Baixe Mecânica Analítica: Exercícios Resolvidos e Conceitos Fundamentais e outras Exercícios em PDF para Mecânica Clássica, somente na Docsity!
LC2 Mecˆanica Anal´ıtica Nivaldo Lemos
Jo˜ao Batista Pinto J´unior
Janeiro 2021
Usando coordenadas cil´ındricas temos:
dx = dr
dy = rdθ
dz = dr cot α
Logo o diferencial da superf´ıcie ser´a:
ds
2
= dr
2
2
dθ
2
2
cot
2
α
ds
2
= dr
2
[
1 + r
2
dθ
dr
2
2
α
]
ds
2
= dr
2
[
r
2
dθ
dr
2
2
α
]
Assim:
s(θ ) =
∫ r 2
r 1
r
2 θ
′ 2
2 αdr
De forma que o funcional ser´a:
f (r, θ
′
, θ ) =
r
2 θ
′ 2
2 α
Uma part´ıcula se movimentando em um plano vertical sobre ac¸ ˜ao da gravidade.
Temos:
r f (t) = x(t)
i + y(t)
j
Dadas as seguintes condic¸ ˜oes de contorno:
{
r( 0 ) = 0
r(T ) = r 0
A energia cin´etica ´e T =
m( x˙
2
2 ) e a energia potencial ´e V = −mgy
L = T −V =
m( x˙
2
2
) + mgy
d
dt
∂ L
∂ x˙
∂ L
∂ x
m x¨ = 0
m x˙ = cte
d
dt
∂ L
∂ y˙
∂ L
∂ y
m y¨ − mg = 0 ∴ y¨ = −g
Encontrando as esquac¸ ˜oes do movimento:
dx(t)
dt
= c 1 ∴ x(t) =
∫
c 1 dt = c 1 t + c 2
x( 0 ) = c 2
x(T ) = c 1
T = x 0
∴ c 1
x 0
T
d
2 y(t)
dt
2
= −g ∴
dy(t)
dt
∫
−gdt = −gt + c 1
y(t) =
∫
(−gt + c 1
)dt = −
gt
2
t + c 2
y( 0 ) = c 2
y(T ) = −
gT
2
c 1
y 0
T
gT
x(t) =
x 0
T
t
y(t) =
y 0
T
gT
t −
gt
2
r f
(t) =
x 0
T
i +
[(
y 0
T
gT
t −
gt
2
]
j
Agora temos r(t) = r f (t) + η(t) onde η(T ) = η( 0 ) = 0
r˙(t) = r˙ f
(t) + η˙(t)
L(~r,~r˙,t) =
m
r˙ ·
r˙ + mgy
L(~r,~r˙,t) =
m[˙r f
(t)
2
(t) η˙(t) + η˙(t)
2
] + mg
j · [r f
(t) − η(t)]
S[r] =
∫ T
0
m[˙r f
(t)
2
(t) η˙(t) + η˙(t)
2
]] + mg
j · [r f
(t) − η(t)]dt
Sabemos que S[x f
] =
∫ T
0
L(x f
(t), x˙ f
(t),t)dt =
∫ T
0
m x˙ f
(t) −
mω
2 x f
(t)
2
Assim:
S[x] = S[x f
] +
m
∫ T
0
[2 ˙x f (t)
η(t) +
η(t)
2
− 2 ω
2
x f (t)η(t) − ω
2
η(t)
2
]dt
x ¨ f = −ω
2
x f
S[x] = S[x f
] +
m
∫ T
0
[2 ˙x f
(t) η˙(t) + η˙(t)
2
(t)η(t) − ω
2
η(t)
2
]dt
S[x] = S[x f
] + m
∫ T
0
[ x˙ f
(t) η˙(t) + x¨ f
(t)η(t)]dt +
m
∫ T
0
[ η˙(t)
2
− ω
2
η(t)
2
]dt
S[x] = S[x f
] + m
∫ T
0
d
dt
[ x˙(t)η(t)]dt +
m
∫ T
0
[ η˙(t)
2
− ω
2
η(t)
2
]dt
Sabemos que η( 0 ) = η(T ) = 0, ent˜ao m
∫ T
0
d
dt
[ x˙(t)η(t)]dt = 0
S[x] = S[x f
] +
m
∫ T
0
[ η˙(t)
2
− ω
2
η(t)
2
]dt
Para η(t) enquanto η( 0 ) = η(T ) = 0, sendo uma func¸ ˜ao cont´ınua e integr´avel no intervalo ( 0 , T ), η(t) pode
ser expandida em uma s´erie de Fourrier.
η(t) =
∞
n
C
n sin
nπt
T
η ˙(t) =
∞
n
C
n
nπ
T
cos
nπt
T
S[x] = S[x f
] +
m
∫ T
0
[
∞
n
C
2
n
n
2
π
2
T
2
cos
2
nπt
T
− ω
2
∞
n
C
2
n
sin
2
nπt
T
]
dt
Tomando a propriedade trigonom´etrica sin
2
θ + cos
2
θ = 1 ∴ sin
2
θ = 1 − cos
2
θ
S[x] = S[x f
] +
m
∫ T
0
[
∞
n
C
2
n
n
2
π
2
T
2
cos
2
nπt
T
− ω
2
C
2
n
2
C
2
n
cos
2
nπt
T
]
dt
Podemos considerar as somas elevadas ao quadrado dessa forma, pois quando η(t) e ˙η(t) s˜ao elevados ao
quadrado a integrais dos termos onde h´a multiplicac¸ ˜ao de sin e cos s˜ao zero no intervalo de ( 0 , T )
S[x] = S[x f
] +
m
∞
n
[
C
2
n
n
2
π
2
T
2
2
C
2
n
]
∫ T
0
cos
2
nπt
T
dt −
m
∫ T
0
ω
2
C
2
n
dt
S[x] = S[x f
] +
m
∞
n
[
C
2
n
n
2 π
2
T
2
2
C
2
n
]
∫ T
0
cos
2
nπt
T
dt −
mω
2
C
2
n
T
Sabendo que cos 2θ = cos
2 θ − sin
2
θ e que sin
2
θ = 1 − cos
2 θ
cos 2θ = 2 cos
2
θ − 1 ∴ cos
2
θ =
cos 2θ + 1
Logo:
S[x] = S[x f
] +
m
∞
n
[
C
2
n
n
2
π
2
T
2
2
C
2
n
] [
∫ T
0
cos
2 nπt
T
dt +
∫ T
0
dt
]
mω
2
C
2
n
T
S[x] = S[x f
] +
m
∞
n
[
C
2
n
n
2
π
2
T
2
2
C
2
n
] [
T
2 nπ
sin
2 nπt
T
T
0
T
0
]
mω
2
C
2
n
T
S[x] = S[x f
] +
T
m
∞
n
[
C
2
n
n
2
π
2
T
2
2
C
2
n
]
T
mω
2
C
2
n
S[x] = S[x f
] +
T
m
∞
n
C
2
n
[
n
2
π
2
T
2
− ω
2
]
Temos que T <
π
ω
∴ T
2 <
π
2
ω
2
∴ ω
2 <
π
2
T
2
Para n = 1 , 2 , 3 ... sempre
n
2
π
2
T
2
− ω
2
0 Assim sabemos que S[x] > S[x f
] logo S[x f
] ´e a ac¸ ˜ao m´ınima.
A soluc¸ ˜ao aproximada foi dada pelo enunciado como y α (x) = x
3
- αx(x − 1 ) Eent˜ao temos:
y
′
(x) = 3 x
2
f (y, y
′
, x) = y
′ 2
Aplicando a equac¸ ˜oes de Euler-Lagrange spbre f :
∂ f
∂ y
d
dx
∂ f
∂ y
′
d2y
′
dx
d2y
′
dx
= 12 x + 4 α = 0
Logo:
α 0
12 x
= − 3 x
Temos:
y α 0
(x) = x
3
− 3 x
3
2
y α 0
(x) = − 2 x
3
2
Por´em sabendo que −
d2y
′
dx
dy
′
dx
= 0 e tendo as condic¸ ˜oes de contorno dadas y( 0 ) = 0 e y( 1 ) = 1 podemos
resolver a EDO.
y(x) =
∫
Cdx = Cx +C 0
E dado no enunciado da quest˜ao que o extremo do funcional
J[y] =
∫ x 2
x 1
F
y(x) 1
...y n
(x), y
′
1
...y
′
n
, x
dx
Com as condic¸ ˜oes subsidi´arias
∫ x 2
x 1
f i
y(x) 1 ...y n (x), y
′
1
...y
′
n
, x
dx = l i
Onde i = 1 , ..., m E determinado por meio da equac¸ ˜ao de Euler para:
J[y] =
∫ x 2
x 1
F +
m
i
λ i
f i
dx
Devemos agora demonstrar a forma de um cabo inextens´ıvel ligados a dois postes verticais. Levando em
considerac¸ ˜ao que a posic¸ ˜ao equil´ıbrio do cabo ´eaquela onde a energia potencial ´e m´ınima. Dados:
E[y] =
∫ b
a
y
i + y
′ 2 dx
Com a condic¸ ˜ao:
∫ b
a
1 + y
′ 2 dx = l
A densidade linear do cabo ´e ρ =
dm
dl
∴ ρdl = dm
dV [y] = dmgy = ρydl = ρgy
1 + y
′ 2 dx = ρgdE[y]
Ent˜ao de V [y] ´e m´ınimo E[y] tamb´em deve ser. Deve notar que isso ´e verdade pois como o fio est´a parado e
a parte mais baixa deste fio se encontrar´a no ponto m´edio entre os postes.
E[y] =
∫ b
a
y
1 + y
′ 2
1 + y
′ 2
dx
E[y] =
∫ b
a
y
1 + y
′ 2
dx + λ l
E[y] =
∫ b
a
y
1 + y
′ 2
dx
Invertendo x e y temos f (x, x
′ , y) = y
1 + x
′ 2
Aplicando
∂ f
∂ x
d
dy
∂ f
∂ x
′
yx
′
1 + x
′ 2
= k
k
1 + x
′ 2 = yx
′
k
2
( 1 + x
′ 2
) = y
2
x
′ 2
k
2
2
x
′ 2
= y
2
x
′ 2
k
2
= y
2
x
′ 2
− k
2
x
′ 2
k
2
y
2 − k
2
= x
′ 2
x =
∫
k
y
2 − k
2
dy
x = C 1
− 1
y
k
y
k
= cosh
x −C 1
k
y = k cosh
x −C 1
k
L =
x˙
4
ω
2
x˙
2
x
2
−
ω
4
x
4
Aplicando a equac¸ ˜ao de Euler
L
∂ x
d
dt
L
∂ x˙
L
∂ x
= ω
2
x˙
2
x − ω
4
x
3
d
dt
∂ L
∂ r˙
= (M + m)r¨
∂ L
∂ r
= mr
θ
2
− g(M − m cos θ )
(M + m)¨r − mr
θ
2
Tomando M = 3 m
4 mr¨ − mr
θ
2
4¨r − r
θ
2
r¨ =
r
θ
2
3 g
g
cos θ
r ¨ =
r
θ
2
3 g
gb
2
ga
2
d
dt
∂ L
θ
= mr
2 ¨ θ r + mr˙
θ
∂ L
∂ θ
= −mgr sen θ
mr
2 ¨ θ + mgr sen θ + mr˙
θ = 0
r
θ + g sen θ + r˙
θ = 0
r
θ = −g sin θ − ˙r
θ = − 2 g sin
θ
cos
θ
− r˙
θ = − 2 gab − r˙
θ
Substituindo teremos:
2˙r
2 ˙ θ b+
r
2 ˙ θ
3
b
3 gr
θ b
gr
θ b
3
gr
θ a
2
b
− 2 grab˙
2
− r˙
2 ˙ θ b−r r˙
θ
2
a− 3 r ˙r
θ
2
a+ 2 gr
θ a
2
b+rr
θ
2
a−r
2
θ
3
b+ 2 g˙rab
2
+gr
θ
b
3
−gr
˙r
2 ˙ θ b −
3 gr
θ b
3 gr
θ b
3
3 gr
θ a
2
b
Sabendo que a
2
2
= 1
2˙r
2 ˙ θ b +
3 gr
θ b
− 1 + b
2
2
r˙
2 ˙ θ b = 0
Nota-se que:
dI(r, r˙, θ ,
θ )
dt
= r˙
2 ˙ θ b = 0
Logo I(r, r˙, θ ,
θ ) ´e constante de movimento.
I
Sobre a superf´ıcie da esfera de raio R tendo a posic¸ ˜ao da part´ıcula r =
x
2
2
2 , seja r < R, r = R
ou r > R os momentos lineares p x
, p y
ep z
n˜ao se conservam devido a mudanc¸a de direc¸ ˜ao da part´ıcula em
translac¸ ˜ao na superf´ıcie. Por´em o momento angular l z
se conserva para rotac¸ ˜ao em torno do eixo z
II
Para um paralelep´ıpedo ao longo do eixo x n˜ao haver´a variac¸ ˜ao para esta posic¸ ˜ao, ent˜ao haver´a conservac¸ ˜ao
do momento linear na direc¸ ˜ao x, p x
. N˜ao haver´a conservac¸ ˜ao do momento linear nas outras direc¸ ˜oes.
Rotac¸ ˜oes arbitr´arias em torno odo eixo x n˜ao mant´em a lagrangiana invariante, por´em n˜ao haver´a conservac¸ ˜ao
do momento angular.
III
Se a haste est´a posicionada ao longo do eixo x temos um caso semelhante a II para p x que se conserva
enquanto p y e p z n˜ao se conservam. Se a haste tem um eixo de rotac¸ ˜ao x sendo esta haste com simetria
rotacional temos conservac¸ ˜ao do momento angular l x enquanto l y e l z n˜ao se conservam.
IV
Nesse caso, considerando que o eixo x passa no centro de disco, s´o teremos a conservac¸ ˜ao do momento
angular l z , e n˜ao haver´a conservac¸ ˜ao do momento linear pois para qualquer movimento de translac¸ ˜ao a la-
grangiana n˜ao ´e invariante.
V
Para o cilindro infinito ao longo do eixo x temos ao caso idˆentico ao da haste em III.
VI
Para o plano infinito, considerando a face do plano na direc¸ ˜ao z temos a Lagrangiana invariante para os
movimento na direc¸ ˜ao x e y logo p x
e p y
se conservam por´em p z
n˜ao se conserva. Para a rotac¸ ˜ao em trono
do eixo z podemos imaginar que esse plano infinito seria como um disco infinito, ent˜ao teremos que apenas
l z
se conserva.
VII
Para o plano semi-infinito, se este est´a ao longo do eixo x, apenas p x
se conserva e n˜ao haver´a conservac¸ ˜ao
do momento angular pois n˜ao h´a simetria de rotac¸ ˜ao.
VIII
Para o caso da h´elice a ´unica simetria de translac¸ ˜ao ´e ao longo do eixo central do fio z, logo somente p z
se
conserva e apenas l z se conserva.
Dados:
φ
′
= φ −
c
∂t
A
′
A + ∇Λ
A lagrangiana ´e:
L
′
mv
2
− eφ
′
c
e~v ·
A
′
Substituindo:
L
′
=
mv
2
− e
φ −
c
∂t
c
e~v ·
A + ∇Λ
