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Forma escalonada de uma matriz
Antes de definir matriz escalonada vamos explicar o que é o primeiro elemento não nulo de uma linha:
O primeiro elemento não nulo de uma linha, olhando a linha da esquerda para a direita, é o primeiro elemento diferente de zero na linha.
Por exemplo, na matriz A do exemplo 1. Na 1ª linha, o primeiro elemento não nulo é o 1. Na 2ª linha, o primeiro elemento não nulo é o 3. Na 3ª linha, o primeiro elemento não nulo é o
Exemplo 1.
Observe que à direita do primeiro elemento não nulo pode haver zeros. Além disso, uma linha pode não ter primeiro elemento não nulo. Por exemplo, na matriz do Exemplo 2 a seguir, a linha 3 contém apenas zeros.
Exemplo 2.
Uma linha que tem todos os seus elementos iguais a zero é chamada de uma linha nula. Se tiver pelo menos um elemento distinto de zero, a linha é não nula.
Vamos, a seguir, definir o que é uma matriz na forma escalonada.
Definição. Uma matriz está na forma escalonada se o número de zeros que precede o primeiro elemento não nulo de cada linha cresce de cada linha para a seguinte abaixo dela até que restem ou não, apenas linhas nulas.
OBS-1. Chama-se matriz escalonada a uma matriz que está na forma escalonada.
Exemplo 4. Matrizes que não estão na forma escalonada:
( )
Definição. Posto de uma matriz escalonada:
É o número de linhas não nulas da matriz escalonada.
Exemplo 5. As matrizes A, B e C do exemplo tem postos P(A)=2, P(B)=4, P(C)=2.
Operações elementares nas linhas
1 – Permutação de uma linha por outra.
Exemplo 6. Permutação da linha 1 com a
linha 3:
Note que a operação foi indicada ao lado da linha a ser permutada. Essa indicação deve ser feita sempre: Se a linha for permutada com a linha deve-se indicar isso com o símbolo no lado direito da linha.
Exemplo 8. Substituição na linha por ( ) :
Observe que a operação foi indicada ao lado direito da linha a ser substituída. Isso deve ser feito sempre!
Escalonamento de matrizes
A menos de alguns casos especiais, é sempre possível obter uma matriz escalonada a partir de uma que não está na forma escalonada. Isso é realizado pela aplicação das operações elementares 1, 2 e 3. Esse processo é chamado de escalonamento.
Exemplo 9. Escalonar as seguintes matrizes.
Solução:
) ( ) ( )
OBS-4. A partir de uma matriz dada é sempre possível obter mais de uma matriz escalonada. Por exemplo,
Note que a matriz escalonada obtida é distinta da obtida anteriormente.
para não ocupar muito espaço. Ao fazer o escalonamento faça uma operação elementar de cada vez, como foi feito nos exemplos acima. Assim deve ser feito na prova.
OBS-6. Apenas operações elementares podem ser aplicadas no escalonamento de uma matriz.
Portanto, na prova, também não faça o seguinte:
Exemplo 10. As operações e empregadas abaixo não são operações elementares. Não use esse tipo de operação na prova.
OBS-7. Importante. Uma matriz não escalonada também tem posto. Mas temos que primeiro escalonar ela e, depois, obter o posto da matriz escalonada obtida. Dizemos, então, que o posto da matriz não escalonada é o posto da matriz escalonada obtida a partir dela pelas operações elementares.
Exemplo 11. No exemplo 9, ítem a), o posto da matriz A é 2. Indicamos assim: P(A)=2. No ítem b), o posto da matriz B é 2. Indicamos assim: P(B)=2. Note que o número de linhas não nulas na matriz escalonada obtida não é igual ao número de linhas não nulas da matriz dada. No
