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Capítulo 11
Cgdf]bW d]cgXU8]b|a]WU
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
R. 83 Nas figuras abaixo, representamos as forças que agem nos blocos (todos de massa igual a 2,0 kg). Determine, em cada caso, o módulo da aceleração que esses blocos adquirem.
F 1 = 4,0 N
a)
F 2 = 3,0 N F 1 = 4,0 N
b)
F 2 = 3,0 N F 1 = 4,0 N
c)
F 1 = 4,0 N
F 2 = 3,0 N
d)
Solução: a)
F 1 = 4,0 N
a Nesse caso, a força F 1 é a força resultante F R que produz a aceleração a. Pela equação fundamental da Dinâmica, temos: F R 5 ma. Em módulo:
F R 5 ma ] F 1 5 ma ] 4,0 5 2,0 3 a ] a 5 2,0 m/s^2
b)
F 2 = 3,0 N F 1 = 4,0 N
a
F R = F 1 + F 2
F R 5 ma ] F 1 1 F 2 5 ma ] 4,0 1 3,0 5 2,0 3 a ] a 5 3,5 m/s^2
c)
F 2 = 3,0 N F 1 = 4,0 N
F R = 1 –^2
a
F F
F R 5 ma ] F 1 2 F 2 5 ma ] 4,0 2 3,0 5 2,0 3 a ] a 5 0,50 m/s^2
d)
F 1 = 4,0 N
F 2 = 3,0 N
a
F R
Em todos os casos, a aceleração a tem a direção e o sentido da respectiva força resultante F R.
R. 84 Um ponto material de massa igual a 2 kg parte do repouso sob a ação de uma força constante de intensidade 6 N, que atua durante 10 s, após os quais deixa de existir. Determine: a) a aceleração nos 10 s iniciais; b) a velocidade ao fim de 10 s.
Solução: a) De F R 5 ma , sendo F R 5 F 5 6 N e m 5 2 kg, vem:
F 5 ma ] 6 5 2 3 a ] a 5 3 m/s^2
m = 2 kg
v 0 = 0 F R = F m
t 0 = 0 t = 10 s
F
a v
b) Ao fim de 10 s a velocidade do corpo é: v 5 v 0 1 at (sendo v 0 5 0, a 5 3 m/s^2 e t 5 10 s)
v 5 3 3 10 ] v 5 30 m/s
Respostas: a) 3 m/s 2 ; b) 30 m/s
Respostas: a) 2,0 m/s 2 ; b) 3,5 m/s 2 ; c) 0,50 m/s 2 ; d) 2,5 m/s^2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Nesse caso, como F 1 e F 2 têm direções diferentes, a força resultante F R é obtida com o emprego da regra do paralelogramo. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo destacado, temos:
F^2 R 5 F^21 1 F^22 ] F^2 R 5 (4,0)^2 1 (3,0)^2 ] F^2 R 5 25 ] F R 5 5,0 N
F R 5 ma ] 5,0 5 2,0 3 a ] a 5 2,5 m/s^2
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Unidade D
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Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
P. 233 Determine a aceleração de um bloco de massa 2 kg e que desliza, num plano horizontal sem atrito, nas situações indicadas abaixo:
P. 234 Uma partícula de massa 0,20 kg é submetida à ação das forças F 1 , F 2 , F 3 e F 4 , conforme indica a figura. Determine a aceleração da partícula.
P. 235 (UFMG) Submete-se um corpo de massa igual a 5.000 kg à ação de uma força constante que, a partir do repouso, lhe imprime a velocidade de 72 km/h, ao fim de 40 s. Determine: a) a intensidade da força; b) o espaço percorrido.
P. 237 Um astronauta, utilizando um dinamômetro, de- termina o peso de um corpo na Terra ( fig. I ) e na Lua ( fig. II ), encontrando os valores 4,9 N e 0,80 N, respectivamente. Sendo a aceleração da gravidade na superfície da Terra 9,8 m/s 2 , determine: a) a massa do corpo; b) a aceleração da gravidade na superfície da Lua.
a) (^) F = 10 N b) (^) F = 10 N F' = 4 N
1,0 N
1,0 N
F 1
F 2
F 3
F 4
P. 236 Qual é o valor, em newtons, da força média necessária para fazer parar, num percurso de 20 m, um automóvel de 1,5 3 10 3 kg a uma velocidade de 72 km/h?
Figura I. Figura II.
R. 85 Uma partícula de massa 0,50 kg realiza um movimento retilíneo uniformemente variado. Num percurso de 4,0 m sua velocidade varia de 3,0 m/s a 5,0 m/s. Qual é o módulo da força resultante que age sobre a partícula?
Solução: Utilizando a equação de Torricelli, podemos determinar a aceleração escalar a:
Sendo o movimento retilíneo, resulta: a 5OaO 5 2,0 m/s^2 Pela equação fundamental da Dinâmica calculamos o módulo da força resultante:
v 2 5 v^20 1 2 aS s ] (5,0)^2 5 (3,0)^2 1 2 a 3 4,0 ] a 5 2,0 m/s^2
F R 5 ma ] F R 5 0,50 3 2,0 ] F R 5 1,0 N
Resposta: 1,0 N
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Capítulo 11
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A + B
( m (^) A +^ m (^) B )
F
F R 5 ma ] F 5 ( mA 1 mB ) 3 a ]
] 10 5 (2 1 3) 3 a ] a 5 2 m/s^2
Como F 5 10 N, m (^) A 5 2 kg e mB 5 3 kg, vem:
F R 5 ma Bloco A : F 2 f 5 mAa J Bloco B : f 5 m (^) B a I
F 5 ( m (^) A 1 mB ) 3 a 4
10 5 (2 1 3) 3 a ] a 5 2 m/s^2
b) A intensidade f da força de A em B pode ser obtida por qualquer uma das equações (J ou I) anteriores. Em I:
f 5 m (^) B a 5 3 3 2 ] f 5 6 N
Respostas: a) 2 m/s 2 ; b) 6 N
Observações: (1) Numa interação desse tipo, o corpo A não trans- mite integralmente a força F a B ; a diferença entre o que A recebe e transmite é o que lhe comunica aceleração. (2) Um cálculo rápido da aceleração pode ser feito considerando A e B como um único corpo; nes- sas condições, a força f não interfere no cálculo, pois passa a ser uma força interna ao conjunto de blocos A e B. Assim:
A
B
C
F
R. 88 Três corpos A , B e C de massas mA 5 1 kg, m (^) B 5 3 kg e mC 5 6 kg estão apoiados numa superfície ho- rizontal perfeitamente lisa. A força horizontal F , de intensidade constante F 5 5 N, é aplicada ao primeiro bloco A. Determine: a) a aceleração adquirida pelo conjunto; b) a intensidade da força que A exerce em B ; c) a intensidade da força que B exerce em C.
R. 89 Dois corpos A e B de massas iguais a m (^) A 5 2 kg e m (^) B 5 4 kg estão apoiados numa superfície hori- zontal perfeitamente lisa. O fio que liga A a B é ideal, isto é, de massa desprezível e inextensível. A força horizontal F tem intensidade igual a 12 N, constante. Determine: a) a aceleração do sistema; b) a intensidade da força de tração do fio.
Solução: Assim como no exercício anterior, o peso de cada bloco é anulado pela reação normal do apoio. Para a determinação da aceleração, consideremos o sistema de corpos como um único bloco de massa mA 1 m (^) B 1 m (^) C 5 10 kg. Pela equação fundamental da Dinâmica:
F = 5 N
A + B + C
( m^ A +^ m^ B +^ m^ C )
a
F R 5 ma ] F 5 ( mA 1 mB 1 mC ) 3 a ]
] 5 5 10 a ] a 5 0,5 m/s^2
Para determinarmos as interações entre os corpos, devemos analisar cada um separadamente.
A
1 kg 1
R A =^ –^1
F
F
f
F f
B
3 kg
a
1
R B =^ f 1 –^ f 2
2
F
f f
C
6 kg
2
F R C = 2
f
f
Para B :
Respostas: a) 0,5 m/s 2 ; b) 4,5 N; c) 3 N
A
B F
B
A
2 kg
4 kg
T T
F R A = T F R B = F – T
a a
F
A intensidade da resultante das forças em A é F 2 f , pois F tem o mesmo sentido da aceleração a , enquanto f se opõe. Em B a resultante é apenas f.
Seja f 1 a intensidade da força de A sobre B , e f 2 a de B em C : F R 5 ma Para C :
Solução: a) Vamos analisar as forças em cada bloco. Em cada corpo o peso e a normal anulam-se; por isso va- mos considerar apenas as forças horizontais: for- ça de tração do fio em A e, em B , a força F e a força de tração do fio.
f 1 2 f 2 5 mB a f 1 2 3 5 3 3 0, f 1 5 3 1 1,
f 1 5 4,5 N
f 2 5 mC a 5 6 3 0,5 ] f 2 5 3 N
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Observações: r "FRVBÉÈP F 5 ( mA 1 mB ) 3 a possibilita o cálculo da aceleração de um modo mais rápido, consi- derando A e B como um único bloco:
B^ F^ = 12 N
A
2 kg
4 kg
F 5 ( mA 1 m (^) B ) 3 a ] 12 5 (2 1 4) 3 a ]
] 12 5 6 a ] a 5 2 m/s^2
r "OUFSJPSNFOUFEJTTFNPTRVFPEJOBNÔNFUSPÊ um instrumento que mede intensidades de for- ças (veja página 203). Inserindo um dinamômetro num fio que liga os corpos A e B , ele medirá a intensidade da força de tração T do fio que se transmite de um corpo a outro. Assim:
Inserido num fio ideal, um dinamômetro mede a intensidade da força de tração do fio.
F
A B
T
T
Considere o dinamômetro como um aparelho ideal: sua massa é desprezível.
R. 90 Os corpos A e B da figura têm massas respectiva- mente iguais a m (^) A 5 6 kg e mB 5 2 kg. O plano de apoio é perfeitamente liso e o fio é inextensível e de peso desprezível. Não há atrito entre o fio e a polia, considerada sem inércia. Adote g 5 10 m/s 2. Determine a aceleração do conjunto e a tração do fio.
A
B
Solução: Consideremos separadamente cada corpo.
A
6 kg
N A
A
R A =
F
F
P
T
T
a
Em A , a força normal F N A anula a ação do peso, pois não há movimento vertical. Pela equação funda- mental da Dinâmica, e sendo mA 5 6 kg, vem: T 5 m (^) A a ] T 5 6 a J Considere o corpo B :
B
B
F R B = PB – a
P
T
T
Sua aceleração é a mesma de A , pois o fio é inex- tensível: no mesmo intervalo de tempo, A e B per- correm as mesmas distâncias e atingem a mesma velocidade. O peso P B tem o mesmo sentido da aceleração a , e a tração T opõe-se a a ; logo, pela equação funda- mental, e sendo mB 5 2 kg, vem: F R 5 ma ] PB 2 T 5 mB a ] PB 2 T 5 2 a I
B
A
N A
A
B
F
P
P
a
a
T
T
a 5 2 m/s^2
T 5 2 a F 2 T 5 4 a F 5 6 a 4 12 5 6 a
b) A intensidade da força de tração do fio pode ser obtida por uma das equações (J ou I). Em J:
T 5 2 a ] T 5 2 3 2 ] T 5 4 N
Respostas: a) 2 m/s 2 ; b) 4 N
Sendo m (^) A 5 2 kg, a equação fundamental da Dinâmica aplicada ao corpo A fornece:
F R 5 ma ] T 5 mAa ] T 5 2 a J
Os corpos A e B possuem a mesma aceleração, pois o fio é inextensível: no mesmo intervalo de tempo, A e B percorrem as mesmas distâncias e atingem a mesma velocidade. Em B , F tem o mesmo sentido da aceleração a , enquanto a tração T opõe-se a a. Assim, sendo m (^) B 5 4 kg, a equação fundamental da Dinâmica aplicada a B fornece:
F R 5 ma ] F 2 T 5 mBa ] F 2 T 5 4 a I
Resolvendo o sistema de equações J e I, vem:
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Na figura ao lado representamos as forças que agem em cada bloco. A equação fundamental da Dinâmica aplicada a A e a B fornece: F R 5 ma
2 kg
T
P B = 20 N
F R B = T – PB
a B
T
P A = 60 N
6 kg
a
F R A = PA –^ T
A
Corpo A : PA 2 T 5 mA a ] 60 2 T 5 6 a J Corpo B : T 2 PB 5 mB a ] T 2 20 5 2 a I Resolvendo o sistema de equações J e I:
60 2 T 5 6 a T 2 20 5 2 a 60 2 20 5 6 a 1 2 a 40 5 8 a
a 5 5 m/s^2
b) Qualquer uma das equações anteriores nos fornece T. Por exemplo, em I:
T 2 20 5 2 3 5 ] T 5 30 N
A tração T e no fio que liga o eixo da polia ao teto pode ser obtida como se segue. A polia não possui peso e seu eixo está em equilíbrio. Desse modo, a resultante das forças deve ser nula.
F R 5 0 ] T e 5 T 1 T 5 2 T 5 2 3 30 ] T e 5 2 T 5 60 N
Respostas: a) 5 m/s 2 ; b) 30 N e 60 N
A
B
6 kg
2 kg
P B = 20 N
a
a
P A = 60 N
Observação: Para o cálculo da aceleração podemos aplicar a equação fundamental da Dinâmica para o conjunto de corpos de massa total m (^) A 1 mB , observando que o peso PA tem o mesmo sentido da aceleração e PB se opõe:
F R 5 ma PA 2 PB 5 ( mA 1 mB ) 3 a 60 2 20 5 (6 1 2) a 40 5 8 a
a 5 5 m/s^2
No endereço eletrônico http://www.walter-fendt.de/ph11br/pulleysystem_br.htm (acesso em junho/2009), você pode analisar um sistema constituído de duas, quatro e seis polias.
Entre na redeEntre na rede
T T
T'
T T
2 T
Solução: a) Esse arranjo experimental é conhecido como máquina de Atwood (1745-1807), físico inglês que com um arranjo desse tipo estudou a queda dos corpos. O corpo A desce enquanto o corpo B sobe, pois o peso de A é maior que o de B.
m (^) A 5 6 kg ] PA 5 mA 3 g 5 60 N mB 5 2 kg ] PB 5 mB 3 g 5 20 N
120 N
R. 92 No arranjo experimental da figura ao lado, os corpos A e B têm, respectivamente, massas iguais a 6 kg e 2 kg. Os fios e as polias têm massas desprezíveis. Não há atrito entre o fio e a polia. Adote g 5 10 m/s^2. Determine: a) a aceleração do conjunto; b) as trações nos fios. Considere que o sistema partiu do repouso.
A
B
R. 93 Determine a força que o homem deve exercer no fio para manter em equilíbrio estático o corpo suspenso de 120 N. Os fios são considerados inextensíveis e de massas desprezíveis; entre os fios e as polias não há atrito. As polias são ideais, isto é, não têm peso.
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Solução: Para haver equilíbrio, a resultante das forças deve ser nula. No corpo suspenso, a tração T é igual ao peso P 5 120 N, pois não há aceleração. A distribuição de trações é idêntica à discutida no exercício anterior.
Resposta: 15 N
Observação: Note que o homem equilibra o peso de 120 N, exercendo uma força de intensidade bem menor; por isso, na prática, são muito utilizadas as associações de polias como se veem em guindastes.
Solução: O elevador desce verticalmente com aceleração a 5 2 m/s 2 em relação a um observador externo em repouso no solo. Esse observador externo, que é um referencial inercial, vê atuarem no homem dentro do elevador as forças P , ação da Terra, e F N, ação da balança no homem. O homem atua na balança, exercendo a força de intensidade F N, que é a indicação da balança, pois esta está calibrada para medir intensidades de forças.
A resultante das forças que atuam no homem é F R 5 P 2 FN. Logo:
P 2 F N 5 ma J F N 5 P 2 ma I
P 5 mg 5 70 3 10 ] P 5 700 N. Sendo m 5 70 kg e a 5 2 m/s 2 , vem:
Resposta: A indicação da balança é 560 N.
Observações: (1) O homem lê na balança F N 5 560 newtons, inferior ao seu peso P 5 700 newtons. Sente-se mais leve e tem a impressão de que seu peso diminuiu. Por isso a força F N é chamada peso aparente. (2) Se o elevador descesse acelerado com aceleração a 5 g (caso em que se rompem os cabos que sustentam o elevador), o peso aparente seria nulo. De fato:
R. 94 Um homem de 70 kg está no interior de um elevador que desce acelerado à razão de 2 m/s^2. Adote g 5 10 m/s^2 e considere o homem apoiado numa balança calibrada em newtons. Determine a intensidade da força indicada pela balança.
a = 2 m/s^2
Elevador
70 kg
Balança de molas
Observador externo
N
A balança marca F N
Ação ereação Balança
70 kg P = mg = 700 N
F
F N
P
F N 5 700 2 70 3 2 ] F N 5 560 N
Portanto, no caso em que o elevador cai sob ação da gravidade, o peso aparente é nulo: a pessoa flutua no interior do elevador.
F N 5 P 2 ma ] F N 5 P 2 mg ] F N 5 P 2 P ] F N 5 0
T = P = 120 N
P = 120 N
T
T
T
a = 0
T = 120 N
15 N
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J = 35o P
f T
Observação: A aceleração pode ser calculada aplicando-se a equação fundamental da Dinâmica ao sistema de corpos de massa total mA 1 mB :
A
B
PB = 100 N
P t A = 50 N a 10 kg 10 kg
a F R 5 ( m (^) A 1 mB ) 3 a (sendo F R 5 PB 2 P t A ) P (^) B 2 P t A 5 ( mA 1 m (^) B ) 3 a ] ] 100 2 50 5 (10 1 10) 3 a ]
] 50 5 20 a ] a 5 2,5 m/s^2
R. 97 Um ponto material de massa m e peso P está suspenso por um fio de massa desprezível ao teto de um vagão her- meticamente fechado ( fig. I ). O vagão parte uniformemente acelerado e o corpo suspenso desloca-se para trás em relação a um observador em repouso no interior do trem, até atingir o ângulo de 35w em relação à vertical ( fig. II ). Adote g 5 10 m/s^2 e tg 35w 5 0,7. Determine a aceleração do trem para um observador externo em repouso na Terra.
Figura I. Figura II.
Figura III.
R
m F
T
P
a
Figura IV.
Sendo F R 5 ma , vem: ma 5 mg 3 tg 35w ] a 5 g 3 tg 35w ] a 5 10 3 0,
a 5 7 m/s^2 Resposta: 7 m/s 2
Observação: Ao atingir o ângulo de 35w, o ponto material permanece em repouso em relação ao observador no interior do trem. Este interpreta o fato da seguinte maneira: além de P e T , outra força f age no ponto material no sentido indicado ( fig. V ). Essa força é chamada força de inércia. Forças de inércia são consideradas relativamente a referenciais acelerados em relação à Terra, denominados referenciais não inerciais, como é o caso do trem. O princípio da ação e reação não se aplica às forças de inércia.
Figura V.
Solução: Considerando que as leis de Newton são válidas em relação a um referencial inercial, interpretaremos o fenômeno em relação ao observador na Terra, pois esta é praticamente um referencial inercial. Em relação ao observador externo em repouso na Terra, atuam no ponto material as forças peso P e tração T ( fig. III ). A resultante F R produz no ponto material a mesma aceleração a do trem ( fig. IV ). No triângulo destacado, temos:
tg 35w 5
F ___R
P
F R 5 P 3 tg 35w ] F R 5 mg 3 tg 35w
a
m
J = 35o
Observador interno
Observador v = 0 interno Observador externo
a
T
P
J J
JJ
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P. 238 (PUC-SP) Com base no princípio de ação e reação, responda: a) A afirmação abaixo está certa ou errada? Justi- fique. “Quando exercemos uma força F numa mesa, esta exerce uma força oposta 2 F que anula a força F , de modo que a força resultante sobre a mesa é nula e ela, portanto, não se move.” b) Descreva uma situação em que se evidenciem as forças de ação e de reação (mostre como as duas forças estão agindo).
P. 243 (UFRJ) Dois blocos de massa igual a 4 kg e 2 kg, respectivamente, estão presos entre si por um fio inextensível e de massa desprezível. Deseja-se puxar o conjunto por meio de uma força F cujo módulo é igual a 3 N sobre uma mesa horizontal e sem atrito. O fio é fraco e corre o risco de romper-se. Q u a l é o m e l h o r modo de puxar o conjunto sem que o fio se rompa: pela massa maior ou pela menor? Justifique sua resposta.
P. 244 No arranjo expe- rimental da figura não há atrito al- gum e o fio tem massa desprezível. Adote g 5 10 m/s^2. Determine: a) a aceleração do corpo A ; b) a tração no fio.
P. 245 Na situação indicada na figura, os fios têm massa desprezível e passam pelas polias sem atrito. Adote g 5 10 m/s 2. Determine: a) a aceleração do conjunto; b) a tração no fio que liga A a B ; c) a tração no fio que liga B a C.
P. 239 Uma força horizontal de intensidade F 5 10 N é aplicada no bloco A , de 6 kg, o qual está apoiado em um segundo bloco B , de 4 kg. Os blocos deslizam sobre um plano horizontal sem atrito. Determine: a) a aceleração do conjunto; b) a intensidade da força que um bloco exerce no outro; c) a intensidade da força resultante em A e em B.
P. 240 Três blocos A , B e C , de massa mA 5 5 kg, mB 5 2 kg e m (^) C 5 3 kg, estão numa superfície horizontal sem atrito. Aplica-se ao bloco A uma força de 20 N, constante, como indicado na figura. Determine: a) a aceleração do conjunto; b) a intensidade da força que B exerce em C ; c) a intensidade da força que A exerce em B.
P. 241 Dois blocos de massas 5 kg e 3 kg estão numa superfície horizontal sem atrito e ligados por um fio de massa desprezível. A força horizontal F tem intensidade constante igual a 4 N. Determine a tração no fio que liga os corpos.
P. 242 (^) (FEI-SP) Sabendo-se que a tração no fio que une os dois blocos vale 100 N, qual é o valor do módulo da força F? Não há atritos.
F A B
20 N
A
B
C
5 kg 2 kg 3 kg
5 kg (^) 3 kg F
10 kg 5 kg
F
2 kg
F
4 kg
2 kg
F
4 kg
2 kg A
B
3 kg
B 10 kg
A (^) 20 kg C 10 kg
P. 246 (^) Os corpos A e B têm massas mA 5 1 kg e mB 5 3 kg. O corpo C , pendurado pelo fio, tem massa mC 5 1 kg. O fio é inextensível e tem massa desprezível. Adote g 5 10 m/s^2 e suponha que A e B deslizam sem atrito sobre o plano horizontal. Calcule: a) a aceleração do corpo C ; b) a intensidade da força que o corpo B exerce em A.
A
C
B
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
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