UNIVERSIDADE TECNOL ´
OGICA FEDERAL DO PARAN´
A
CAMPUS PATO BRANCO
DEPARTAMENTO DE MATEM´
ATICA
GILSON TUMELERO
MARIELI MUSIAL TUMELERO
NOTAS DE AULA:
GEOMETRIA ANAL´
ITICA E ´
ALGEBRA LINEAR.
Pato Branco - PR
2020
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Guias e Dicas
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Encontrar documentos
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Pesquisar documentos Store
Os melhores documentos à venda: Trabalhos de alunos formados
Videoaulas
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Quiz
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Comunidade
Pergunte à comunidade
Peça ajuda à comunidade e tire suas dúvidas relacionadas ao estudo
Ranking universidades
Descubra as melhores universidades em seu país de acordo com os usuários da Docsity
Guias grátis
Os eBooks que salvam estudantes!
Baixe gratuitamente nossos guias de estudo, métodos para diminuir a ansiedade, dicas de TCC preparadas pelos professores da Docsity
exercicios semanais 1, Notas de estudo de Mecânica
voce nao usara para nada so quero baixar um documento de graça aqui
Tipologia: Notas de estudo
2020
Compartilhado em 15/09/2023
usuário desconhecido 🇧🇷
2 documentos
1 / 53
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Documentos relacionados
Pré-visualização parcial do texto
Baixe exercicios semanais 1 e outras Notas de estudo em PDF para Mecânica, somente na Docsity!
UNIVERSIDADE TECNOL OGICA FEDERAL DO PARAN ´ A´
CAMPUS PATO BRANCO
DEPARTAMENTO DE MATEM ATICA´
GILSON TUMELERO
MARIELI MUSIAL TUMELERO
NOTAS DE AULA:
GEOMETRIA ANAL´ITICA E ´ALGEBRA LINEAR.
Pato Branco - PR 2020
Aos nossos filhos: Gustavo e Manuela.
- 1 Introdu¸c˜ao
- 2 Matrizes, Sistemas e Determinantes
- 2.1 Matrizes
- 2.2 Tipos Especiais de Matrizes
- 2.3 Opera¸c˜oes com Matrizes
- 2.3.1 Algebra das matrizes .´
- 2.4 Determinantes
- 2.4.1 Propriedade dos Determinates
- 2.5 Matriz Inversa
- 2.5.1 M´etodo para se obter a Matriz Inversa
- 2.6 Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares
- 2.7 Sistemas e Matrizes
- 2.7.1 M´etodo de resolu¸c˜ao
- 3 Vetores Conte´udo
- 3.1 Vetores
- 3.2 Casos particulares de vetores no plano
- 3.3 Opera¸c˜oes com vetores (Geometricamente)
- 3.3.1 Soma
- 3.3.2 Multiplica¸c˜ao por escalar
- 3.4 Angulo entre dois vetores .ˆ
- 3.5 Vetores em R^2 , R^3 e Rn (n ≥ 3)
- 3.6 Igualdade e Opera¸c˜oes de Vetores (Forma Alg´ebrica)
- 3.6.1 Propriedades das Opera¸c˜oes com Vetores
- 3.7 Vetor Determinado por Dois Pontos
- 3.8 Ponto m´edio
- 3.9 Paralelismo Entre Vetores
- 3.10 M´odulo de um Vetor
- 3.11 Produto Escalar
- 3.11.1 Interpreta¸c˜ao geometrica
- 3.12 Angulos e Cossenos Diretoresˆ
- 3.13 Proje¸c˜ao de um vetor sobre outro
- 3.14 Produto vetorial
- 3.14.1 Caracter´ısticas de ~u × ~v
Conte´udo
3.14.2 Interpreta¸c˜ao Geometrica....................... 44
3.14.3 Propriedades do Produto Vetorial................... 45
3.15 Produto Misto.................................. 46
3.15.1 Propriedades.............................. 46
3.15.2 Interpreta¸c˜ao geometrica........................ 46
- v -
2 1 Introdu¸c˜ao
de fixa¸c˜ao e manipula¸c˜ao dos conceitos estudados.
Cap´ıtulo 2
Matrizes, Sistemas e Determinantes
2.1 Matrizes
Vamos relembrar alguns conceitos j´a conhecidas por n´os em cursos anteriores a este. Este conte´udo est´a baseado nos livros Algebra linear´ dos autores Boldrini/Costa Figueiredo Wetzler 3ª edi¸c˜ao e Fundamentos de Matem´atica Elementar volume 4, 2ª edi¸c˜ao, dos autores Gelson Iezi e Samuel Hazzan. Para maiores detalhes, aconselhamos a leitura destas obras.
Neste material faremos a exposi¸c˜ao dos conte´udos de forma sucinta.
- Matriz: Podemos entender uma matriz como uma tabela cujos elementos ou entra- das est˜ao dispostos em linhas e colunas.
- Forma Geral e Nota¸c˜ao: Usamos Am×n, (aij )m×n ou [aij ]m×n para indicar uma matriz com m linhas e n colunas e cujas entradas s˜ao elementos quaisquer. O elemento aij indica que ele est´a na linha i e na coluna j. Naturalmente, devemos ter que 1 6 i 6 m e 1 6 j 6 n.
- Ordem de uma matriz: Chamamos ordem de uma matriz o n´umero de linhas e colunas da mesma. Por exemplo, usamos a nota¸c˜ao Am×n(R) para indicar uma matriz de ordem m × n (m linhas e n colunas) cujos elementos s˜ao n´umeros reais.
Exemplo 2.1 Determine a matriz A = (aij ) 2 × 3 onde aij = i + j.
Solu¸c˜ao: O exemplo pede que encontremos uma matriz de ordem 2 × 3, isto ´e, com duas linhas e 3 colunas. Com isto devemos entender que 1 6 i 6 2 e 1 6 j 6 3. Assim vamos
2.2 Tipos Especiais de Matrizes 5
que as diferenciam de uma matriz qualquer. Al´em disso, estes tipos de matrizes aparecem frequentemente na pr´atica e, por isso, recebem nomes especiais.
Consideremos uma matriz Am×n = (aij )m×n:
Defini¸c˜ao 2.2.1 Matriz Quadrada ´e aquela cujo n´umero de linhas ´e igual ao n´umero de colunas (m = n). Assim dizemos que a matriz Am×m tem ordem m.
Exemplo 2.
A =
, B = [− 3 ]^.
Defini¸c˜ao 2.2.2 Matriz Nula ´e aquela em que aij = 0, para todo i e j.
Exemplo 2.
A 3 × 3 =
, B 2 × 4 =
[
]
Defini¸c˜ao 2.2.3 Matriz Coluna ´e aquela que possui uma ´unica coluna (n = 1).
Exemplo 2.
A 3 × 1 =
, B 2 × 1 =
[
x y
]
Analogamente temos
Defini¸c˜ao 2.2.4 Matriz Linha ´e aquela que possui uma ´unica linha (m = 1).
Exemplo 2. A 1 × 4 =
[
]
, B 1 × 2 =
[
x y
]
Defini¸c˜ao 2.2.5 Diagonal de uma matriz ´e o conjunto dos elementos aij com i = j.
6 2 Matrizes, Sistemas e Determinantes
Exemplo 2.
A 3 × 4 =
ent˜ao a diagonal desta matriz ´e { 3 , 2 , − 1 }.
Defini¸c˜ao 2.2.6 Matriz Diagonal ´e uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0, para i 6 = j, isto ´e, os elementos que n˜ao est˜ao na “Diagonal” s˜ao nulos.
Exemplo 2.
A 3 × 3 =
Um exemplo importante de matriz diagonal vem a seguir
Defini¸c˜ao 2.2.7 Matriz Identidade Diagonal ´e aquela em que aii = 1 e aij = 0, para i 6 = j.
Exemplo 2.
I 3 =
Defini¸c˜ao 2.2.8 Matriz Triangular Superior ´e uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal s˜ao nulos, isto ´e, m = n e aij = 0, para i > j.
Exemplo 2.
A 3 =
, B 2 =
[
a b 0 c
]
Analogamente,
Defini¸c˜ao 2.2.9 Matriz Triangular Inferior ´e uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal s˜ao nulos, isto ´e, m = n e aij = 0, para i < j.
8 2 Matrizes, Sistemas e Determinantes
Solu¸c˜ao: Usando as defini¸c˜oes acima, temos
2 A + 3
7 B = 2
[
]
[√
]
[
]
[ √ 6
√ (^37) 4
]
[
√ (^37) 4
]
Observa¸c˜ao 2.3.3 No caso da constante c = − 1 , ent˜ao − 1 .A = −A. Chamamos −A de matriz oposta de A.
Desta forma, podemos definir a diferen¸ca de matrizes
A − B = A + (−1)B.
Conisderando Am×n e Bm×n, pergunta: A − B = B − A? Justifique.
Defini¸c˜ao 2.3.4 Mm×n(R) ´e o conjunto de todas as matrizes de ordem m×n com entradas reais.
Defini¸c˜ao 2.3.5 Multiplica¸c˜ao de Matrizes: Sejam A = (aij ) ∈ Mm×n(R) e B = (bij ) ∈ Mn×r(R). Ent˜ao o produto C = AB = (cij ) ∈ Mm×r(R), onde
cij =
∑^ n
k=
aikbkj = ai 1 b 1 j + ai 2 b 2 j + · · · + ainbnj.
Observa¸c˜ao 2.3.6 Em outras palavras: s´o podemos efetuar o produto de duas matrizes AB, se o n´umero de colunas de A for igual ao n´umero de linhas da matriz B. Al´em disso, a matriz resultante tem ordem igual ao n´umero de linhas de A e o n´umero de colunas de B.
Exemplo 2.14 Consideremos as matrizes A =
2
e B =
1 (^53) 4 − 3
. E poss´´ ıvel
efetuar a multiplica¸c˜ao AB? E BA? Justifique sua resposta. Em caso de ser poss´ıvel efetue a multiplica¸c˜ao.
2.3 Opera¸c˜oes com Matrizes 9
Solu¸c˜ao: Vamos verificar a condi¸c˜ao para o produto de matrizes:
- A 2 × 3 B 3 × 1 ´e poss´ıvel pois o n´umero de colunas da matriz A ´e igual ao n´umero de linhas da matriz B e o resultado ser´a uma matriz de ordem 2 × 1. Vamos calcular esse produto:
AB =
2
1 (^53) 4 − 3
1 5 +^
3.^34 − 1(−3)
0.^15 + 43.^34 + 2(−3)
1 10 +^
3 √ 3 4 + 3 1 − 6
2+15√3+ 20 − 5
Ou seja
AB =
62+15√ 3 20 − 5
- Agora B 3 × 1 A 2 × 3 n˜ao ´e poss´ıvel, pois o n´umero de colunas da matriz B ´e diferente do n´umero de linhas da matriz A.
Observa¸c˜ao 2.3.7 Em geral, AB 6 = BA (o produto n˜ao ´e comutativo).
Como consequˆencia do produto de matrizes, podemos definir potˆencias de uma matriz. Assim, dada A ∈ Mn(R), definimos An^ = An−^1 A, para qualquer n´umero natural n 6 = 0.
Convencionamos que A^0 = In, A^1 = A.
Exemplo 2.15 Seja A =
. Calcule A^2.
Solu¸c˜ao:
A^2 =
Exemplo 2.16 Seja B =
. Calcule B^2.
Solu¸c˜ao: Deixaremos os c´alculos para o leitor, mas teremos que
B^2 =
2.4 Determinantes 11
a) A + B = B + A (Comutatividade de soma);
b) (A + B) + C = A + (B + C) (Associatividade da soma);
c) A + 0 = A (Existˆencia do elemento neutro para a soma);
d) A + (−A) = 0 (Existˆencia do oposto aditivo);
e) d(A + B) = dA + dB (Ditributividade);
f ) (c + d)A = cA + dA (Distributividade);
g) c(dA) = (cd)A;
h) 1 A = A.
Estas propriedades ser˜ao de grande utilidade mais a frente no nosso curso para caracterizar o espa¸co das matrizes com estas opera¸c˜oes como um espa¸co vetorial.
Tamb´em vale ressaltar que n˜ao faremos a demonstra¸c˜ao das propriedades aqui, mas que as mesmas s˜ao consequˆencias das propriedades de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao de n´umeros reais e das defini¸c˜oes de adi¸c˜ao de matrizes e multiplica¸c˜ao por escalar.
Lista de Exerc´ıcios 2.1 Livro: Fundamentos de Matem´atica Elementar volume 4, 2 ª edi¸c˜ao, dos autores Gelson Iezi e Samuel Hazzan. P´aginas: 41-D a 43-D , Exerc´ıcios: D-141 a D-149; 44-D, Exerc´ıcios: D-150 a D-153; 46-D, Exerc´ıcios: D-155 a D-161; 53-D, Exerc´ıcios: D-162 a D-165 e D-168 a D-170;
2.4 Determinantes
Determinante ser´a um n´umero associado a uma matriz quadrada. (Neste caso trabalharemos com matrizes quadradas Mn(R)). Por´em as regras para c´alculo de deter- minates, poder˜ao ser usadas por exemplo quando as entradas de uma matriz quadrada forem fun¸c˜oes. Isto ser´a ´util por exemplo em E.D.O. onde precisamos decidir se um determinado conjunto ´e L.I. ou L.D. usando o chamado wronskiano.
12 2 Matrizes, Sistemas e Determinantes
Nota¸c˜ao: O determinante de uma matriz A ser´a indicado por det(A) ou |A|.
A seguir, ilustraremos algumas formas de encontrar o determinante de matriz.
- Se A = (a) ∈ M 1 (R) ,ent˜ao det A = a.
Exemplo 2.18 Calcule o determinante da matriz A = (−3).
Solu¸c˜ao: Pela defini¸c˜ao, temos que
det(A) = | − 3 | = − 3.
- Se A ∈ M 2 (R), isto ´e, A =
a 11 a 12 a 21 a 22
ent˜ao
det A =
∣∣a^11 a^12 a 21 a 22
∣∣ = a 11 a 22 − a 12 a 21.
Em outras palavras, produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secund´aria.
Exemplo 2.19 Calcule o determinante da matriz A =
[
]
Solu¸c˜ao: Pela defini¸c˜ao, temos que
det(A) =
∣∣^1
- Se A ∈ M 3 (R), usamos a regra de Sarrus. Aten¸c˜ao! Esta regra s´o vale para matrizes 3 × 3.
14 2 Matrizes, Sistemas e Determinantes
Exemplos: Calcule o determinante das seguintes matrizes:
Exemplo 2.21 A =
Solu¸c˜ao: Fazendo o desenvolvimento de Laplace pela terceira coluna, temos
∣∣ ∣∣ ∣∣
∣∣ =^ (−1)
= 0 − 1(−1)[45 − 8] + 8.[5 + 6]
Exemplo 2.22 A =
Solu¸c˜ao: Fazendo o desenvolvimento de Laplace pela primeira coluna, temos
2.4.1 Propriedade dos Determinates
Sejam A, B, C ∈ Mn(R) e c ∈ R.
2.5 Matriz Inversa 15
a) Se A tem uma linha ou coluna nula, ent˜ao det(A) = 0;
b) Se B ´e obtida de A pela troca de duas linhas ou colunas ent˜ao det(B) = −det(A);
c) Se A tem duas linhas (colunas idˆenticas) ent˜ao det(A) = 0;
d) Se B ´e obtida da multiplica¸c˜ao de uma linha (coluna) de uma matriz A por c ent˜ao det(B) = cdet(A);
e) Se A, B e C s˜ao idˆenticas a menos pelo fato de que a i-´esima linha (coluna) de C ´e a soma da i-´esima linhas (colunas) de A e B, ent˜ao detC = det(A) + det(B);
f) Se B difere de A por ter uma linha (coluna) que ´e a soma de um m´ultiplo de uma linha (coluna) com outra linha (coluna) de A, ent˜ao det(A) = det(B);
g) det(cA) = cndet(A);
h) det(AB) = det(A)det(B);
i) det(A) = det(AT^ ).
Lista de Exerc´ıcios 2.2 Livro: Fundamentos de Matem´atica Elementar volume 4, 2 ª edi¸c˜ao, dos autores Gelson Iezi e Samuel Hazzan. P´aginas: 76-D, Exerc´ıcios: D-200 a D-202; 84-D, Exerc´ıcios: D-203, D-205 e D-207; 100-D, Exerc´ıcios: D-236, D-237 e D-239.
2.5 Matriz Inversa
Defini¸c˜ao 2.5.1 Considere a matriz A ∈ Mn(R). A matriz inversa de A ´e uma matriz de ordem n, denotada por A−^1 , tal que
AA−^1 = In = A−^1 A.
Se existe A−^1 , a matriz A ´e dita invert´ıvel e sua inversa ´e ´unica.
A seguir um resultado bastante ´util para determinar se uma matriz ´e invers´ıvel ou n˜ao.