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1. Determine, caso exista, a inversa da matriz. (a)M = ( 0 1. 2 3. ) ... ( -3/2 1/2. 1. 0. ) Verificamos está resposta calculando MB e BM. Tem-se que,.
Tipologia: Provas
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(a) M =
(b) M =
Solu¸c˜ao
(a) Determinemos, se poss´ıvel B =
x y
z t
tal que
Devemos ter que,
x y
z t
isto ´e, ( z t
2 x + 3z 2 y + 3t
Desta igualdade de matrizes resulta,
z = 1, t = 0, x = − 3 /2 e y = 1/ 2
Desta forma,
Verificamos est´a resposta calculando M B e BM. Tem-se que,
e
(b) Determinemos, se poss´ıvel B =
x y
z t
tal que
Devemos ter que,
x y
z t
isto ´e, ( x + 2z y + 2t
2 x + 4z 2 y + 4t
Desta igualdade de matrizes resulta em particular,
x + 2z = 1 e 2x + 4z = 0
Estas igualdades s˜ao inconsistentes. Segue que n˜ao existe B sat-
isfazendo a condi¸c˜ao. Assim a matriz M n˜ao ´e invert´ıvel.
. Determinar a matriz P tal que
− 1 A =
Solu¸c˜ao
Multiplicando por P ambos lados da ´ultima igualdade resulta,
− 1 )A = P
ou seja,
Seja P =
a b
c d
. Resulta que,
a b
c d
Determinar A matriz 3 × 3 invers´ıvel tal que 2 A = A
2 − AB.
Determinar A
− 1 .
Solu¸c˜ao
Sendo A invers´ıvel existe a matriz A
− 1
. Multiplicando a equa¸c˜ao dada,
pela esquerda por A
− 1 , obtemos:
− 1 A = A
− 1 (A
2 − AB) = A
− 1 A
2 − A
− 1 AB = IA − IB = A − B
Desta forma, A − B = 2I ou ainda
Determinemos agora a inversa da matriz A. Para tal usaremos o m´e
todo do escalonamento (pag. 47 do livro).
Tem-se que,
Concluimos que a inversa da matriz A ´e
x de modo que a matriz
1 0 c
0 a −b
− 1 /a x x
2
seja invers´ıvel.
Solu¸c˜ao
Pela conclus˜ao da propriedade (D 12) na p´agina 61:
A ´e invers´ıvel ⇔ det A 6 = 0
Agora,
det A = 1
a −b
x x
2
0 a
− 1 /a x
= (ax
2
Desta forma, det A 6 = 0 se (ax
2
Lembrando que as raizes da equa¸c˜ao ax
2
x 1 , 2 =
−b ±
b
2 − 4 ac
2 a
concluimos que a matriz A ´e invers´ıvel se
x 6 =
−b −
b^2 − 4 ac
2 a
e x 6 =
−b +
b^2 − 4 ac
2 a
e
Solu¸c˜ao
Se calcularmos a inversa de M , M
− 1 , teremos
− 1 M )X = M
− 1 B ⇒ IX = M
− 1 B ⇒ X = M
− 1 B
Utilizaremos o m´etodo do escalonamento (pag. 47) para determinar
M
− 1 .
Solu¸c˜ao
Tem-se que,
x − 1 − 2
8 7
− 5 4
x + 30 0
4 x − 6 7
A matriz C possui inversa se |C| 6 = 0. Tem-se que
x + 30 0
4 x − 6 7
= 7x + 210 = 0
se x = −30.
Desta forma a matriz C ´e invers´ıvel para qualquer x 6 = −30.
e B =
. Qual a rela¸c˜ao necess´aria entre
m e n para que a matriz C = mA + nB n˜ao seja invers´ıvel.
Solu¸c˜ao
Tem-se que,
C = mA + nB = m
2 m − n m + n
3 m 5 m + n
A matriz C n˜ao ser´a invers´ıvel se |C| = 0. Agora,
2 m − n m + n
3 m 5 m + n
= (2m − n)(5m + n) − (3m)(m + n)
= 10m
2 +2mn− 5 mn−n
2 − 3 m
2 − 3 mn = 7m
2 − 6 mn−n
2 = (7m+n)(m−n)
Desta forma se (7m + n)(m − n) = 0 a matriz C n˜ao ´e invers´ıvel.
Sendo m 6 = n concluimos que a rela¸c˜ao necess´aria entre m e n para que
a matriz C = mA + nB n˜ao seja invers´ıvel ´e 7m + n = 0.
nantes: (^) ∣ ∣ ∣ ∣
a + b c
d + e f
a c
d f
b c
e f
(b) A partir de (a) conclua que
a b + c d
e f + g h
i j + k l
a b d
e f h
i j l
a c d
e g h
i k l
Solu¸c˜ao
(a) Tem-se que,
a + b c
d + e f
= (a + b)f − c(d + e) = af + bf − cd − ce
= (af − cd) + (bf − ce) =
a c
d f
b c
e f
(b) (Exerc´ıcio)
a b d
p q r
x y z
= − 1 determinar
− 2 a − 2 b − 2 c
2 p + x 2 q + y 2 r + z
3 x 3 y 3 z
Solu¸c˜ao
Pela propriedade analoga do item (b) do exemplo acima,
− 2 a − 2 b − 2 c
2 p + x 2 q + y 2 r + z
3 x 3 y 3 z
− 2 a − 2 b − 2 c
2 p 2 q 2 r
3 x 3 y 3 z
− 2 a − 2 b − 2 c
x y z
3 x 3 y 3 z
(D6) = (−2)(2)(3)
a b c
p q r
x y z
a b c
x y z
x y z
(D8) = (−12)(−1) + (−6)(0) = 12
que DF ´e de tamanho n. Considere
T
(a) Determinar X.
(b) Determinar X no caso particular em que
Solu¸c˜ao
(a) Pela propriedade 1 (pag. 49) e observando que I
− 1 = I temos que
T
Pela propriedade v pag. 37,
T A
T
T A
T = I − DF
Para explicitar X multiplicamos esta ´ultima igualdade pela inversa
da transposta:(A
T )
− 1
T A
T (A
T )
− 1 = (I − DF )(A
T )
− 1
Da´ı,
X
T = (I − DF )(A
T )
− 1
Falta isolar a matriz X. Para tal tomamos a transposta em ambos
lados da igualdade:
T )
T = ((I − DF )(A
T )
− 1 )
T
Pelas propriedades (t1) pag. 23, (v) pag. 37 e (3.) pag 50 temos
− 1 (I − DF )
T
(b) Utilizando a express˜ao de X determinada no item (a):
Agora ( 1 2
verifique!
e
Substituindo em (1):
partir das propriedades da transposta e da inversa re-
solver para X a equa¸c˜ao
T )
− 1 X
− 1 = A
2
(b) Determinar X sabendo que
(^) e B =
Solu¸c˜ao
Exerc´ıcio
Segue que o sistema ´e compat´ıvel e indeterminado (infinitas solu¸c˜oes).
Verifiquemos agora a validade do conjunto solu¸c˜ao.
Para todo t ∈ R:
2 3
t) + (−16 +
7 3
t) − t = 10 − 16 −
4 3
t +
7 3
t − t = − 6 X
2 3
t) − (−16 +
7 3
t) + 3t = 5 + 16 = 21 X
2 3
t) + 2t = 15 X
S = {(t, 2 t); t ∈ R}
(b) Determinar uma equa¸c˜ao linear cujo conjunto solu¸c˜ao seja
S = {(−1 + t, 1 + 2t); t ∈ R}
(c) Determinar um sistema linear cujo conjunto solu¸c˜ao seja
S = {(−1 + t, 1 + t, 3 + t); t ∈ R}
Solu¸c˜ao
(a) Sejam x e y as vari´aveis da equa¸c˜ao. Para todo t ∈ R, tem-se que
(x, y) = (t, 2 t)
Claramente x = 0, y = 0 ´e uma solu¸c˜ao j´a que (0, 0) = (0 · 1 , 0 · 2)
e assim a equa¸c˜ao ´e homogˆenea. A partir de
x = t, y = 2t
resulta y = 2x e a equa¸c˜ao requerida ´e 2x − y = 0.
(b) Vemos que a equa¸c˜ao procurada n˜ao ´e homogˆenea j´a que
x = 0, y = 0 n˜ao ´e solu¸c˜ao pois se
x = −1 + t = 0; y = 1 + 2t = 0 ⇒ t = 1et = − 1 / 2
De
x = −1 + t (1)
y = 1 + 2t (2)
multiplicando (1) por -2 obtemos,
− 2 x = 2 − 2 t
y = 1 + 2t
Somando estas equa¸c˜oes (para eliminar t) obtemos − 2 x + y = 3.
Equivalentemente,
2 x − y = − 3
´e a equa¸c˜ao procurada.
(c) (Exerc´ıcio)