Momento Angular e Sua Conservação em Física Geral I, Resumos de Energia

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Física Geral I - F -

2º semestre, 2012

Aula 12

Momento Angular e sua

Conservação

Como vimos anteriormente, as variáveis angulares de um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo têm sempre correspondentes lineares:

F ;

a e I ↔ m

Vamos definir mais uma grandeza angular que nos será extremamente útil: o momento angular!

z ˆ

Ampliaremos a definição de torque para aplicá-la a uma partícula, que se move em uma trajetória qualquer, em relação a um ponto fixo (em vez de um eixo).

x ˆ

y ˆ

z ˆ r  τ 

F

O

O torque da força , que age sobre a partícula, em relação ao ponto O é definido como: F  r F    τ = × Momento Angular

e mantêm-se num plano (perpendicular a ) durante o movimento quando o torque é nulo. dt d res    τ = Como para qualquer massa puntiforme em movimento podemos imediatamente dizer que se constante

res

= ⇒ =    τ 0

p

r

x ˆ y ˆ z ˆ r  p m v   = o  

  Conservação do momento angular

r p     = × O momento é dado por: Calcular o momento e o torque do pinguim em relação ao ponto Q

Mas o momento do pinguim em função do tempo é

dado por:

p ( t ) = m v (t) = mgt

Assim:

l ( t ) = Dmgt

Como: res dt d

   = , então^ τ^ =^ Dmg. (Verifique que este é o torque calculado quando leva-se em consideração a força peso no cálculo direto do torque.) Exemplo 1

Forças Centrais Há, entretanto, outros casos onde o momento angular se conserva mesmo na presença de forças não nulas. Um exemplo é o de forças centrais, que são forças da forma

r

p  o

F ( r )= f ( r ) r ˆ

F ( r )= f ( r ) r ˆ

Neste caso:    ^   r f r r dt d

= τ = × ( )ˆ

e se = 0 ⇒ = const.   τ Momento Angular

Dados R e vi pede-se: a) vf em função do raio r; b) o trabalho da força F. m v R mv r i f =

r

Rv

v

i f

O trabalho da força é dado por

v i

F

∫

2 2 2 2

r

R

F r dr mv mv m v

f i i r r f i

  Como a força é central, o momento angular em relação a O se conserva: Exemplo 2

Lei das áreas Área do triângulo colorido: dA r d r    = × 2 1 dt m d r r m dt m d A 2 2 1      = × = constante 2 = = dt m d A   2 a^ Lei de Kepler: “O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas iguais em tempos iguais”. ( (^) dA = metade da área do paralelogramo) 

Sol r Terra

r d r  

d r  p  Exemplo 3

Q2: Movimento circular vs Força central

A. Sim B. Não Existe algum movimento com trajetória circular e o momento angular não constante?

=0 =0^ =M

L L R P     = ′+ × Ou seja, o momento angular de um sistema de partículas é a soma do momento angular em relação ao CM com o momento angular do CM. Note que o momento linear interno de um sistema de partículas se anula. R m v m r V m R V L m r R v V m r v i i i i i i i i i i i i i i i i                    × ′+ ′× + × = ′+ × ′+ = ′× ′ + ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ∑ ( ) Momento angular de um sistema de partículas

Lei fundamental da dinâmica das rotações A variação do momento angular total de um sistema de partículas é: Aqui (referencial inercial) representa a força

dt

d p

F

i i

Como ∑ ∑ ∑ ≠ ←

× = × +

i j i i i ext i j i i i

r F r ( F F )

( )

podemos trocar i por j e reescrever: ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ⎟= × = × ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = × = × + × i i i i i i i i i i i i i i r F dt d p r dt d p p r dt d r r p dt d dt d L            ,

total sobre a partícula i. Momento angular de um sistema de partículas

Como vimos anteriormente: e 2

i i i

K m v

∑

 (^22) 2 1 2 1 ( ) ( ) 2 1 K m v V v V m v V m v mV i i i i i i i i i i i i ∑ ∑ ∑ + ∑ = ′+ ⋅ ′+ = ′ + ⋅ ′      

(^22) 2 1 2 1 K mv MV i i i = (^) ∑ ′ + 0 0 ∑ ∑ ∑ ′= ′ = = ′+ ⇒ ′= ⇒ i i i i i i i i i i m v p r r R m r       v v V i i    = ′+ o

r i

R 

ri

CM

Ou seja, a energia cinética de um sistema de

partículas é a soma da energia cinética do

sistema em relação ao CM com a energia

cinética do CM.

Energia cinética de um sistema de partículas

Vamos agora estudar o movimento de rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo. Como podemos decompor o vetor posição de qualquer ponto do corpo rígido como i i z i z p  

 ˆ= ρ ×

( ) ( com o torque definido em relação ao eixo de rotação). i i i

r z

= ρ + x ˆ y ˆ i z  i r  i ρ  i i i p mv   = , temos: i i i i i i i r p p z p         = × = ρ × + × z ˆ ⊥ z ˆ ( (^) p ) (^) z dt d z dt d z i i i z i ˆ ˆ ( ) ( )

= ρ × = τ

   Rotação em torno de um eixo fixo

τ τ I α

dt

dL

z z ext z

( ) ( ) ( ) ( ) dt d z z i i ( ) ( )  τ = Temos também: Mas, pela Lei fundamental da dinâmica das rotações: α

( ) ( ext ) i i i ext r F dt d L τ     ∑ = × = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z z (^) i i i i z i (^) z i dl dt d l dL d I I dt dt dt τ τ ω α = = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = = ∑ ∑ ∑ ω  x ˆ y ˆ i z  i r  i ρ  i i i p mv   = Rotação em torno de um eixo fixo

Tabela de analogias

Rotação em torno

de um eixo fixo

Movimento de

translação

energia cinética equilíbrio 2 a^ lei de Newton 2 a lei de Newton momento conservação potência 2 2

KR = I ω

2

K = mv

τ α   ∑ = I ∑ F^^ =^ ma   0 ^  ∑^ τ^ = ∑ =^0

F

dt d L ext   ∑ τ^ ( )=

∑ =^

dt

d p

F

L = I ω p^ mv   = i f p p   = P =τ ω P = F v i f L L   = Rotação em torno de um eixo fixo