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Geometria Fractal: História e Aplicações, Notas de estudo de Geometria

Faculdade Nova Roma (FNR)Geometria

Uma introdução à geometria fractal, sua história, conceitos básicos e aplicações em vários campos da ciência. O autor aborda a dimensão euclidiana e topológica, a definição de fractais e suas propriedades, além de exemplos de objetos fractais na natureza e suas aplicações em física, biologia e economia.

Tipologia: Notas de estudo

2022

Compartilhado em 07/11/2022

Gustavo_G
Gustavo_G 🇧🇷

4.6

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226 documentos

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Universidade Federal de Santa Maria
Centro de Ciências Naturais e Exatas
Departamento de Física
Laboratório de Teoria da Matéria Condensada
Geometria fractal e aplicações
Tiago de Souza Farias
10 de junho de 2013
Tiago de Souza Farias () Geometria fractal e aplicações 10 de junho de 2013 1 / 39
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Universidade Federal de Santa Maria

Centro de Ciências Naturais e Exatas

Departamento de Física

Laboratório de Teoria da Matéria Condensada

Geometria fractal e aplicações

Tiago de Souza Farias

10 de junho de 2013

1 Conceitos Dimensão Denições de fractal Descrição matemática 2 A história dos fractais Antiguidade Os primeiros passos Benoit B. Mandelbrot 3 A geometria fractal da natureza

Fractais abstratos Fractais naturais 4 Aplicações da geometria fractal Economia Biologia Química Física 5 O futuro dos fractais 6 Bibliograa

Conceitos Dimensão

Dimensão euclidiana

  • Dimensão euclidiana de um objeto é denida como o número mínimo de coordenadas necessárias para descrever a posição de um objeto para qualquer sistema de coordenadas;
  • Em geral, associa-se a dimensão euclidiana ao número de graus de liberdade de um corpo, embora seja válido, é possível extender este conceito para outros casos (por exemplo, o estado termodinâmico de um gás ideal é bidimensional - pressão e volume);
  • Objetos irregulares não são satisfeitos pela denição de dimensão euclidiana;

Conceitos Dimensão

Dimensão topológica

  • Um conjunto S tem dimensão topológica N se cada ponto em S tem seus pontos próximos cujo limite toca em S em um conjunto de dimensão N-1, sendo N não negativo.
  • A dimensão topológica pode ser entendida como a medida que um corpo preenche o espaço ou a menor quantidade de pontos necessários para tornar um objeto desconexo;
  • Sobre estas condições, um objeto com dimensão topológica possui a propriedade de manter-se invariente sobre transformações contínuas de escala ou homeomorsmos.
  • A denição de dimensão topológica não é o suciente para descrever um objeto fractal.

Conceitos Denições de fractal

Denição formal

  • Um objeto é considerado fractal quando sua dimensão Hausdor Besicovitch estritamente excede sua dimensão topológica.

Conceitos Denições de fractal

Outras denições

  • A maioria dos fractais é auto-similar, isto é, o objeto permanece invariante sobre transformações de escala;
  • Todo objeto com dimensão não inteira é fractal, mas nem todo fractal tem dimensão não inteira;

Conceitos Descrição matemática

Descrição matemática

  • Objetos fractais possuem a propriedade de minimizar sua área e maximizar seu perímetro;
  • As relações matemáticas na geometria fractal carregam uma grande dinâmica de comportamentos, como sensibilidade as condições iniciais, perturbações e imprevisibilidade;
  • Integrodiferenciação fracionária é útil para sistemas que carregam memória; d^1 /^2 x d^1 /^2 =^2 (^

x π )

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A história dos fractais

A HISTÓRIA DOS FRACTAIS

A história dos fractais Antiguidade

Antiguidade

  • Na Índia encontram-se arquiteturas com o mesmo padrão.

A história dos fractais Antiguidade

Antiguidade

  • Na idade média já era conhecido padrões fractais, como mostrado pelas pinturas:

A história dos fractais Os primeiros passos

Os primeiros passos

  • Helge von Koch conseguiu descrever matematicamente os ocos de neve;
  • Giuseppe Peano desenvolveu técnicas de curvas de preenchimento espacial, utilizados, por exemplo, para estudar nuvens;
  • Georg Cantor desenvolveu a teoria de conjuntos, utilizado no estudo de probabilidades;
  • Albert Einstein chegou a conclusão que o movimento browniano é causado por movimentos térmicos irregulares das moléculas de um líquido;
  • Gaston Julia estudou funções iterativas que estão diretamente relacionadas aos fractais;

A história dos fractais Benoit B. Mandelbrot

Benoit B. Mandelbrot

  • Mandelbrot (20/11/1924  14/10/2010) nasceu em Varsóvia. Estudou matemática na graduação e obteve mestrado em aeronática na Caltech. Trabalhou na IBM durante maior parte de sua vida, tendo acesso a computadores, foi o primeiro a ter visualizado os fractais complexos.
  • É considerado o pai da geometria fractal, pois cunhou o termo fractal (fractus - fragmento).

A geometria fractal da natureza

A GEOMETRIA FRACTAL DA NATUREZA

A geometria fractal da natureza Fractais abstratos

Fractais abstratos