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Neste documento, aprenda a aplicar teoremas da probabilidade em diferentes problemas. Saiba como calcular probabilidades condicionais e aplicá-las a situações comuns. Este material é composto por um conjunto de exercícios resolvidos, com explicações passo a passo.
Tipologia: Notas de estudo
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Aqui você tem mais uma oportunidade de estudar os teoremas da probabilidade, por meio de um conjunto de exercícios resolvidos. Observe como as propriedades da probabilidade se aplicam aos problemas apresentados.
Em uma empresa há 10 homens e 25 mulheres. Entre os homens, 5 são formados em Direito e, entre as mulheres, 7 são formadas também em Direito. Os demais são formados em Administração. Ao sortear uma pessoa desse grupo:
a) qual é a probabilidade de ser um homem formado em Administração?
b) sabendo-se que a pessoa sorteada é formada em Administração, qual é a probabilidade de ser homem?
c) sabendo-se que é um homem, qual é a probabilidade de ser formado em Administração?
d) sabendo-se que a pessoa sorteada é formada em Direito, qual é a probabilidade de ser uma mulher?
e) sabendo-se que a pessoa sorteada é uma mulher, qual é a probabilidade de ser formada em Direito?
c) Para calcular a probabilidade de a pessoa ser formada em Administração, sabendo-se que o sorteado foi um homem, aplicamos a Probabilidade Condicionada.
d) O cálculo utilizado é da Probabilidade Condicionada:
e) Mais uma vez, trata-se da Probabilidade Condicionada:
É preciso formar uma comissão e para sua constituição há disponíveis 2 professores e 4 assistentes. São escolhidas ao acaso 3 pessoas. Qual é a probabilidade de que sejam escolhidos para esta comissão 1 professor e 2 assistentes?
Um casal vai mergulhar em busca de pérolas no oceano. Sabemos que em razão das habilidades e do condicionamento físico deles, o rapaz tem 3/7 de chance de encontrar alguma pérola e a moça, 2/ de chance. Sabemos que a chance de os dois encontrarem pérolas é de 1/7. Sabendo-se que o rapaz encontrou uma pérola:
a) Qual é a chance de a moça NÃO ter achado pérola alguma antes e depois de saber que seu esposo encontrou uma delas?
b) Qual é a chance de a moça encontrar uma pérola depois de saber que o rapaz conseguiu uma pérola?
c) Decida se o evento de não encontro de pérola do rapaz é mutuamente excludente ao evento do não encontro de pérola da moça.
d) Sem ter a informação do achado do rapaz, qual é a chance de somente um deles encontrar alguma pérola?
Enunciado
Um casal vai mergulhar em busca de pérolas no oceano. Sabemos que em razão das habilidades e do condicionamento físico deles, o rapaz tem 3/7 de chance de encontrar alguma pérola e a moça, 2/ de chance. Sabemos que a chance de os dois encontrarem pérolas é de 1/7. Sabendo-se que o rapaz encontrou uma pérola:
a) Qual é a chance de a moça NÃO ter achado pérola alguma antes e depois de saber que seu esposo encontrou uma delas?
b) Qual é a chance de a moça encontrar uma pérola depois de saber que o rapaz conseguiu uma pérola?
c) Decida se o evento de não encontro de pérola do rapaz é mutuamente excludente ao evento do não encontro de pérola da moça.
d) Sem ter a informação do achado do rapaz, qual é a chance de somente um deles encontrar alguma pérola?
Solução
Sejam os eventos:
HA = rapaz encontra pérola
HS = rapaz não encontra pérola
MA = moça encontra pérola
MS = moça não encontra pérola
Sabemos que P(HA) = 3/7, P(MA) = 2/7 e P(HA ∩ MA) = 1/7.
Vamos verificar cada uma das alternativas.
a) Uma informação adicional pode alterar a probabilidade de ocorrência de um evento. Sem a informação sobre o sucesso do rapaz, a chance de insucesso da moça é calculada pelo evento complementar.
Após a informação, calculamos também pelo evento complementar, atentando para o espaço amostral considerado (que inclui apenas os eventos em que o rapaz encontra uma pérola):
A probabilidade P(MA|HA) é calculada pela expressão da Probabilidade Condicionada:
E, como a probabilidade de ocorrência de intersecção é não nula, os eventos não são mutuamente excludentes.
d) Sem ter a informação do achado do rapaz, a chance de somente um dos dois encontrar uma pérola é calculada pela Regra da Soma para a ocorrência de algum dos eventos “HS e MA” e “HA e MS”, que são mutuamente excludentes.
P(MA|HS) nada mais é que a probabilidade de o evento complementar a “MS|HS”, cuja probabilidade foi calculada no item anterior.
P(MS|HA) também foi calculada anteriormente e vale 2/3. Portanto, substituindo na Regra da Soma:
Considere três caixas, cada uma delas com dois compartimentos. Na caixa 1 há uma nota de R$ 50 em cada compartimento. Na caixa 2 há uma nota de R$ 10 em cada compartimento. Na caixa 3 há uma nota de R$ 50 em um compartimento e uma nota de R$ 10 em outro. Escolhendo uma caixa ao acaso, abrimos um compartimento. Se a nota é de R$ 50, qual é a probabilidade de que no outro compartimento também haja uma nota de R$ 50?
Em uma caixa existem 3 envelopes brancos e 2 envelopes pardos. Eles são extraídos da caixa sem reposição. Calcule:
a) a chance de que saiam três envelopes brancos sucessivos.
b) a chance de que saiam 2 pardos sucessivamente
c) a chance de que saiam ou 2 pardos sucessivos ou 3 brancos sucessivos.
d) a chance de que os envelopes sejam sorteados em tipos intercalados.
Enunciado
Em uma caixa existem 3 envelopes brancos e 2 envelopes pardos. Eles são extraídos da caixa sem reposição. Calcule:
a) a chance de que saiam três envelopes brancos sucessivos.
b) a chance de que saiam 2 pardos sucessivamente
c) a chance de que saiam ou 2 pardos sucessivos ou 3 brancos sucessivos.
d) a chance de que os envelopes sejam sorteados em tipos intercalados.
Solução
Considere os eventos:
A = saírem 3 brancos sucessivos
B = saírem 2 pardos sucessivos
E = saírem intercalados
Vamos testar as alternativas uma a uma:
a) A chance de que saiam 3 brancos sucessivos é de 0,3.
Antes de calcular as probabilidades das retiradas, devemos verificar quantas são as permutações possíveis. Neste caso são 3. Observe:
Agora sim, vamos aplicar a Regra do Produto, multiplicando as probabilidades por 3.
b) A chance de que saiam 2 pardos sucessivamente é 0,4.
A resolução é análoga à do item anterior.
Aplicando a Regra do Produto:
Considere dois eventos A e B. Sabendo que P(A) = 0,4 e P(A U B) = 0,7. Seja P(B) = p. A partir disso, calcule os valores de p para que os eventos A e B sejam:
a) Mutuamente excludentes
b) Independentes
Enunciado
Considere dois eventos A e B. Sabendo que P(A) = 0,4 e P(A U B) = 0,7. Seja P(B) = p. A partir disso, calcule os valores de p para que os eventos A e B sejam:
a) Mutuamente excludentes
b) Independentes
Solução
Eventos mutuamente excludentes são aqueles cuja intersecção é nula. Nesse caso, conforme o axioma visto na primeira aula, a probabilidade de ocorrência da união dos eventos é calculada diretamente pela soma de cada uma das probabilidades.
Eventos independentes são aqueles tais que a ocorrência de um deles não altera a probabilidade de ocorrência do outro. Ou seja:
Neste caso, a probabilidade da intersecção é calculada pelo produto das probabilidades de cada um dos eventos elementares. Dessa forma, aplicando a Regra da Soma teremos:
Enunciado
Considere o circuito elétrico ilustrado a seguir. É preciso que passe um pulso entre os pontos A e B. Como a estrutura onde ele está instalado é muito precária, cada chave ilustrada do circuito tem probabilidade igual a ½ de estar fechada. Além disso, cada chave tem funcionamento completamente independente das demais. Qual é a chance de sucesso do pulso?
Solução
Vamos analisar em que condições o pulso não será transmitido entre os terminais.
Não haverá transmissão se:
− Chave 1 aberta OU chave 2 aberta:
− Chaves 4 e 5 abertas OU chave 3 aberta:
Então, a chance de não passar o pulso é de:
E a chance de passar o pulso será dada pelo evento complementar:
Este exercício é conhecido como “jogo das 3 portas” e consiste em 3 portas das quais apenas uma delas esconde um prêmio. O participante escolhe uma delas na qual ele acredita estar o prêmio. Uma vez escolhida a porta, o apresentador, que sabe onde está o prêmio, abre uma porta sem prêmio que não tenha sido escolhida pelo participante. Restam assim a porta escolhida pelo participante e a outra fechada. Por fim o apresentador pergunta se o participante quer trocar de porta ou continuar com a primeira escolhida. Se você estivesse participando do jogo e o apresentador te desse a opção de trocar de porta, o que você faria?
