distância de
x^ a^ −1. |x − 2 | é a distância de x a 2. Se |x − (− 1 )| < |x − 2 |, então
a distância de^ x^ a^ −1 deve ser menor do que a distância de
x^ a 2.
−^4 −^3 −^2 −^1
1 /^21 2 3 4 ]^ [^1 S = −∞,^.^2 Parte 3 Pré-Cálculo^43
