Experimento da Fenda Dupla: Dualidade Onda-Partícula e ..., Slides de Probabilidade

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Experimento da Fenda Dupla: Dualidade Onda-Partícula e sua Quanticação e um Exemplo de Tomograa Saulo Vicente Moreira

2014

Universidade Federal de Minas Gerais - UFMG Instituto de Ciências Exatas - ICEx Programa de Pós Graduação em Física

Experimento da Fenda Dupla: Dualidade Onda-Partícula e sua Quanticação e um Exemplo de Tomograa

Saulo Vicente Moreira

Orientadora: Prof. Dra. Maria Carolina Nemes Co-orientador: Prof. Dr. José Geraldo de Oliveira Júnior

Dissertação apresentada ao departamento de Física da Univer- sidade Federal de Minas Gerais, como requisito para a obtenção do Título de Mestre em Física Área de Concentração: Fundamentos de Física Quântica.

2014

Estou te falando em abstrato e pergunto-me: sou uma aria cantabile? Não, não se pode cantar o que te escrevo. Por que não abordo um tema que facilmente poderia descobrir? mas não: caminho encostada à parede, escamoteio a melodia descoberta, ando na sombra, nesse lugar onde tantas coisas acontecem. Às vezes escorro pelo muro, em lugar onde nunca bate sol. Meu amadurecimento de um tema já seria uma aria cantabile - outra pessoa que faça então outra música - a música do amadurecimento do meu quarteto. Este é antes do amadurecimento. A melodia seria o fato. Clarice Lispector, Água Viva

Agradecimentos

Agradeço à Carol, orientadora deste trabalho, por todo aprendizado humano e acadêmico, desde a iniciação cientíca. Em especial, ressalto o seu desapego às hierarquias que são tão comuns no ambiente acadêmico, a sua capacidade de agregar e acolher, e seus esforços por uma construção de conhecimento coletiva, generosidade e inspiração. Ao Zezinho, co- orientador, com quem tudo começou e pelas discussões sempre tão enriquecedoras. Agradeço a todos que participaram das reuniões de grupo, pelas sugestões, discussões e até mesmo colaborações, tanto no Departamento de Física quanto no Departamento de Filosoa da Fach: Breno, Karen, Romeu, Patrícia, Pablo, Marcos, José Geraldo, Juvenil, Raul e cia. À minha família: minha mãe, Sonia Maria, que sempre apoiou e possibilitou minhas escolhas. Não tenho palavras para agradecer tanta dedicação e amor. Às minhas irmãs, Juliana e Camila, pelo apoio e amizade. Aos amigos: Julia, Leandrinho, Samuel, Bárbara Rosa, Barbara Costa. Sou muito grato por tudo que compartilhamos durante esses anos de Belo Horizonte, nos botecos, carnavais (mesmo que inventados), nos cafés depois do almoço, em aventuras e desventuras e vida compartilhadas de noite e de dia... Levo vocês no coração. Juju, não vou esquecer daquela noite em que envelhecemos juntos, de repente. Meu agradecimento também aos professores, funcionários e colegas do Departamento de Física. Ao CNPq, pelo suporte nanceiro.

v

Abstract

In this work, we studied the wave-particle duality and also proposed the implementation of a minimal tomography in the same plane of detection in a model for the interference experiment with matter waves through the double slit. A quantum mechanical description of this experiment is presented, and the intermediary situations of partial knowledge of the ondulatory and corpuscular descriptions were quantied, through the quantities called visibility (V) and predictability (P), respectively, as it is usual in the literature. First, the calculations of these quantities were done for the model of the ideal case of particles sent through the obstacle with the double slit. In the second part, we pursued an aproximation with a more realistic situation and did the same calculations for the case in which the particle interacts with an environment - here, we have considered this environment made of an ideal gas of particles, for simplicity. In this case, entanglement with the environment is developed, and the state of the system becomes, after the acting of the dynamics - which is governed by a master equation - a mixed state. In both cases, we veried that the relationship P 2 + V 2 ≤ 1 is obeyed, and an analisys of the behaviour of these quantities were done. Finally, we proposed a minimal state tomography in the same plane in the model for the experiment here described. Keywords: wave-particle duality, visibility, predictability, tomography

II

Sumário

Resumo I

Capítulo 1

Introdução

Esta dissertação abordará a dualidade onda-partícula, um tema de fundamental impor- tância em Mecânica Quântica. Estudaremos o célebre experimento da fenda dupla, o qual está intimamente relacionado a esta dualidade, e como bem pontuou R. Feynman é um fenômeno impossível, absolutamente impossível, de ser explicado de qualquer forma clássica e que contém o coração da mecânica quântica [1]. Neste experimento um padrão de inter- ferência pode ser observado ao enviarmos partículas através da fenda dupla. Uma descrição quântica deste experimento será apresentada, com vistas à quanticação da dualidade. Como veremos adiante, esta quanticação dos caracteres ondulatório e de partícula que será pro- posta dependerá inteiramente deste padrão [2]. Como perspectiva de aplicação, no Capítulo 4 será proposta uma tomograa de estado mínima em um único plano de detecção, na qual utilizaremos o modelo do experimento da fenda dupla aqui apresentado. Nesta Introdução, primeiramente, discutiremos de forma breve alguns conceitos e ferra- mentas em Mecânica Quântica que serão utilizados aqui e ao longo dos capítulos posteriores, assim como faremos uma revisão dos aspectos relevantes para este trabalho do conceito da dualidade onda-partícula. Abordaremos a complementaridade de Bohr e, em seguida, per- correremos alguns trabalhos mais recentes, do nal do século XX e do início do século XXI,

1

Capítulo 1. Introdução 2

os quais propõem a possiblidade de obtermos informação parcial dos caracteres ondulatório e de partícula e sua quanticação, por meio das quantidades visibilidade e previsibilidade. Nos capítulos seguintes, apresentaremos descrições quânticas para o experimento da difra- ção através da fenda dupla, para o caso de ondas de matéria, ou seja, as partículas que são enviadas pela fonte tem massa não-nula, conforme veremos em detalhes no Capítulo 2. No Capítulo 2, estudaremos a situação dinâmica em que não há nenhuma interação entre a partícula e outras eventuais partículas presentes, ou seja, consideraremos a propagação livre. Já no Capítulo 3, incluiremos os efeitos da presença de um ambiente constituído por um gás ideal de partículas, o que torna o modelo mais realístico. Por último, como já men- cionado, proporemos uma estratégia de tomograa mínima em um único plano do modelo do experimento da fenda dupla do Capítulo 4.

1.1 Estados em Mecânica Quântica

Estados quânticos são representados por vetores em um espaço vetorial complexo, o espaço de Hilbert que, de forma mais geral, apresenta dimensão innita. A dimensão do espaço de Hilbert será determinada pela grandeza física em questão. Por exemplo, o estudo da grandeza spin 12 realiza-se em um espaço vetorial de duas dimensões, enquanto se estamos interessados em graus de liberdade espaciais, temos que lançar mão de um espaço com dimensão innita. Supõe-se que esse espaço é dotado de produto escalar [3] de forma que, dados dois vetores que se escrevem como |ϕ〉 e |ψ〉, de acordo com a notação de Dirac [4] valha a propriedade (ϕ, ψ) = (ψ, ϕ)∗. Da condição de normalização das probabilidades, tem- se que estes vetores devem ter norma unitária. Estes estados são portadores da informação passível de ser extraída de um sistema quântico. Um estado quântico é dito puro se sua representação pode ser feita simplesmente por um vetor pertencente ao respectivo espaço de Hilbert, ou seja, se |ψ〉. Neste ponto, é interessante introduzir a matriz densidade ρ de um sistema quântico, que no caso de um estado puro, escreve-se como ρ = |ψ〉 〈ψ|. A denição geral da matriz densidade ρ é, entretanto, ρ = ∑ i

pi |ψi〉 〈ψi|. (1.1)

onde pi são probabilidades, e que, por conseguinte, satisfazem ∑ i pi = 1. De acordo com

Capítulo 1. Introdução 4

O estado do sistema que descreve apenas um dos subsistemas, H 1 ou H 2 , pode ser obtido por meio do traço parcial sobre um dos subsistemas. Este estado nos permitirá obter as predições físicas que se referem a medidas realizadas em somente um dos subsistemas. Assim, por denição, o estado do subsistema 1 (ρ 1 ) é obtido do estado do sistema (ρ) por meio do traço parcial no subsistema 2:

ρ 1 = T r 2 [ρ]. (1.3) De forma completamente análoga, para ρ 2 , tem-se ρ 2 = T r 1 [ρ]. (1.4)

1.3 Dualidade Onda-Partícula e Complementaridade de Bohr

A ideia de complementaridade em Mecânica Quântica foi introduzida por Niels Bohr, em 1927, em seu célebre trabalho intitulado "The Quantum Postulate and the Recent Deve- lopments of Atomic Theory"^1 [5], como tentativa de interpretação da teoria. Bohr, nesse trabalho, destaca que a Mecânica Quântica demanda uma nova atitude do ponto de vista - losóco, a qual ele chama de complementaridade [6]. Sobre o conceito de complementaridade, Camilleri [6] cita trecho da carta de Bohr a Schrödinger, em 23 de maio de 1928:

There remains always -as stated in the article- an absolute exclusion between the application of the concept of stationary states and the tracking of the behavi- our of an individual particle in the atom. This exclusion provides in my opinion a particularly striking example of the general complementary nature of the des- cription. As I have tried to show in my article, a quite denite meaning can be ascribed to the concept of stationary states as well as to the discrete energy values within their domain of applicability. 2 [7] Bohr salienta, neste trecho, que as descrições em Mecânica Quântica seriam fundamen- talmente mutuamente exclusivas. Essa exclusão mútua estender-se-ia, dessa forma, às des- crições ondulatória e corpuscular, advindas da Física Clássica, evidenciando a limitação dos (^12) Tradução livre: O Postulado Quântico e o Recente Desenvolvimento da Teoria Atômica.

conceito de estados estacionários e o acompanhamento do comportamento de uma partícula individual noTradução livre:^ Persiste sempre -como exposto no artigo- uma exclusão absoluta entre a aplicação do átomo.descrição. Como tentei mostrar em meu artigo, um signicado bem denido pode ser atribuído ao conceito Esta exclusão fornece em minha opinião um exemplo surpreendente da natureza complementar da de estados estacionários assim como aos valores discretos de energia dentro de seu limite de aplicabilidade.

Capítulo 1. Introdução 5

conceitos clássicos para a descrição em um nível quântico. No trecho a seguir, Bohr [8] relaciona complementaridade e exclusão mútua à aplicação dos conceitos e ideias da Física Clássica:

The term 'complementarity' denotes the relation of mutual exclusion cha- racteristic of the quantum theory with regard to the application of the various classical concepts and ideas.^3

Sobre a complementaridade e a dualidade onda-partícula, Bohr [5] escreve:

The two views of the nature of light are rather to be considered as dierent attempts at an interpretation of experimental evidence in wich the limitation of the classical concepts is expressed in complementary ways 4

e

We are not dealing with contradictory but with complementary pictures of the phenomena, which only together oer a natural generalization of the classical mode of description. 5

Tendo em vista o exposto, a conexão entre complementaridade e a dualidade onda- partícula pode ser interpretada como a exclusão mútua dos fenômenos ondulatório - a mani- festação da interferência - e corpuscular, sendo este último denido como a manifestação do conhecimento do caminho, em um dado experimento interferométrico. Entretanto, experi- mentos realizados nas últimas décadas do nal do século XX motivaram estudos direcionados para a possibilidade de quanticação dessa dualidade, na medida em que informação dos ca- racteres ondulatório e de partícula eram passíveis de serem extraídos em um experimento de interferometria, como será visto na seção seguinte. (^3) Tradução livre: O termo 'complementaridade denota a relação de exclusão mútua característica da teoria quântica no que diz respeito à aplicação dos vários conceitos e ideias clássicas. (^4) Tradução livre: As duas visões da natureza da luz são na verdade para serem consideradas como diferentes tentativas de uma interpretação da evidência experiemental na qual a limitação dos conceitos clássicos éexpressa de forma complementar. (^5) Tradução livre: Nós não estamos lidando com aspectos contraditórios, mas complementares do fenômeno, os quais apenas juntos oferecem uma generalização natural do modo clássico de descrição.

Capítulo 1. Introdução 7

a possibilidade de obtenção de informação incompleta sobre o caminho da partícula, o que implicaria em um padrão de interferência borrado. A dualidade onda-partícula, portanto, manifestar-se-ia também em casos intermediários. De fato, uma vericação experimental desse fenômeno foi feita por Rauch e Summhammer em 1984 [12] em um experimento de interferometria com nêutrons. O interferômetro de Mach Zehnder é bastante utilizado na literatura para ilustrar esses casos intermediários. Este interferômetro consiste de dois divisores de feixes e dois espelhos (Figura 1.1). Ao inserirmos um defasador em um dos braços do interferômetro e variarmos a fase, observaremos um padrão de interferência. Esse padrão apresentará máximo contraste no caso em que não temos nenhum conhecimento sobre qual dos dois caminhos a partícula seguiu. Se for inserido, porém, um absorvedor parcial^6 em um dos braços do interferômetro, casos intermediários poderão ser obtidos: teremos algum conhecimento sobre o caminho que a partícula seguiu, o qual será tanto melhor quanto menor for a taxa de transmissão do absorvedor [11]. Este conhecimento parcial do caminho implicará, por sua vez, em uma diminuição do contraste entre as franjas do padrão de interferência. Uma vez vericados experimentalmente esses casos intermediários, surge, naturalmente, a questão: haveria a possibilidade de quanticar esta dualidade? E ainda mais, seria possí- vel estabelecer uma relação entre os parâmetros quanticadores de cada um dos modos de descrição, ondulatório e de partícula? A. Zeilinger [11], propõe o uso da Teoria de Shannon [13] para quanticação desses casos de conhecimento parcial de dois tipos de informação. Em um experimento com n possíveis resultados que podem ocorrer com probabilidades pi, devidamente normalizadas, a entropia S é denida como

S = − ∑^ n i=

pi logn pi. (1.5) Esta denição tem a propriedade de S resultar zero se um dos pi's for igual a um e todos os outros iguais a zero. Por sua vez, o valor máximo de S, que corresponde à unidade, será atingido quando todos os p′ is forem iguais. Não pretendemos explorar esta denição neste trabalho. O leitor interessado poderá consultar as referências [11] e [14]. Motivados pelo experimento de H. Rauch e J. Summhammer [12], D. Greenberger e A. (^6) Uma alternativa ao absorvedor seria o primeiro divisor de feixes da montagem experimental com dife- rentes taxas de transmissão para cada um dos feixes emergentes.

Capítulo 1. Introdução 8

Figura 1.2: Esquema experimental de um experimento de interferometria de nêutrons. Fi- gura retirada de [14].

Yasin [14] propõe a visibilidade V como medida das propriedades ondulatórias no experi- mento de interferência com nêutrons, uma vez que a mesma quantica o contraste no padrão de interferência obtido por meio da variação da fase entre braços do interferômetro (Figura 1.2): V = I Imaxmax^ −+^ IIminmin , (1.6)

onde Imax e Imin correspondem às intensidades máximas e mínimas do padrão de interferên- cia, respectivamente. Assim, considerando o interferômetro mostrado na Figura 1.2, sendo a e b as amplitudes de cada um dos feixes de nêutrons que serão recombinados, pode-se escrever a função de onda em D como

Ψ = (aeikxx^ + beiφe−ikxx)eikz^ z^ , (1.7)

kx,kz na Equação (1.7) são determinados pelas condições de espalhamento de Bragg com a e b reais e φ representa a diferença de fase entre os feixes, em um dado ponto. Assim,

|Ψ|^2 = a^2 + b^2 + 2ab cos (2kxx + φ), (1.8)

e a visibildade será V = (^) a (^22) +ab b 2. (1.9)

Se escrevermos a = R cos β e b = R sin β, resulta

W = sin 2β. (1.10) Já para medir o caráter de partícula do feixe, D. Greenberger e A. Yasin [14] propõem o seguinte critério: supõe-se que todas as partículas se encontram no feixe mais intenso, e

Capítulo 1. Introdução 10

representado por |Ψ〉 = α | 1 〉 1 | 0 〉 2 + β | 0 〉 1 | 1 〉 2 , (1.13)

com (|α|^2 + |β|^2 = 1).

|n〉j representa o estado em que n fótons se originam na fonte j (n = 0, 1 ; j = 1, 2 ). O estado |Ψ〉 é, portanto, uma superposição coerente, já que o fóton pode se originar tanto na fonte 1 com probabilidade |α|^2 ou na fonte 2 com probabilidade |β|^2. Utilizando a matriz densidade, podemos escrever este estado como ρID = |α|^2 | 1 〉 1 | 0 〉 21 〈 1 | 2 〈 0 | + |β|^2 | 0 〉 1 | 1 〉 21 〈 0 | 2 〈 1 | + (αβ∗^ | 1 〉 1 | 0 〉 22 〈 1 | 1 〈 0 | + h.c.), (1.14)

onde o subescrito ID denota indistiguibilidade e h.c., o hermitiano conjugado. Quando, por sua vez, o operador densidade tem a forma diagonal ρD = |α|^2 | 1 〉 1 | 0 〉 21 〈 1 | 2 〈 0 | + |β|^2 | 0 〉 1 | 1 〉 21 〈 0 | 2 〈 1 | , (1.15)

temos uma mistura incoerente de estados. Embora |α|^2 e |β|^2 sejam as probabilidades de que o fóton tenha se originado na fonte 1 ou na fonte 2 (Figura 1.3), é possível em um experimento identicar em qual das fontes o fóton se originou. O subescrito D sinaliza esta distinguibilidade. Seja um estado ρ = ρ 11 | 1 〉 1 | 0 〉 21 〈 1 | 2 〈 0 | + ρ 22 | 0 〉 1 | 1 〉 21 〈 0 | 2 〈 1 | + (ρ 12 | 1 〉 1 | 0 〉 22 〈 1 | 1 〈 0 | + h.c.) (1.16)

É possível mostrar que existe uma decomposição de ρ em ρID e ρD, dada por

ρ = PIDρID + PDρD, (1.17)

com (PID + PD = 1). Na Equação (1.17), PID e PD são as probabilidades de as fontes serem indistinguíveis ou distinguíveis. Esta decomposição é possível porque os dois elementos independentes de ρID, juntamente com PID, são determinados pelos três elementos independentes de ρ. Utilizando as Equações (1.15), (1.16) e (1.17), teremos

ρ 11 = |α|^2

Capítulo 1. Introdução 11

Figura 1.3: Esquema do experimento. Figura retirada de [15]. ρ 22 = |β|^2

ρ 12 = PIDαβ∗, (1.18)

donde segue que αβ∗^ = (ρ 11 ρ 22 )^1 /^2 exp (i arg ρ 12 ), (1.19)

PID = (^) (ρ 11 ρρ^1222 ) 1 / 2 exp (−i arg ρ 12 ) = (^) (ρ 11 |ρρ^1222 |) 1 / 2. (1.20) PID é, portanto, um quanticador da indistinguibilidade no estado quântico geral ρ e corresponde à visibilidade dada pela Equação (1.6), uma vez que, usando o operador densidade, a intensidade pode ser escrita como [2]

I = |ρ 11 | + |ρ 22 | + 2|ρ 12 | cos(arg[ρ 12 ]), (1.21)

como será visto na Seção seguinte. Dessa forma, numa base em que a matriz densidade não seja diagonal, visibilidade e indistinguibilidade podem ser vistas como equivalentes. Isso está de acordo com o fato de que, na situação de máxima coerência -elementos não diagonais do operador densidade não-nulos e com módulo máximo-, observaremos um padrão de interferência com perfeito contraste entre as franjas e visibilidade unitária. Um operador densidade com esta característica também corresponde ao estado maximamente indistinguível, de acordo com o quanticador PID (ou visibilidade, como vimos) de indistinguibilidade dado pela Equação (1.20).