Fatora¸c˜ao LU
M´arcio Antˆonio de Andrade Bortoloti
Departamento de Ciˆencias Exatas e Tecnol´ogicas - DCET
Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia
C´alculo Num´erico
M´arcio Bortoloti C´alculo Num´erico
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Este documento explica o processo de fatoração lu em cálculo numérico, incluindo o teorema de gauss e um exemplo de resolução de um sistema linear. O processo envolve escalonar a matriz a para obter as matrizes l e u, que permitem a solução do sistema ax = b por meio de ly = b e ux = y.
Tipologia: Notas de estudo
2022
1 / 16
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M´arcio Antˆonio de Andrade Bortoloti
Departamento de Ciˆencias Exatas e Tecnol´ogicas - DCET
Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia
C´alculo Num´erico
Considere o sistema
Ax = b.
Se A = BC ent˜ao, podemos fazer y = Cx de modo que o sistema inicial possa ser
escrito como
By = b.
Assim,
Ax = b ⇐⇒
Cx = y
By = b
Exemplo
Considere o seguinte sistema
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2
a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3
A matriz do sistema ´e
A = A
(0)
a
(0) 11 a
(0) 12 a
(0) 13
a
(0) 21 a
(0) 22 a
(0) 23
a
(0) 31 a
(0) 32 a
(0) 33
Vamos usar o M´etodo da Elimina¸c˜ao de Gauss para escalonar a matriz A. Logo,
m 21 =
a
(0) (21)
a
(0) (11)
e m 31 =
a
(0) (31)
a
(0) (11)
, a
(0) (11)
Assim obteremos os novos coeficientes
a
(1) (1j)
= a
(0) (1j)
, para j = 1, 2 , 3
a
(1) (ij)
= a
(0) (ij)
− mi 1 a
(0) (1j)
para i = 2, 3 e j = 1, 2 , 3
M
(0) A
(0)
a
(0) 11 a
(0) 12 a
(0) 13
a
(0) 21 −^ m^21 a
(0) 11 a
(0) 22 −^ m^21 a
(0) 12 a
(0) 23 −^ m^21 a
(0) 13
a
(0) 31 −^ m^31 a
(0) 11 a
(0) 32 −^ m^31 a
(0) 12 a
(0) 33 −^ m^31 a
(0) 13
a
(1) 11 a
(1) 12 a
(1) 13
0 a
(1) 22 a
(1) 23
0 a
(1) 32 a
(1) 33
= A
(1)
Continuando o processo ...
m 32 =
a
(1) 32
a
(1) 22
, a
(1) 22 6 = 0.
Os coeficientes a
(1) ij ser˜ao alterados para
a
(2) (1j)
= a
(1) (1j)
, para j = 1, 2 , 3
a
(2) (2j)
= a
(1) (2j)
para j = 2, 3
a
(2) 3 j =^ a
(1) 3 j −^ m^32 a
(1) 2 j para^ j^ = 2,^3
M
(1) A
(1)
a
(1) 11 a
(1) 12 a
(1) 13
0 a
(1) 22 a
(1) 23
0 a
(1) 32 −^ m^32 a
(1) 22 a
(1) 33 −^ m^32 a
(1) 23
a
(2) 11 a
(2) 12 a
(2) 13
0 a
(2) 22 a
(2) 23
0 0 a
(2) 33
= A
(2)
Em resumo ...
A = A
(0)
A
(1) = M
(0) A
(0) = M
(0) A
A
(2) = M
(1) A
(1) = M
(1) M
(0) A
(0) = M
(1) M
(0) A
Note que A
(2) ´e triangular superior. Da ´ultima igualdade tem-se
A = (M
(1) M
(0) )
− 1 A
(2) .
Podemos verificar que
(M
(0) )
− 1
m 21 1 0
m 31 0 1
e (M
(1) )
− 1
0 m 32 1
Exemplo:
Resolver o sistema linear a seguir usando a fatora¸c˜ao LU.
3 x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 1
x 1 + x 2 + 2x 3 = 2
4 x 1 + 3x 2 + 2x 3 = 3
Temos que
A =
Etapa 1:
Pivˆo = a
(0) 11 = 3.
Multiplicadores: m 21 =
a
(0) 21 a
(0) 11
= 1/ 3 e m 31 =
a
(0) 31 a
(0) 11
Ent˜ao
L 1 ← L 1
L 2 ← L 2 − m 21 L 1
L 3 ← L 3 − m 31 L 1
A
(1)
Assim, vamos
“guardar” os multiplicadores na posi¸c˜oes 21 e 31 , respectivamente.
A
(1)
Assim, o sistema Ax = b ´e equivalente ao sistema L(U x) = b. Fazendo y = U x tem
se Ly = b.
Logo, vamos resolver o sistema Ly = b;
y 1 = 1
1 / 3 y 1 + y 2 = 2
4 / 3 y 1 + y 2 + y 3 = 3
Segue que y = (1 5 / 3 0)
T .
Agora vamos resolver o sistema U x = y
3 x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 1
1 / 3 x 2 + 2/ 3 x 3 =
5 3 − 4 x 3 = 0
De onde obtemos x = (− 3 5 0)
T .