CURSO DE ENGENHARIA CIVIL E MECÂNICA
Disciplina: Integral Múltipla e Equações
Diferenciais
AULA 10 –INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Goianésia –2022
Prof. Me. Igor Cezar Silva Braga
Faculdade Evangélica de Goianésia
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Exercicios de Integrais Multiplas, Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral
Alguns exercicios de Integrais Multiplas para treinar!
Tipologia: Exercícios
2022
1 / 10
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CURSO DE ENGENHARIA CIVIL E MECÂNICA
Disciplina: Integral Múltipla e Equações
Diferenciais
AULA 10 – INTEGRAIS MÚLTIPLAS Goianésia – 2022 Prof. Me. Igor Cezar Silva Braga Faculdade Evangélica de Goianésia
Integrais duplas
Sobre integrais duplas considerando o tipo mais simples de região plana: um retângulo. Consideramos uma função ƒ( x , y ) definida em uma região retangular R , 𝑅: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 Subdividimos R em retângulos menores utilizando uma rede de retas paralelas aos eixos x e y. Essas retas dividem R em n pedaços retangulares, sendo que o numero de tais pedaços n aumenta a medida que a largura e a altura de cada parte diminuem. Esses retângulos formam uma partição de R. Um pedaço retangular pequeno de largura Dx e altura Dy possui area DA = DxDy. 𝑆𝑛 = 𝑘= 1 𝑛 𝑓(𝑥𝑘 + 𝑦𝑘)∆𝐴𝑘
Integrais duplas como volumes
Quando ƒ( x , y ) e uma função positiva em uma região retangular R no plano xy , podemos interpretar a integral dupla de ƒ sobre R como o volume da região solida tridimensional sobre o plano xy limitada inferiormente por R e superiormente pela superfície z = ƒ( x , y ). 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒: lim 𝑛→∞
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Integrais duplas como volumes
“O que teria acontecido se tivéssemos calculado o volume fazendo o fatiamento com planos perpendiculares ao eixo y Figura? Como uma função de y , a área da seção transversal típica e
Encontre o volume da região delimitada superiormente pelo paraboloide elíptico z = 10 + x ² + 3 y ² e inferiormente pelo retângulo R : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2. 7
Exemplos
Se 𝑅 = 𝑥, 𝑦 | − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1 , − 2 ≤ 𝑦, ≤ 2 calcule a integral ,
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Exemplos
Encontre o volume do prisma cuja base e o triangulo no plano xy delimitado pelo eixo x e pelas retas y = x e x = 1 e cujo topo esta no plano z = ƒ( x , y ) = 3 – x – y. 10