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Exercícios Resolvidos de Introdução à Álgebra Linear, Provas de Álgebra

1. Determine, caso exista, a inversa da matriz. (a)M = ( 0 1. 2 3. ) ... ( -3/2 1/2. 1. 0. ) Verificamos está resposta calculando MB e BM. Tem-se que,.

Tipologia: Provas

2022

Compartilhado em 07/11/2022

Ronaldinho890
Ronaldinho890 🇧🇷

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bg1
EXERC´
ICIOS RESOLVIDOS - Introdu¸ao `a Algebra Linear
1. Determine, caso exista, a inversa da matriz
(a)M=0 1
2 3 (b)M=1 2
2 4
Solu¸ao
(a) Determinemos, se poss´ıvel B=x y
z t tal que
MB =BM =I
Devemos ter que,
0 1
2 3 x y
z t =1 0
0 1
isto ´e,
z t
2x+ 3z2y+ 3t=1 0
0 1
Desta igualdade de matrizes resulta,
z= 1, t = 0, x =3/2 e y= 1/2
Desta forma,
B=3/2 1/2
1 0
Verificamos est´a resposta calculando MB eBM . Tem-se que,
MB =0 1
2 3 3/2 1/2
1 0 =1 0
0 1
e
BM =3/2 1/2
1 0 0 1
2 3 =1 0
0 1
1
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe

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EXERC´ICIOS RESOLVIDOS - Introdu¸c˜ao `a Algebra Linear

  1. Determine, caso exista, a inversa da matriz

(a) M =

(b) M =

Solu¸c˜ao

(a) Determinemos, se poss´ıvel B =

x y

z t

tal que

M B = BM = I

Devemos ter que,

x y

z t

isto ´e, ( z t

2 x + 3z 2 y + 3t

Desta igualdade de matrizes resulta,

z = 1, t = 0, x = − 3 /2 e y = 1/ 2

Desta forma,

B =

Verificamos est´a resposta calculando M B e BM. Tem-se que,

M B =

e

BM =

(b) Determinemos, se poss´ıvel B =

x y

z t

tal que

M B = BM = I

Devemos ter que,

x y

z t

isto ´e, ( x + 2z y + 2t

2 x + 4z 2 y + 4t

Desta igualdade de matrizes resulta em particular,

x + 2z = 1 e 2x + 4z = 0

Estas igualdades s˜ao inconsistentes. Segue que n˜ao existe B sat-

isfazendo a condi¸c˜ao. Assim a matriz M n˜ao ´e invert´ıvel.

  1. Seja A =

. Determinar a matriz P tal que

P

− 1 A =

Solu¸c˜ao

Multiplicando por P ambos lados da ´ultima igualdade resulta,

(P P

− 1 )A = P

ou seja,

A = P

Seja P =

a b

c d

. Resulta que,

a b

c d

  1. Seja B =

Determinar A matriz 3 × 3 invers´ıvel tal que 2 A = A

2 − AB.

Determinar A

− 1 .

Solu¸c˜ao

Sendo A invers´ıvel existe a matriz A

− 1

. Multiplicando a equa¸c˜ao dada,

pela esquerda por A

− 1 , obtemos:

2 A

− 1 A = A

− 1 (A

2 − AB) = A

− 1 A

2 − A

− 1 AB = IA − IB = A − B

Desta forma, A − B = 2I ou ainda

A = B + 2I =

Determinemos agora a inversa da matriz A. Para tal usaremos o m´e

todo do escalonamento (pag. 47 do livro).

Tem-se que,

(A|I) =

 = (A−^1 |I)

Concluimos que a inversa da matriz A ´e

A

− 1

  1. Sejam a 6 = 0, b e c constantes. Determinar todos os valores de

x de modo que a matriz

A =

1 0 c

0 a −b

− 1 /a x x

2

seja invers´ıvel.

Solu¸c˜ao

Pela conclus˜ao da propriedade (D 12) na p´agina 61:

A ´e invers´ıvel ⇔ det A 6 = 0

Agora,

det A = 1

a −b

x x

2

  • c

0 a

− 1 /a x

= (ax

2

  • bx) + c 6 = 0

Desta forma, det A 6 = 0 se (ax

2

  • bx) + c 6 = 0.

Lembrando que as raizes da equa¸c˜ao ax

2

  • bx + c = 0 s˜ao

x 1 , 2 =

−b ±

b

2 − 4 ac

2 a

concluimos que a matriz A ´e invers´ıvel se

x 6 =

−b −

b^2 − 4 ac

2 a

e x 6 =

−b +

b^2 − 4 ac

2 a

  1. Resolver a equa¸c˜ao matricial M X = B sendo M =

e

B =

Solu¸c˜ao

Se calcularmos a inversa de M , M

− 1 , teremos

(M

− 1 M )X = M

− 1 B ⇒ IX = M

− 1 B ⇒ X = M

− 1 B

Utilizaremos o m´etodo do escalonamento (pag. 47) para determinar

M

− 1 .

Solu¸c˜ao

Tem-se que,

C = A · B

T

x − 1 − 2

8 7

− 5 4

x + 30 0

4 x − 6 7

A matriz C possui inversa se |C| 6 = 0. Tem-se que

|C| =

x + 30 0

4 x − 6 7

= 7x + 210 = 0

se x = −30.

Desta forma a matriz C ´e invers´ıvel para qualquer x 6 = −30.

  1. Sejam m e n n´umeros reais tais que m 6 = n e as matrizes

A =

e B =

. Qual a rela¸c˜ao necess´aria entre

m e n para que a matriz C = mA + nB n˜ao seja invers´ıvel.

Solu¸c˜ao

Tem-se que,

C = mA + nB = m

  • n

2 m − n m + n

3 m 5 m + n

A matriz C n˜ao ser´a invers´ıvel se |C| = 0. Agora,

|C| =

2 m − n m + n

3 m 5 m + n

= (2m − n)(5m + n) − (3m)(m + n)

= 10m

2 +2mn− 5 mn−n

2 − 3 m

2 − 3 mn = 7m

2 − 6 mn−n

2 = (7m+n)(m−n)

Desta forma se (7m + n)(m − n) = 0 a matriz C n˜ao ´e invers´ıvel.

Sendo m 6 = n concluimos que a rela¸c˜ao necess´aria entre m e n para que

a matriz C = mA + nB n˜ao seja invers´ıvel ´e 7m + n = 0.

  1. (a) Verifique a propriedade (D4), pag. 60, sobre determi-

nantes: (^) ∣ ∣ ∣ ∣

a + b c

d + e f

a c

d f

b c

e f

(b) A partir de (a) conclua que

a b + c d

e f + g h

i j + k l

a b d

e f h

i j l

a c d

e g h

i k l

Solu¸c˜ao

(a) Tem-se que,

a + b c

d + e f

= (a + b)f − c(d + e) = af + bf − cd − ce

= (af − cd) + (bf − ce) =

a c

d f

b c

e f

(b) (Exerc´ıcio)

  1. Se

a b d

p q r

x y z

= − 1 determinar

− 2 a − 2 b − 2 c

2 p + x 2 q + y 2 r + z

3 x 3 y 3 z

Solu¸c˜ao

Pela propriedade analoga do item (b) do exemplo acima,

− 2 a − 2 b − 2 c

2 p + x 2 q + y 2 r + z

3 x 3 y 3 z

(D4)

− 2 a − 2 b − 2 c

2 p 2 q 2 r

3 x 3 y 3 z

− 2 a − 2 b − 2 c

x y z

3 x 3 y 3 z

(D6) = (−2)(2)(3)

a b c

p q r

x y z

a b c

x y z

x y z

(D8) = (−12)(−1) + (−6)(0) = 12

  1. Sejam A, X matrizes de tamanho n. Sejam D e F matrizes tais

que DF ´e de tamanho n. Considere

[

(AX)

T

  • DF

]− 1

= I

(a) Determinar X.

(b) Determinar X no caso particular em que

A =

, D =

, F =

Solu¸c˜ao

(a) Pela propriedade 1 (pag. 49) e observando que I

− 1 = I temos que

(AX)

T

  • DF = I

Pela propriedade v pag. 37,

X

T A

T

  • DF = I e da´ı X

T A

T = I − DF

Para explicitar X multiplicamos esta ´ultima igualdade pela inversa

da transposta:(A

T )

− 1

X

T A

T (A

T )

− 1 = (I − DF )(A

T )

− 1

Da´ı,

X

T = (I − DF )(A

T )

− 1

Falta isolar a matriz X. Para tal tomamos a transposta em ambos

lados da igualdade:

(X

T )

T = ((I − DF )(A

T )

− 1 )

T

Pelas propriedades (t1) pag. 23, (v) pag. 37 e (3.) pag 50 temos

X = A

− 1 (I − DF )

T

(b) Utilizando a express˜ao de X determinada no item (a):

X =

)T

Agora ( 1 2

verifique!

e

)T

) )T

)T

Substituindo em (1):

X =

  1. (a) Sejam A e B matrizes invers´ıveis do mesmo tamanho. A

partir das propriedades da transposta e da inversa re-

solver para X a equa¸c˜ao

[

(A

T )

− 1 X

]T

+ (AB)

− 1 = A

2

(b) Determinar X sabendo que

A =

 (^) e B =

Solu¸c˜ao

Exerc´ıcio

Segue que o sistema ´e compat´ıvel e indeterminado (infinitas solu¸c˜oes).

Verifiquemos agora a validade do conjunto solu¸c˜ao.

Para todo t ∈ R:

2 3

t) + (−16 +

7 3

t) − t = 10 − 16 −

4 3

t +

7 3

t − t = − 6 X

2 3

t) − (−16 +

7 3

t) + 3t = 5 + 16 = 21 X

2 3

t) + 2t = 15 X

  1. (a) Determinar uma equa¸c˜ao linear cujo conjunto solu¸c˜ao seja

S = {(t, 2 t); t ∈ R}

(b) Determinar uma equa¸c˜ao linear cujo conjunto solu¸c˜ao seja

S = {(−1 + t, 1 + 2t); t ∈ R}

(c) Determinar um sistema linear cujo conjunto solu¸c˜ao seja

S = {(−1 + t, 1 + t, 3 + t); t ∈ R}

Solu¸c˜ao

(a) Sejam x e y as vari´aveis da equa¸c˜ao. Para todo t ∈ R, tem-se que

(x, y) = (t, 2 t)

Claramente x = 0, y = 0 ´e uma solu¸c˜ao j´a que (0, 0) = (0 · 1 , 0 · 2)

e assim a equa¸c˜ao ´e homogˆenea. A partir de

x = t, y = 2t

resulta y = 2x e a equa¸c˜ao requerida ´e 2x − y = 0.

(b) Vemos que a equa¸c˜ao procurada n˜ao ´e homogˆenea j´a que

x = 0, y = 0 n˜ao ´e solu¸c˜ao pois se

x = −1 + t = 0; y = 1 + 2t = 0 ⇒ t = 1et = − 1 / 2

De

x = −1 + t (1)

y = 1 + 2t (2)

multiplicando (1) por -2 obtemos,

− 2 x = 2 − 2 t

y = 1 + 2t

Somando estas equa¸c˜oes (para eliminar t) obtemos − 2 x + y = 3.

Equivalentemente,

2 x − y = − 3

´e a equa¸c˜ao procurada.

(c) (Exerc´ıcio)