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y t ' YM cos ω t % φ (^) (1.1)
e j^ β^ ' cos β % j sin β (1.2)
FAQ sobre fasores
Clovis Goldemberg (com a colaboração da Prof. Denise Consonni) V0.8-Março/20 07
1. Por que usar fasores?
A notação fasorial simplifica a resolução de problemas envolvendo funções senoidais no tempo.
2. O que é um fasor?
Um fasor é um número complexo que representa a magnitude e a fase de uma senoide.
3. Quem inventou fasores?
O uso de números complexos para resolver problemas em circuitos de corrente alternada foi apresentado pela primeira vez por Charles Proteus Steinmetz em um artigo de 1893. Ele nasceu em Breslau, na Alemanha, filho de um ferroviário. Tornou-se um gênio da ciência apesar de ser um deficiente físico de nascença e ter perdido a mãe com apenas 1 ano de idade. Assim como seus trabalhos sobre as leis da histerese atraíram a atenção da comunidade científica, suas atividades políticas na Universidade de Breslau atraíram a polícia política. Foi forçado a fugir da Alemanha sem conseguir concluir seu trabalho de doutorado. Trabalhou em inúmeras pesquisas nos Estados Unidos, principalmente na General Electric Company. A GE havia sido fundada por Thomas Edison, que a dirigiu (^) Fig. 1.1 Charles Proteus Steinmetz. entre 1876 a 1892. O período de 1892 a 1923 ficou conhecido como sendo a Era (^) Steinmetz, por razões óbvias. Seu “paper” sobre números complexos revolucionou a análise de circuitos AC apesar de terem dito (naquela época) que ninguém, exceto Steinmetz, entendia o método.
4. Como se escreve um fasor?
Esta pergunta deve ser decomposta em várias etapas... a. Escreva y t no domínio do tempo como sendo uma função cossenoidal com uma fase determinada. Por exemplo:
Onde: YMé a amplitude da onda cossenoidal (sempre $0) φ é a fase da onda cossenoidal [rd] ω é a frequência angular da onda cossenoidal [rd/s]
b. A fórmula de Euler estabelece que:
e consequentemente temos:
cos β ' Re e j^ β^ (1.3)
y t ' YM cos ω t % φ ' Re YM e j^ ω^ t^ %φ^ ' Re YM e j^ ω^ t^ e j^ φ^ (1.4)
Y^ ˆ ' Y
M e^
j φ (^) ' Y
M pφ^ (1.5)
Y^ ˆ ' Y
M cos^ φ^ %^ j^ sin^ φ^ (1.6)
i t ' 5 sin 100 t % 2 π / 3 (^) (1.7)
i t ' 5 cos 100 t % π / 6 (^) (1.8)
Fig. 1.2 Representação gráfica do fasor Yˆ.
c. Aplicando a Eq. (1.3) em (1.1) resulta:
d. O fasor Yˆé dado por:
e. Fasores não giram! Isto porque o termo e j^ ω^ t da Eq. 1.4 é considerado à parte. f. A representação do fasor Yˆadotada na Eq. (1.5) é denominada polar. Entretanto seria perfeitamente aceitável uma representação usando números complexos:
5. Representação gráfica de um fasor
A representação gráfica do fasor Yˆindicado na Eq. (1.5) está dada na Fig. 1.
6. Qual a fase de um fasor?
Não existe uma única resposta a esta pergunta. Como o tempo é relativo (mais que isto, “tudo é relativo...” e o “big-bang” ocorreu há muito tempo atrás...) é necessário arbitrar um instante inicial para definir a fase do fasor Yˆ. Esta origem dos tempos deve ser a mesma para todos os fasores de um mesmo problema. Como regra prática adota-se um dos fasores como referência. Ou seja, este fasor específico tem fase nula. Os outros fasores podem estar “adiantados”, “atrasados” ou “em fase” em relação à referência de fase estabelecida.
7. Um exemplo de fasor?
Considere uma corrente:
Reescreva esta mesma corrente como sendo uma função cossenoidal.
i t ' Re IM e j^ ω^ t^ e j^ β^ (1.21)
Re VM e j^ ω^ t^ e j^ φ^ ' R Re IM e j^ ω^ t^ e j^ β^ (1.22)
VM e j^ ω^ t^ e j^ φ^ ' R IM e j^ ω^ t^ e j^ β^ (1.23)
VM e j^ φ^ ' R IM e j^ β^ (1.24)
V^ ˆ ' R Iˆ (1.25)
0 50 100 150 200 250 300 350 400
−
−0.
−0.
−0.
−0.
0
0.
0.
0.
0.
1
ω t [graus]
v(t)
i(t)
Fig. 1.3 Relação temporal entre corrente e tensão em resistor ideal.
Fig. 1.4 Diagrama fasorial para um elemento resistivo.
e também:
Agrupando as Eqs. (1.17), (1.19) e (1.21) teremos:
que pode ser simplificada eliminando-se a função “real” dos dois lados:
Os dois lados podem ser divididos por e j^ ω^ tresultando:
Em termos fasoriais temos:
onde: Vˆ ' VM p φ
I^ ˆ ' I
M p^ β
No caso de resistores as fases φ e βsão iguais bastando comparar as Eqs. (1.19) e (1.20). Ou seja, a tensão v t está em fase com a corrente i t. Observe a Fig. 1.3 abaixo e o diagrama fasorial correspondente na Fig. 1.4.
v t ' L d i t d t
v t ' VM cos ω t % φ (^) (1.27)
v t ' Re VM e j^ ω^ t^ e j^ φ^ (1.28)
i t ' IM cos ω t % β (^) (1.29)
i t ' Re IM e j^ ω^ t^ e j^ β^ (1.30)
Re VM e j^ ω^ t^ e j^ φ^ ' L
d Re IM e j^ ω^ t^ e j^ β d t
' j ω L Re IM e j^ ω^ t^ e j^ β^ (1.31)
VM e j^ ω^ t^ e j^ φ^ ' j ω L IM e j^ ω^ t^ e j^ β^ (1.32)
VM e j^ φ^ ' j ω L IM e j^ β^ (1.33)
V^ ˆ ' j ω L Iˆ (1.34)
VM e j^ φ^ ' j ω L IM e j^ β^ ' ω L IM e j^90 E^ e j^ β^ ' ω L IM e j^ β^ %^90 E^ (1.35)
VM e j^ φ^ ' ω L IM e j^ β^ %^90 E^ (1.36)
φ ' β % 90 E (^) (1.37)
11. Indutores
A equação diferencial básica para um indutor ideal é:
Considere que a tensão v t é dada por:
que pode ser reescrito como:
A corrente também será dada por uma função cossenoidal que possui uma fase β. Portanto:
e também:
Agrupando as Eqs. (1.26), (1.28) e (1.30) teremos:
que pode ser simplificada eliminando-se a função “real” dos dois lados:
Os dois lados podem ser divididos por e j^ ω^ tresultando:
Em termos fasoriais temos:
onde: Vˆ ' VM p φ
I^ ˆ ' IM p β
A partir da Eq. 1.33 podemos escrever:
e portanto:
Conclui-se da Eq. 1.36 que:
Neste caso as fases da tensão e corrente são diferentes! A tensão está adiantada de 90 Eem relação à corrente. Observe a Fig. 1.5 abaixo e o diagrama fasorial correspondente na Fig. 1.6.
Re IM e j^ ω^ t^ e j^ β^ ' C
d Re VM e j^ ω^ t^ e j^ φ d t
' j ω C Re VM e j^ ω^ t^ e j^ φ^ (1.43)
IM e j^ ω^ t^ e j^ β^ ' j ω C VM e j^ ω^ t^ e j^ φ^ (1.44)
IM e j^ β^ ' j ω C VM e j^ φ^ (1.45)
I^ ˆ ' j ω C Vˆ (1.46)
V^ ˆ ' 1
j ω C
I^ ˆ (1.47)
IM e j^ β^ ' j ω C VM e j^ φ^ ' ω C VM e j^90 E^ e j^ φ^ ' ω C VM e j^ φ^ %^90 E^ (1.48)
IM e j^ β^ ' ω C VM e j^ φ^ %^90 E^ (1.49)
VM e j^ φ^ %^90 E^ '
ω C
IM e j^ β^ (1.50)
φ % 90 E ' β (^) (1.51)
Agrupando as Eqs. (1.38), (1.40) e (1.42) teremos:
que pode ser simplificada eliminando-se a função “real” dos dois lados:
Os dois lados podem ser divididos por e j^ ω^ tresultando:
Em termos fasoriais temos:
e também:
onde: Vˆ ' VM p φ
I^ ˆ ' I
M p^ β
A partir da Eq. 1.46 podemos escrever:
e portanto:
e finalmente:
Conclui-se da Eq. 1.50 que:
Neste caso as fases da tensão e corrente são diferentes! A tensão está atrasada de 90 Eem relação à corrente. Observe a Fig. 1.7 abaixo e o diagrama fasorial correspondente na Fig. 1.8.
Vˆ ' R Iˆ (1.52)
V^ ˆ ' j ω L Iˆ (1.53)
V^ ˆ ' 1
j ω C
I^ ˆ (1.54)
Z '
Vˆ
I^ ˆ
0 50 100 150 200 250 300 350 400
−
−0.
−0.
−0.
−0.
0
0.
0.
0.
0.
1
ω t [graus]
v(t)
i(t)
Fig. 1.7 Relação temporal entre corrente e tensão em capacitor ideal.
Fig. 1.8 Diagrama fasorial para um elemento capacitivo.
13. Impedância
Convém comparar as relações fasoriais obtidas para os elementos resistivos, indutivos e capacitivos. As equações estão repetidas a seguir para facilitar tal comparação:
Podemos generalizar definindo uma impedância Z que é dada pela relação entre os fasoresVˆ e Iˆ:
Notar que a impedância NÃO é um fasor. Trata-se de um número complexo que
relaciona um fasor de tensão Vˆ^ com um fasor de corrente Iˆ.
Vˆ
1 '^ VM1 cos^ φ 1 %^ j^ sin^ φ 1 (1.62)
V^ ˆ 2 '^ VM2 cos^ φ 2 %^ j^ sin^ φ 2 (1.63)
V^ ˆTotal ' VM1 cos φ 1 % VM2 cos φ 2 % j VM1 sin φ 1 % VM2 sin φ 2 (1.64)
Fig. 1.10 Sistema de tensões trifásico, com ligação estrela.
A soma de fasores também pode ser realizada usando coordenadas retangulares. Temos:
Observando-se a Fig. 1.9 nota-se que a soma de um fasor também é um fasor! Uma generalização imediata é que um número qualquer de fasores podem ser somados, sempre
resultando um fasor. Lembrar também que só é possível somar fasores de mesma frequência!
17. Sistema trifásico
Fasores podem ser usados para representar um sistema de tensões trifásico. No caso da Fig. 1.10 temos:
! um sistema trifásico (três tensões), denominadas de tensões de fase ; ! equilibrado (as tensões possuem a mesma magnitude); ! a defasagem entre as tensões é de 120 graus;
! a sequência de fases é RST ou positiva;
Na Fig. 1.10 o tipo de ligação indicado é estrela, onde os três fasores possuem um ponto comum, denominado neutro (N).
VˆRS ' Vˆ R & VˆS
V^ ˆST ' Vˆ S & VˆT
V^ ˆ
TR '^
Vˆ
T &^
Vˆ
R
V^ ˆ
RS '^220 2 p%^30 E'^ 311.1^ p%^30 E
V^ ˆST ' 220 2 p& 90 E' 311.1 p& 90 E
V^ ˆTR ' 220 2 p& 210 E' 311.1 p& 210 E
V^ ˆ
R '^ 179.6^ p^0 E
V^ ˆ S ' 179.6 p& 120 E
V^ ˆ T ' 179.6 p& 240 E
VFase '
VLinha
3
VFase ' 220 3
' 127 VRMS (1.69)
Fig. 1.11 Sistema de tensões trifásico, com ligação delta.
Na Fig. 1.11 também temos 3 tensões, denominadas de tensões de linha , defasadas de 120 graus:
No Brasil, os módulos das tensões de linha normalmente valem 220 VRMS. Isto significa que os fasores correspondentes serão:
Um cálculo simples é capaz de mostrar que as tensões de fase correspondentes são:
correspondendo a tensões de fase de 127 VRMS. Este cálculo está baseado na seguinte relação:
Numericamente resulta:
p t ' v t × i t (^) (1.71)
0 50 100 150 200 250 300 350 400
−
−0.
−0.
−0.
−0.
0
0.
0.
0.
0.
1
ω t [graus]
v(t)
i(t)
Fig. 1.14 Relação temporal entre corrente e tensão em resistor ideal.
(^00 50 100 150 200 250 300 350 )
0.
0.
0.
0.
0.
ω t [graus]
Pot
ência [W]^ 0.25 [W]
Fig. 1.15 Potência instantânea em um resistor ideal tomando-se como base a Fig. 1.14. O valor médio da potência calculado é de 0.25 [W].
Se multiplicarmos os valores instantâneos de tensão e corrente resulta uma potência instantânea p t onde:
mostrada na Fig. 1.
v t ' VM cos ω t % φ i t ' IM cos ω t % n (1.72)
v t ' VM cos ω t i t ' IM cos ω t (1.73)
p t ' VM cos ω t × IM cos ω t (^) (1.74)
p t '
VM IM
1 % cos 2 ω t (^) (1.75)
Nota-se na Fig. 1.15 que:
! a potência instantânea é pulsante; ! existem instantes nos quais a potência instantânea chega a se anular (quando cos(2ωt)'& 1 ); ! a pulsação de potência ocorre com periodicidade de 180E ( 2 ω); ! a potência possui um valor médio não nulo (neste caso, 0.25 [W]).
A questão que se coloca é: “como é que se calcula o valor médio da potência?” Temos, no caso geral:
Como a corrente e tensão estão em fase podemos adotar uma “nova origem” para a fase, resultando:
Agrupando-se as Eqs. (1.71) e (1.73) temos:
da qual se deduz:
Ou seja, foram confirmadas as conclusões de que:
! a potência instantânea é pulsante; ! existem instantes nos quais a potência instantânea chega a se anular (quando cos(2ωt)'& 1 ); ! a pulsação de potência ocorre com periodicidade de 2 ω.
Para o exemplo numérico das Figs. 1.14 e 1.15 temos: VM= 1 [V] IM = 0.5 [A]
resultando a potência média PM= 0.25 [W]
20. Potência ativa para um indutor ideal
E se a carga fosse uma indutância ideal? A tensão e corrente neste caso estão apresentadas na Fig. 1.16 e a potência ativa instantânea é dada na Fig. 1.17.
0 50 100 150 200 250 300 350 400
−
−0.
−0.
−0.
−0.
0
0.
0.
0.
0.
1
ω t [graus]
v(t)
i(t)
Fig. 1.18 Relação temporal entre corrente e tensão em capacitor ideal.
0 50 100 150 200 250 300 350 400
−0.
−0.
−0.
−0.
−0.
0
0.
0.
0.
0.
0.
ω t [graus]
Pot
ência [W]
Fig. 1.19 Potência instantânea em um capacitor ideal tomando-se como base a Fig. 1.18. O valor médio da potência é nulo.
21. Potência ativa para um capacitor ideal
E se a carga fosse um capacitor ideal? A tensão e corrente neste caso estão apresentadas na Fig. 1.18 e a potência ativa instantânea é dada na Fig. 1.19.
v t ' VM cos ω t i t ' IM cos ω t & n (1.76)
p t ' VM cos ω t × IM cos ω t & n (^) (1.77)
p t '
VM IM
cos n 1 % cos 2 ω t %
VM IM
sin n sen 2 ω t (^) (1.78)
p t ' P 1 % cos 2 ω t % Q sen 2 ω t (^) (1.79)
P '
VM IM
cos n (^) (1.80)
Q '
VM IM
sin n (^) (1.81)
S ' P 2 % Q 2 '
VM IM
P ' S cos n (^) (1.83)
Q ' S sin n (^) (1.84)
Nota-se na Fig. 1.19 que:
! a potência instantânea é pulsante; ! a pulsação de potência ocorre com periodicidade de 180E ( 2 ω); ! a potência possui um valor médio nulo.
22. Como é que a potência média pode ter valor nulo se existe corrente e tensão?
Vamos retornar à pergunta: “como é que se calcula o valor médio da potência?” Temos, no caso geral (para qualquer tipo de carga):
Neste caso existe uma defasagem nentre a tensão e a corrente. Esta defasagem pode ser, no caso geral, tanto positiva quanto negativa. Calculamos:
da qual se deduz:
podemos escrever também:
onde os valores de P (Potência ativa) e Q (Potência reativa) são dados por:
A potência ativa instantânea possui portanto 3 termos (ver Eq. 1.79):
! um valor médio não nulo P dado pela Eq. (1.80), que é a potência média; ! um valor pulsante, com valor médio nulo e periodicidade 2 ω, com amplitude P ; ! um valor pulsante, com valor médio nulo e periodicidade 2 ω, com amplitude Q.
No caso do capacitor ideal temos n= -90E, resultando em P=0. No caso do indutor ideal temos n= +90E, resultando em P=0.
O termo cos n é denominado de “fator de potência”.
23. Mais definições (isto não vai terminar nunca???)
A partir das Eqs. 1.80 e 1.81 é usual definirmos uma potência aparente S:
e consequentemente:
P '
VM IM
cos n '
1 ×0.
cos 30 '
cos 30 ' 0.217 W (^) (1.90)
v t ' VM cos ω t (^) (1.91)
−0.1 0 50 100 150 200 250 300 350 400
0
0.
0.
0.
0.
0.
ω t [graus]
Pot
ência [W]
0.217 [W]
Fig. 1.21 Relação temporal entre corrente e tensão para circuito RL.
O cálculo analítico da potência ativa média resulta:
26. Valor médio de uma grandeza senoidal
O valor médio de uma grandeza senoidal é sempre zero! Ao descrevermos uma grandeza senoidal é inútil dizermos que seu valor médio é nulo. Como os semiciclos positivo e negativo são simétricos, o valor médio sempre é nulo.
27. Valor eficaz de uma grandeza senoidal? A origem do fator mágico 2.
Em alguns tópicos anteriores já foi utilizado o conceito de valor eficaz mesmo sem uma definição prévia, o que será feito neste item.
Apesar do valor médio de uma senoide ser nulo (ver pergunta 25 acima) esta forma de
onda "possui energia", dando origem à noção de valor eficaz. O objetivo é descobrir uma "equivalência energética" entre uma tensão senoidal e uma tensão DC. Tomaremos como base uma tensão de 1 VDC alimentando um resistor de 1 Ω. Neste caso circula uma corrente de 1 ADC e a potência dissipada pelo resistor será 1 [VDC] × 1 [ADC] ' 1 [W].
Se o mesmo resistor for alimentado com tensão alternada certamente existe um valor de
tensão que também será capaz de dissipar os mesmos 1 [W] de potência. Considere uma tensão:
i t ' IM cos ω t '
VM
1 [Ω]
cos ω t (1.92)
p t '
VM IM
1 % cos 2 ω t (^) (1.93)
p t '
V M^2
1 % cos 2 ω t (1.94)
PMédia '
V M^2
' 1 [W] (1.95)
VM ' 2 [V]. 1.41 [V] (1.96)
Circula portanto uma corrente:
A potência média dissipada deverá ser 1 [W] para que seja mantida a "equivalência energética". A potência instantânea dissipada num circuito puramente resistivo já havia sido deduzida na Eq. 1.75, reproduzida abaixo.
Substituindo a corrente IMcalculada, a Eq. 1.93 se transformará em:
cujo valor médio neste exemplo será:
Resulta da Eq. 1.95 que:
Ou seja, a tensão com amplitude VM ' 2 [V]será capaz de produzir a mesma dissipação de potência de uma fonte DC de 1 [V]. Tal raciocínio dá origem ao conceito de valor eficaz. Portanto, quando dizemos que uma tensão senoidal possui valor eficaz VRMS ' 1 [VRMS]isto significa que sua amplitude é VM ' 2 [V].
28. Pode-se usar fasores em formas de onda não senoidais?
Não! Entretanto, se a forma de onda original puder ser decomposta em várias componentes espectrais poderemos utilizar fasores para representar cada uma destas raias.
29. Fasores com frequências distintas?
Sim, podem existir fasores com frequências distintas (ver pergunta 28 acima). Só que estes
fasores tem que ser tratados obrigatoriamente como entidades independentes!
30. Escalas gráficas para representação de fasores
Nas Figs. 1.10 e 1.11 representamos um sistema trifásico de tensões, sendo implícito o uso de uma escala gráfica [cm]/[V] para todos os fasores. Entretanto, quando se tem fasores de tensões e correntes no mesmo gráfico (tal como ocorre nas Figs. 1.4, 1.6 e 1.8) teremos duas escalas gráficas (uma para tensões e outra para correntes).
31. Pode-se usar valores RMS na representação gráfica de um fasor?
Na definição de fasores (ver Eq. 1.5) está presente a amplitude! Quando fazemos uma representação gráfica de um fasor somos obrigados a escolher uma escala gráfica qualquer do tipo [cm]/[V] ou [cm]/[A]. Na escolha desta escala gráfica podemos eventualmente incluir o termo 2 fazendo com que a escala gráfica seja [cm]/[VRMS] ou [cm]/[ARMS].
