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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Curso de Engenharia Civil
Propriedades Geométricas de Áreas Planas
0
dA
x
y
r
x
y
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
= =
= =
= =
= =
I xydA I r dA
A
I i A
I i
I y dA I xdA
M ydA M xdA
2 xy P
y y
x x
2 y
2 x
Sx Sy
I I Ax y
I I Ay I I Ax
A
Ay ydA A
1 y A
Ax xdA A
1 x
Translaçãodeeixos
xy xgyg
2 y yg
2 x xg
i
i i
i
i i
= +
= + = +
= = = = ∑
∑ ∫ ∑
∑ ∫
G
0
y
y yg
xg
x
A
x
2 xy
2 x y
x y
xy xy
xy
xy
I 2
I I
I I
2 I I cos 2 tg 2
cos 2 I sen 2
cos 2 I sen 2
^ +
−
−
θ θ= −
θ+ θ
θ− θ
x y max,min
x y uv
x y x y v
x y x y u
2
I I I
sen 2 2
I I I
2
I I
2
I I I
2
I I
2
I I I
Rotaçãode eixos
±
=
θ+
−
− −
=
−
=
0
u
y
v
x
θ
Seção retangular
h
b
G
0
x
xg
y yg x
y I 0 12
hb I 12
bh I
bh I 3
hb I 3
bh I
A bh 2
h y 2
b x
xgyg
3
yg
3
xg
2 2
xy
3
y
3
x
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Curso de Engenharia Civil
Seção triangular
( )
( )
A bh x b c y h
I bh I bh^ b bc c
I bh^ b c
I bh^ I bh^ b bc c
I bh^ b c
x y
xy
xg yg
xg yg
= = + =
= = −
= −
= = −
= −
1 2 1 3 1 3
1 12
3 3
2
(^3 2 )
2
12 3 3
24 3 2
36 36
72 2
2
h
b
0 x
xg
y yg
c
G
x
y
Seção circular
G
y
x
r
d
A r d
I I r d
I r d
x y
P
= =
= = =
= =
π π
π π
π π
(^2 ) 4
2
1 4
(^4 ) 64
4
1 2
(^4 ) 32
4
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
d r d r
A r r d d
I I r r d d
I r r d d
e e i i
e i e i
x y e i e
P e i e i
=
i
=
= − = −
= = − = −
= − = −
2 2
(^2 2 ) 4
2 2
1 4
(^4 4 ) 64
4 4
1 2
(^4 4 ) 32
4 4
π π
π π
π π
G
y
x
re ri
Esforço Normal
σ = ε σ = σ θ τ = σ θ
σ = ε = θ θ sen 2 2
E cos L
L
A
N 2
A n
N
E
L L T G
EA
NL
L
U adm adm
T y z x
σ σ = ≤ σ σ =
+ν
∆ = ∆ = α ∆ ε = ε = −νε =
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Curso de Engenharia Civil
Esforço Cortante
(k retangular,k circular ) A
V
k
QdA It
V
F dA It
VQ
x I
VQ
H
I
VQ
q
3 4 2
3 max adm max
A A
τ ≤ τ τ = = =
= = τ = = ∫τ = ∫
Análise de Tensões
θ− τ θ
σ − σ −
σ + σ σ =
θ+ τ θ
σ − σ
σ + σ σ =
′
′
cos 2 sen 2 2 2
cos 2 sen 2 2 2
xy
x y x y y
xy
x y x y x
θ+ τ θ
σ − σ τ (^) ′ ′ = − sen 2 cos 2 2
xy
x y xy
tg 2 2
tg 2 2 2
x y
xy
x y c
2 xy
2 x y max
x y
xy p
2 xy
2 x y x y 1 , 2
σ + σ σ = τ
σ − σ
σ −σ τ = ±
σ −σ
τ
σ −σ ±
σ +σ σ =
Analogia de Mohr
y M e y V EI
M
Rigidez variável q = ⇒ = ′ =
EI
V
e y EI
M
Rigidezconstante q M y
= ⇒ = ′ =
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Curso de Engenharia Civil
Teorias de Resistência
Critérios de Escoamento
Teoria da Máxima Energia de Distorção (von Mises)
Teoria da Máxima Tensão Tangencial (Tresca)
2 Y
2 1 2 2
2 σ 1 −σ σ + σ = σ
1 2 2 Y
1 2 1 Y
1 2 1 2 Y
0 e 0
0 e 0
0 e 0
σ < σ < ⇒ σ = σ
σ > σ > ⇒ σ = σ
σ > σ < ⇒ σ −σ = σ
Critérios de Fratura
Teoria da Máxima Tensão Normal (Critério de Rankine)
Teoria de Mohr
σ 1 = σU σ 2 = σ U
Flambagem
Y
LIM
min min min
e 2
2
2 CR e
2 min CR
E
A
I
i i
E L
L
EI
P
σ
λ = = λ = π λ
π = π σ =
(^) π σ = +
σ = +
π
CR
max 2
e max 2
cr
max
e max
P
P
sec i
ec 1 A
P
EI
P
L
sec i
ec 1 A
P
P
P
1 y e sec EI
P
L
y e sec
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Curso de Engenharia Civil
Teorema de Castigliano
k k k k
L L L P L
k k
k
P
V
,V
P
T
,T
P
M
,M
P
N
onde:N
dx GA
VV
dx GI
TT
dx EI
MM
dx EA
NN
P
U
⇒ δ = + + +χ ∂
δ = ∫ ∫ ∫ ∫
k k k k
L L L P L
k k
k
M
V
,V
M
T
,T
M
M
,M
M
N
onde: N
dx, GA
VV
dx GI
TT
dx EI
MM
dx EA
NN
M
U
⇒ ϕ = + + + χ ∂
ϕ = ∫ ∫ ∫ ∫
X
V
,V
X
T
,T
X
M
,M
X
N
onde: N
dx , GA
VV
dx GI
TT
dx EI
MM
dx EA
NN
X
U
L L L P L
= −∆ ⇒ + + + χ = −∆ ∂
∫ ∫ ∫ ∫
Princípio dos Trabalhos Virtuais
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
ϕ = + + + χ
δ = + + + χ
L L L P L
L L L P L
GA
v Vdx
GI
t T dx
EI
m M dx
EA
n N dx
GA
v Vdx
GI
t Tdx
EI
m M dx
EA
n N dx
∑
δ =
n
i 1 i
i i i EA
n N L Paratreliças: 1.
∫ ∫ δ = ϕ = L L
EI
m M dx ou 1. EI
m M dx Para vigascarregadastransversalmente: 1.
Análise de Deformações
( ) θ
γ θ+
ε −ε = −
γ
θ
γ θ−
ε −ε −
ε + ε ε =
θ
γ θ +
ε −ε
ε + ε ε =
cos 2 2
sen 2 2 2
sen 2 2
cos 2 2 2
sen 2 2
cos 2 2 2
xý' x y xy
x y x y xy y'
x y x y xy x'
x y
xy p
2 xy
2 x y x y a, b tg^2 2 2 2 ε −ε
γ θ =
γ
ε −ε ±
ε +ε ε =
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Curso de Engenharia Civil
( )
( )
xy
x y t
2 xy
2 max x y tg^2 γ
ε − ε γ = ε −ε + γ θ = −
γ = 2 ε − ( ε +ε ) εθ = ε cos θ+ ε sen θ+γxy senθ cosθ 2 y
2 xy OB x y x
( )
a b^ (^ a b)^ c (^ a b)^ max max min
c a b
a b b
a b a
E
E
E E E E E
σ + σ γ = ε − ε
− ν σ + σ ε = −
− ν ε + ε =
σ + σ
ν ε = −
ν σ
νσ ε = −
νσ −
σ ε =
Diagrama retangular
Diagrama triangular
Diagrama triangular qualquer
Diagrama parabólico de 2 0.^ grau
Diagrama parabólico de 2 0.^ grau
Diagrama parabólico de 3 0.^ grau
Diagrama parabólico de grau n
b
h
b
h
x
x
h
b
c
b
h
x
x
b
b
b
h
h
x^ h
x
x
FORMA ÁREA X
bh b/
bh/2 b/
bh/2 (b+c)/
2bh/3 3b/
bh/
bh/
bh/n+
b/
b/n+
b/
TABELA DE ÁREAS - Analogia de Mohr
