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Exercícios Resolvidos em
Introdução à Bioestatística
Edna Afonso Reis
Ilka Afonso Reis
Relatório Técnico – RTE-03/2000
Sexta Edição – outubro/2012
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Exercícios Resolvidos em Introdução à Bioestatística, Notas de estudo de Bioestatística
c) Qual a probabilidade de que no máximo 4 colônias sejam achadas em uma amostra de 30 ml de água desse lago? Page 22. Edna A. Reis e Ilka A. Reis - ...
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Introdução à Bioestatística
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Relatório Técnico – RTE-03/
Sexta Edição – outubro/
Índice Geral
Primeira Parte - Enunciado dos Exercícios 5
Segunda Parte - Solução dos Exercícios 39
Referências Bibliográficas 93
Agradecimento
Gostaríamos de agradecer ao Prof. Aloísio J. F. Ribeiro, do Departamento de
Estatística da UFMG, pela revisão cuidadosa da primeira edição deste trabalho e
pelas valiosas contribuições, principalmente na complementação da solução dos
exercícios da seção 11.
Índice da Primeira Parte - Enunciado dos Exercícios
Observação : Os exercícios marcados com asterisco (*) foram adaptados da apostila
- Seção 1: Tipos de Estudos e Variáveis
- Seção 2.1: Análise Descritiva e Exploratória de Dados (Tabelas e Gráficos)
- Seção 2.2: Análise Descritiva e Exploratória de Dados (Síntese Numérica)
- Seção 2.3: Análise Descritiva e Exploratória de Dados (Associação entre Variáveis)
- Seção 3: Probabilidade
- Seção 4: Avaliação da Qualidade de Testes Clínicos
- Seção 5: Distribuições de Probabilidade: Binomial e Poisson
- Seção 6: Distribuições de Probabilidade: Normal
- Seção 7: Intervalos de Confiança
- Seção 8: Conceitos Básicos de Testes de Hipóteses
- Seção 9: Testes de Hipóteses para uma População
- Seção 10: Testes de Hipóteses para Duas Populações
- Seção 11: Teste Qui-Quadrado
- Resumo: seções 7 a
- Tabelas
Seção 1: Tipos de Estudos e Variáveis
1.1) Classifique as seguintes variáveis em : Quantitativas (Discretas ou Contínuas) ou Qualitativas (Nominais ou Ordinais).
a) A cor da pele de pessoas (ex.: branca, negra, amarela).
Variável do tipo _______________________ e _______________________
b) O número de consultas médicas feitas por ano por um associado de certo plano de saúde.
Variável do tipo _______________________ e _______________________
c) O teor de gordura, medido em gramas por 24 horas, nas fezes de crianças de 1 a 3 anos de idade.
Variável do tipo _______________________ e _______________________
d) O tipo de droga que os participantes de certo estudo tomaram, registrados como: Droga A, Droga B e placebo.
Variável do tipo _______________________ e _______________________
e) A pressão intra-ocular, medida em mmHg, em pessoas.
Variável do tipo _______________________ e _______________________
f) O número de filhos das pacientes participantes de certo estudo.
Variável do tipo _______________________ e _______________________
1.2) Classifique os seguintes estudos como observacionais ou experimentais. Identifique os grupos de comparação
a) Viagra para os diabéticos (Revista Istoé n o 1535 de 03/03/1999) A famosa pílula azul pode também ser eficaz para diabéticos que têm a função erétil comprometida. Estudos preliminares haviam descartado a eficiência do Viagra nesses casos. Mas uma pesquisa realizada com 268 homens pela Universidade de Creighton, nos Estados Unidos, mostrou que 56% dos pacientes que tomaram Viagra tiveram melhora contra 10% dos que ingeriram placebo (pílula inócua). Mas em hipótese nenhuma se recomenda o uso do medicamento sem orientação médica.
Estudo do tipo _________________________________
Grupos de Comparação _______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________
Grupos de Comparação _______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________
f) Efeito protetor da vacina BCG em crianças (Boletim OPAS 1986) Para avaliar o efeito protetor da vacina BCG em crianças com menos de 15 anos de idade, na cidade de Buenos Aires (Argentina), estudaram-se as crianças que receberam algum tratamento antituberculose durante o ano de 1981, tanto internados em hospitais ou tratados na forma ambulatorial. Para cada uma destas crianças, encontrou-se outra criança de mesma idade, sexo, condição sócio-econômica e que tinha tido alguma doença aguda, diferente da tuberculose, no mesmo período e que havia sido tratada no mesmo estabelecimento. Em ambos os grupos, considerou-se como vacinados os que tinham a cicatriz correspondente à vacina BCG em uma ou ambas regiões deltoidianas.
Estudo do tipo _________________________________
Grupos de Comparação _______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________
g) Torcida bastante eficaz (Revista Istoé nº 1581 de 19/01/2000) O sabor de vitória tem um efeito químico muito mais benéfico para a alma do que se acreditava. A conclusão é de uma equipe de pesquisadores americanos. Eles mediram o nível de testosterona (hormônio masculino) em torcedores de futebol e basquete e constataram um aumento de 20% do hormônio quando seus times vencem (quando os times perdem há uma queda de 20%). Como o hormônio regula o humor, a sensação de bem-estar e o interesse sexual, uma dose extra de testosterona vai bem.
Estudo do tipo _________________________________
Grupos de Comparação _______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________
h) Animais contra alergia (Revista Istoé nº 1569 de 27/10/1999) Brincar na fazenda, onde vivem animais como vacas, galinhas e outros bichos, diminui as chances de a criança desenvolver alergias. A constatação é de pesquisadores austríacos, que estudaram 2. crianças. Aquelas que tinham contato com animais eram três vezes menos sensíveis a problemas alérgicos e respiratórios, como a asma, do que as que vivem na zona urbana. A hipótese é a de que o contato precoce com os animais aumente a tolerância das células de defesa do organismo a bactérias e ácaros.
Estudo do tipo _________________________________
Grupos de Comparação _______________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Seção 2.1: Análise Descritiva e Exploratória de Dados
(Tabelas e Gráficos)
2.1.1) As Tabelas 2.1 e 2.2 mostram a Distribuição de Freqüências da idade dos alunos do curso de inglês, 150 estudantes da escola A e 200 estudantes da escola B, respectivamente.
Complete as tabelas, faça um histograma e uma ogiva para cada uma e compare os estudantes das duas escolas quanto à variável “idade dos alunos do curso de inglês”.
Tabela 2.1: Idade dos alunos do curso de inglês para 150 estudantes da escola A Idade Ponto Médio da classe
Freqüência Absoluta
Freqüência Relativa (%)
Freqüência Absoluta Acumulada
Freqüência Relativa Acumulada (%) 10 |- 15 5 15 |- 20 57 20 |- 25 42 25 |- 30 28 30 |- 35 17 35 |- 40 1 Total 150
Tabela 2.2: Idade dos alunos do curso de inglês para 200 estudantes da escola B Idade Ponto Médio da classe
Freqüência Absoluta
Freqüência Relativa (%)
Freqüência Absoluta Acumulada
Freqüência Relativa Acumulada (%) 10 |- 15 4 15 |- 20 18 20 |- 25 43 25 |- 30 76 30 |- 35 43 35 |- 40 16 Total 200
Obs: lembre-se de que a ogiva deve ser feita com o limite superior de cada classe no eixo X.
2.1.2) Num estudo sobre a associação entre tromboembolismo e tipo sangüíneo, participaram 200 usuárias de contraceptivo oral. Dessas mulheres, 55 tinham tromboembolismo. Quanto ao grupo sanguíneo, o tipo A foi o mais numeroso, com 83 mulheres, seguido dos grupos O e B, com 79 e 27 mulheres, respectivamente. Das pacientes sadias, 70 eram do grupo O, 51 do grupo A e 19 do grupo B. a) A partir dessas informações, preencha a Tabela 2.3 abaixo (Dica: comece encontrando os totais de linha e coluna) b) Utilizando a tabela preenchida no item a), compare os dois grupos de mulheres (sadias e doentes) de forma gráfica e/ou numérica.
b) Construa um ramo-e-folhas para cada sexo usando 10 meses como escala e outro usando 5 meses.
Exemplo:
Escala de 10 meses
0 | 1 | 2 |
Escala de 5 meses
0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 |
Seção 2.2: Análise Descritiva e Exploratória de Dados
(Síntese Numérica e Boxplot )
2.2.1) Com os dados apresentados no exercício 2.1.4 (Parte 1) :
Calcule a média, o desvio padrão, a mediana e o coeficiente de variação do tempo entre a cura e a recidiva da doença para cada sexo. Comente essas estatísticas descritivas, comparando os grupos.
*2.2.2) Utilizando a ogiva apresentada a seguir (Figura 2.2), estime a mediana, o primeiro e o terceiro quartis e o percentil de ordem 95. Interprete estes valores. Figura 2.
10
20
30
40
50
60
70
80
*2.2.3) Em um quartel do exército, a média do nível de colesterol de um grupo de jovens recrutas é 205 mg/dl e o desvio padrão é 22 mg/dl. Para um grupo de oficiais, entretanto, a média obtida foi 244 mg/dl e o desvio padrão 45 mg/dl.
a) Compare os dois grupos quanto à homogeneidade da variável nível de colesterol.
b) Um militar foi transferido para este quartel e teve o seu nível de colesterol avaliado, resultando em 224,5 mg/dl. Considerando seu nível de colesterol, de qual dos dois grupos (oficiais ou recrutas) esse novo membro mais se aproxima?
Considere as alturas dos cascos de uma amostra de 48 tartarugas pintadas (24 machos e 24 fêmeas).**
Machos^35 35 35 37 37 38 38 39 39 40 40 40 41 41 41 42 43 44 45 45 45 46 47 Fêmeas
a) Complete a tabela de estatísticas descritivas para a variável “altura de casco”, segundo o sexo da tartaruga.
Grupo Média Desvio padrão
C. V. Mediana Primeiro Quartil
Terceiro Quartil
Percentil 10
Macho 40,54 3, Fêmea 52,04 8,
b) Construa um box-plot para as medidas de “altura de casco” de cada grupo (Utilize a mesma escala nos dois gráficos para que eles sejam comparáveis). c) Usando os resultados do item (a) e os box-plots em (b), compare os dois grupos de tartaruga pintada quanto a variável “altura do casco”.
Exemplo de uso de percentis: Faixa de Referência
Uma Faixa de Referência é um intervalo de valores de determinada característica que contém uma certa porcentagem de indivíduos da população sadia. Por exemplo, uma faixa de referência de 90% para a taxa de glicose no sangue de homens adultos vai de 80 a 100 mg/dl. Isto quer dizer que 90% dos homens adultos sadios possuem taxa de glicose entre 80 e 100 mg/dl.
Uma das maneiras de construir uma faixa de referência é usar percentis como os limites inferior e superior da faixa. A abordagem mais comum é construir uma faixa de referência simétrica , de modo que a proporção de indivíduos abaixo do limite inferior seja igual à proporção de indivíduos acima do limite superior da faixa. Assim, se desejamos uma faixa de referência de 90%, então 10% dos indivíduos sadios ficarão de fora da faixa. Destes, 5% terão valores inferiores ao limite inferior e 5% terão valores acima do limite superior.
Isto nos remete à idéia de percentil. O limite inferior da faixa deve ser o valor que deixa 5% abaixo dele, ou seja, o percentll de ordem 5. Do mesmo modo, o limite superior da faixa deve ser o valor que deixa 5% acima dele, ou seja, 95% abaixo dele, isto é, o percentil de ordem 95.
De modo geral, se desejarmos uma Faixa de Referência de (100-α)%, onde α é a porcentagem de indivíduos que ficarão do lado de fora da faixa, então os limites inferior e superior da faixa serão dados, respectivamente, pelos percentis de ordem α/2 e de ordem (100-α/2).
Faixa de Referência de (100-α)% = [Pα/2 ; P (100-α/2) ]
Este é o chamado Método dos Percentis para o cálculo de uma Faixa de Referência.
Exemplo: Faixa de Referência de 95% = [P2.5 ; P 97.5 ], pois α = 5, α/2 = 2.5 e 100-α/2=97.
Faixa de Referência de 99% = [P0.5 ; P 99.5 ], pois α = 1, α/2 = 0.5 e 100-α/2=99.
Seção 2.3: Análise Descritiva e Exploratória de Dados
(Associação entre Variáveis)
*2.3.1) Como resultado de um programa de fortificação isométrica desenvolvido em 10 semanas, alunos da oitava série foram avaliados em duas ocasiões, antes e após o programa, quanto a sua habilidade em executar abdominais em dois minutos. Os dados são apresentados a tabela a seguir. Quanto maior o escore, maior é a habilidade do aluno em executar abdominais de dois minutos.
Analise graficamente a efetividade ou não do programa isométrico no aumento da habilidade em executar abdominais nestes alunos. (Use o gráfico de dispersão Antes versus Depois [gráfico XY] e desenhe a reta x=y).
Tabela 2. No do aluno
Escores de abdominais
Antes Depois 1 12 15 2 10 9 3 23 25 4 25 25 5 29 31 6 32 30 7 14 16 8 17 20 9 19 22 10 20 22
2.3.2) A tabela a seguir apresenta a resposta de pacientes que tomaram vacina ou placebo para o tratamento de gripe.
Tabela 2.5: Distribuição da Resposta ao Tratamento de Gripe segundo Grupo de Tratamento
Resposta Placebo Vacina Total Baixa 25 6 31 Moderada 8 18 26 Alta 5 11 16 Total 38 35 73
a) Calcule as percentagens por linha e por coluna.
b) Analisando as percentagens por coluna, você acredita que haja associação entre a intensidade da resposta e o grupo do paciente (vacina ou placebo)?
2.3.3)Quat Quatorze estudantes do segundo ano do curso de Nutrição aferiram a pressão sanguínea do me paciente. Os resultados estão listados a seguir.
Sistólica 138 130 135 140 120 125 120 130 130 144 143 140 130 150
Diastólica 82 91 100 100 80 90 80 80 80 98 105 85 70 100
a) Faça o diagrama de dispersão e analise a relação entre as duas medidas.
b) A correlação entre os valores de pressão sistólica e diastólica é nula, positiva ou negativa? Calcule o coeficiente de correlação de Pearson e comente.
Seção 3: Probabilidade
3.1) Considere um baralho com 52 cartas numeradas, 13 para cada um dos naipes (ouros, copas, espada e paus). Seja o experimento de retirar uma carta aleatoriamente, observando seu naipe, número e/ou cor (vermelha ou preta). Sejam os seguintes eventos: A = [a carta retirada é um ás]; V = [a carta retirada é vermelha] e E = [a carta retirada é de espada]. Calcule:
a) P(A), P(V) e P(E).
b) P(A ∩ V), P(A ∩ E) e P(V ∩ E).
c) P(A ∪ V), P(A ∪ E) e P(V ∪ E).
d) P(A|V). Os eventos A e V são independentes?
e) P(V|E). Os eventos V e E são independentes?
f) Suponha que você retire do baralho, aleatoriamente, duas cartas do seguinte modo: retira uma, observa seu naipe, número e cor, e a coloca de volta. Em seguida, retira a segunda carta, observa seu naipe, número e cor, e a coloca de volta. Sejam os eventos: A1 = [a primeira carta retirada é um ás] e A2 = [a segunda carta retirada é um ás].
f.1) Sem fazer cálculos, você acha que os eventos A1 e A2 são independentes? Ou seja, você acha que o fato da primeira carta retirada ter sido um ás altera a probabilidade de que a segunda carta seja um ás? Então, qual é o valor de P(A2|A1)?
f.2) Qual é a probabilidade das duas cartas retiradas serem um ás? Ou seja, calcule P(A1 ∩ A2).
3.2) Considere o seguinte experimento aleatório: “sortear 3 pessoas ao acaso em uma população e verificar se elas são daltônicas ou não”. A probabilidade de uma pessoa ser daltônica nesta população é ¼. Considere também que todas três sorteadas têm a mesma probabilidade de ser daltônica, ou seja, ¼, e que as três pessoas são independentes entre si
a) Enumere o espaço amostral deste experimento (Dica: veja que os elementos deste espaço
amostral são eventos compostos. Se chamarmos de D o evento “a pessoa é daltônica” e de D o
evento “a pessoa não é daltônica”, um dos pontos do espaço amostral é ( D , D , D ), ou seja, a
primeira pessoa é daltônica e duas últimas não o são).
b) Calcule a probabilidade de: b.1) Sortear nenhuma pessoa daltônica; b.2) Sortear uma pessoa daltônica, não importando a ordem em que ela apareça; b.3) Sortear duas pessoas daltônicas, não importando a ordem em que elas apareçam; b.4) Sortear todas as três pessoas daltônicas.
(Dica: primeiramente, calcule a probabilidade de cada um dos pontos do espaço amostra identificado na letra a).
c) Você consegue notar algum padrão no cálculo das probabilidades em b)? Se sim, qual é este padrão?
3.5) A detecção precoce do câncer cervical é crucial para o tratamento e cura da paciente. As 600 mulheres de amostra aleatória foram classificadas em um de dois grupos: “com câncer” ou “sem câncer” através de biópsia cervical (Tabela 3.2). Outro teste que pode ser usado no diagnóstico do câncer cervical é o papanicolau, mais barato e mais rápido que a biópsia cervical. Para avaliar a qualidade de diagnóstico do papanicolau, as 600 mulheres mencionadas anteriormente foram submetidas a este teste. Os resultados do teste papanicolau são mostrados na Tabela 3.2 (“Positivo” indica que o teste classifica a paciente como portadora do câncer; “negativo”, caso contrário). Assuma que o resultado da biópsia cervical é certo.
Tabela 3. Situação da paciente
Resultado do Papanicolau Total
Positivo Negativo Com câncer 94 6 100 Sem câncer 250 250 500 Total 344 256 600
a) Estime a proporção de mulheres que têm câncer cervical na população de onde foi retirada esta amostra (ou seja, a prevalência do câncer na população).
b) Para quantas pacientes o teste papanicolau acertou o diagnóstico?
c) Para quantas pacientes o teste papanicolau errou o diagnóstico?
d) Qual é a probabilidade do teste papanicolau ter resultado positivo dentre as pacientes que realmente têm câncer? (Esta probabilidade é chamada sensibilidade do teste)
e) Qual é a probabilidade do teste papanicolau ter resultado negativo dentre as pacientes que não têm câncer? (Esta probabilidade é chamada especificidade do teste)
f) Qual é a probabilidade de uma paciente realmente ter câncer dentre aquelas com resultado positivo no teste papanicolau? (Esta probabilidade é chamada valor de predição positiva do teste)
g) Qual é a probabilidade de uma paciente realmente não ter câncer dentre aquelas com resultado negativo no teste papanicolau? (Esta probabilidade é chamada valor de predição negativa do teste)
h) Qual é a probabilidade de uma paciente realmente não ter câncer dentre aquelas com resultado positivo no teste papanicolau? (Esta é a proporção de falsos positivos do teste)
i) Qual é a probabilidade de uma paciente realmente ter câncer dentre aquelas com resultado negativo no teste papanicolau? (Esta é a proporção de falsos negativos do teste)
Seção 4: Avaliação da Qualidade de Testes Clínicos
4.1) No contexto da avaliação da qualidade de um teste clínico, associe as definições a seguir com: sensibilidade, especificidade, valor de predição positiva, valor de predição negativa, proporção de falsos positivos ou proporção de falsos negativos.
a) A probabilidade de um paciente com resultado positivo não estar doente.
Definição de: __________________________________________
b) A probabilidade do paciente não estar doente dado que seu resultado no teste foi negativo.
Definição de: __________________________________________
c) A probabilidade do resultado do teste ser negativo dentre os pacientes realmente não doentes.
Definição de: __________________________________________
d) A probabilidade do paciente realmente estar doente dado que seu resultado no teste foi positivo.
Definição de: __________________________________________
e) A probabilidade de um paciente com resultado negativo estar doente.
Definição de: __________________________________________
f) A probabilidade do resultado do teste ser positivo dentre os pacientes realmente doentes.
Definição de: __________________________________________
4.2) Um dos testes utilizados para detectar a doença de Aujeszky em suínos, também conhecida como pseudo-raiva, é o teste ELISA. Na tabela abaixo são apresentados os resultados deste teste para 52 suínos portadores da doença e 238 não portadores da doença.
Tabela 4.
Teste ELISA
Doença de Aujeszky Total
Doente ( D ) Doente (^ D )
Positivo (+) 51 6 57 Negativo (- )
Total 52 238 290
a) Calcule a sensibilidade e a especificidade do teste.
b) Se a prevalência dessa doença (na população) é de 17,9%, você pode calcular o VPP e o VPN diretamente da tabela? Por quê? Calcule estes índices.
b) Considere as figuras 4.1(b) e 4.2(b). Para um valor fixo de prevalência e sensibilidade, o que acontece com o VPN à medida que a especificidade aumenta? c) Considere a Figura 4.2(a), onde a prevalência está fixada em p=0,5.
i. Para um valor fixo de sensibilidade, qual é, aproximadamente, o aumento que se tem no VPP quando se passa de e=0,7 para e=0,95?
ii. Para um valor fixo de especificidade, qual é, aproximadamente, o aumento que se tem no VPP quando se passa de s=0,7 para s=0,95?
iii. O teste será poderoso para confirmar a presença da doença se ele tiver PFP grande ou pequena?
iv. Suponha que se queria que o teste fosse poderoso para confirmar a presença da doença em uma população com p=0,5. Baseado na sua resposta em (iii) e comparando suas respostas em (i) e (ii), você acha melhor trabalhar para aumentar a sensibilidade ou a especificidade do teste?
d) Considere a Figura 4.1(b), onde a prevalência está fixa em p=0,
i. Para um valor fixo de sensibilidade, qual é, aproximadamente, o aumento que se tem no VPN quando se passa de e=0,7 para e=0,95?
ii. Para um valor fixo de especificidade, qual é, aproximadamente, o aumento que se tem no VPN quando se passa de s=0,7 para s=0,95?
iii. O teste será poderoso para descartar a presença da doença se ele tiver PFN grande ou pequena?
iv. Suponha que se queira que o teste seja poderoso para descartar a presença da doença em uma população com p=0,05. Baseado na sua resposta em (iii) e comparando suas respostas em (i) e (ii), você acha melhor trabalhar para aumentar a sensibilidade ou a especificidade do teste?
Figura 4.
(a) (b)
Prevalência = 0,
0
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,7 0,8 0,9 0, Especificidade
VPP
Prevalência = 0,
0,
0,
0,
0,
1
0,70 0,80 0,90 0, Especificidade
VPN
s= 0. s = 0. s = 0. s = 0.
Figura 4.
(a) (b)
Prevalência = 0,
0,
0,
0,
0,
1
0,7 0,8 0,9 0, Especificidade
VPP
Prevalência = 0,
0,
0,
0,
0,
1
0,7 0,8 0,9 0, Especificidade
VPN
s= 0. s = 0. s = 0. s = 0.
4.5) Considere os dados do Exercício 2.2.6 da Seção 2.2 (valores de hemoglobina em mulheres sadias)
Considerando o limite inferior da faixa de referência calculado no exercício, responda: a) que porcentagem de mulheres sadias estará acima do limite inferior? E abaixo dele? b) qual seria a especificidade de um método de diagnóstico de anemia baseado nesse limite inferior de referência? c) qual seria a sensibilidade?