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São Paulo, dezembro de 2015.
- a. Determinar a dimensão “a” de modo a se ter a mesma tensão de cisalhamento
máxima nos trechos B-C e C-D.
b. Com tal dimensão pede-se a máxima tensão de cisalhamento no trecho A-B.
Respostas:
a 110 cm
- 11 , 5. 3924 , 04
3
4 4
para a = 110 cm, o momento torçor e a tensão no trecho A-B é dada por:
R 833 , 7 KNcm A-B = 7,14 KN/ cm^2
- Determinar diagramas de:
a. Momento torçor;
b. tensões de cisalhamento máximas (módulos);
c. Ângulos de rotação. Também é conhecido G.
Respostas:
30 cm (^) a 90 cm
A B C D
Mt = 1200 KN.cm Mt = 1200 KN.cm
10,0 cm 11,5 cm
8,0 cm
- Pede-se determinar o valor do parâmetro " " nos seguintes casos: a) para que o giro
da seção B seja nulo (B = 0); b) para que o giro da seção D venha a ser nulo (D = 0).
Respostas:
a) Para que o giro em B seja zero:
B = 012
G J
M (^) t
100 cm 50 cm 50 cm 10 cm 50 cm
7 cm 10 cm
A B C D
.Mt .Mt Mt
4
a cm
Ta T a 82 , 2 9
- Para o eixo indicado, pede-se o valor admissível do momento Mt (torque) sabendo-
se que 10
KN/cm^2. Pede-se ainda, para esse valor de Mt , o giro máximo, indicando a
seção onde ocorre. Dado G = 8000 KN/cm^2
Resposta: O diagrama de corpo livre fica:
Por equilíbrio:
R Mt R Mt R Mt R
R 0 , 319 Mt
Assim, o diagrama do momento torçor é dado por:
2 Mt
6 cm 4 cm
80 cm 20 50 50
Mt
R+Mt R R-Mt
1,319.Mt
0,319.Mt
0,681.Mt
A
B
Verificar onde ocorre tensão máxima nos trechos A e B, pois em A é onde tem-se o maior esforço e em B, onde tem-se um diâmetro menor que o de A.
Em A:
J = 32
. d^4
J
M (^) tr = 3 .
d
M (^) t
=^14450 ,^30
3 ^ t
Mt (^) M
KN.cm
Em B:
J = 32
. d^4
J
M (^) tr = 3 .
d
M (^) t
3 ^ t
Mt (^) M
KN.cm
Portanto: Mt = 258,19 KN.cm
O giro é dado por:
GJ
M (^) tL . 1 = 0 , 02676
- .( 6 )
4 rd
8000. .( 6 )^4
0,02330 rd
8000. .( 4 )^4
1 = 0,02676 rd
2 = 0,02330 rd
3 = - 0,02042 rd
Resposta: P = 3,14 kN; b) Rotd = -0,289 rad.
- As engrenagens acopladas ao eixo de aço com a extremidade E fixa estão sujeitas aos
torques mostrados na figura. Supondo que o módulo de elasticidade transversal seja de 80
GPa e o eixo tiver diâmetro de 14mm, determinar a máxima tensão cisalhante da estrutura
e a rotação do eixo em A. O eixo gira livremente dentro do mancal em B.
Resposta:
max = 315,6 MPa θA = - 0,212 rad
- Calcular o valor admissível do momento torçor T considerando-se os sentidos
indicados na figura. Para este valor, verificar se existe alguma seção, além do engaste,
com giro nulo. Caso exista, determinar sua posição. Dados: τadm = 150 MPa, G = 8000
kN/cm^2. Diâmetro do trecho AC = 5cm; Trecho CD é de uma seção vazada de diâmetro
interno de 3cm.
Resolução: T = 245,4 kN.cm. A posição a 4,74 m do engaste possui giro nulo.
- Achar os diâmetros d 1 e d 2.
Respostas:
- Calcular o valor máximo do momento T aplicado sabendo-se que o material suporta no
máximo uma tensão de cisalhamento de τmáx de 10 kN/cm^2.
A B C D
a b a
M (^) t M t
d = 8 cm
- O eixo de aço tem diâmetro de 40mm e suas estremidades A e B são fixas. Se ele for
submetido ao conjugado de forças, conforme desenho, qual será a tensão máxima de
cisalhamento para as regiões AC e CB. Com essas tensões e sabendo que 10 MPa,
indique o coeficiente de segurança da estrutura.
Resposta: τAC = 14,32 Mpa; τCB = 9,55 Mpa; s = 0,
- A barra reta AC está no plano xy com seção transversal circular maciça de diâmetros “d” e “2d”, respectivamente, nos trechos AB e BC. Nos pontos B e C estão ligadas perpendicularmente à barra AC as barras rígidas DD’ e EE’ de comprimento, respectivamente, de 20 cm e 30 cm. Ou seja, as barras DD’ e EE’ estão contidas no plano
yz. Determine o máximo valor de “d”, sabendo que F = 10 kN e adm 1 MPa.
Resposta: d = 17 cm.
- Para o eixo ilustrado na fig. 9.7, considerando-se uma tensão cisalhante admissível de valor 10 kN/cm^2 e G = 10 000 kN/cm^2 , determinar o maior valor de torção de referência que se pode aplicar e o diagrama de giro ao longo da mesma.
A
6Mt 4Mt M t
C
100 cm
D 100 cm 100 cm
B
0,25 cm d = 4 cm
Trecho CD
d = 4 cm
Trecho BC
d = 4 cm d = 8 cm
Trecho AB i e
Resposta: Mt = 41,89 kN cm. B ( 1 / 300 ) rad , C ( 14 / 300 ) rad , D ( 4 / 300 ) rad
- Para a estrutura submetida ao momento torçor T abaixo, pede-se:
a) Diagrama de momento torçor; b) Tensão de cisalhamento máxima no trecho entre as seções S2 e S3. c) Rotação da seção S3 em relação à seção S4. Dados: T = 100 kN.m, D = 10 cm. G = 8000 kN/cm²
Respostas: a) Ts1 = -241,4 kNcm; Ts4 = 9758,6 kN.cm b) Tau = 49,7 kN/cm^2 c) Rotc = 0,245 rad
momento de inércia polar 2𝐽 e comprimento 𝑏. A barra AC é fabricada em um material de módulo de elasticidade transversal 𝐺 e possui tensão de cisalhamento admissível 𝜏̅. Admitindo que a única solicitação à barra AC que compõe a suspensão seja devida ao momento de torção causado pelo desnivelamento entre as rodas e assumindo válida a teoria de pequenas rotações vista nas aulas, pede- se:
a) Determinar a rigidez torcional da suspensão (𝑘) em função dos parâmetros geométricos e das propriedades do material. (Dica: a rigidez torcional pode ser entendida como o momento torçor necessário para causar uma rotação unitária entre as extremidades da barra AC. Nota: Calcule a rotação unitária com base na teoria vista em sala de aula, isto é, assumindo pequenas rotações.) Resposta: 𝑘 =
b) Calcule a rotação relativa entre as seções A e C, 𝜙𝐴𝐶 , para os valores numéricos dados abaixo. Para os mesmos valores numéricos e, igualando a máxima tensão de cisalhamento existente na barra AC à tensão de cisalhamento admissível, determinar 𝑎 e 𝑏. Mostre que a e b independem do valor de 𝐽. Dados: 𝑑 = 3𝑐𝑚, 𝑟 = 1,2𝑚, 𝑅 = 6𝑐𝑚, 𝐿 = 2𝑚, 𝜏̅ = 100𝑀𝑃𝑎, 𝐺 = 81𝐺𝑃𝑎 Resposta: 𝜙𝐴𝐶 = 𝑟𝑎𝑑 𝑎 = 𝑚 𝑏 = 𝑚
- O eixo da figura a seguir é solicitado pelos momentos de torção M 1 e M 2. Determinar os momentos reativos MA e MD. Indique as respostas no espaço indicado.
Respostas: MA = MD =
