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LISTA DE EXERC´ICIOS
MAT 0230 - GEOMETRIA E DESENHO GEOMETRICO 1´ 2 ◦^ SEMESTRE DE 2023 IME - USP SEVERINO TOSCANO DO REGO MELO
Problema 1. Assumindo apenas os axiomas de incidˆencia mostre que, dado um ponto P , existem pontos Q e R tais que P , Q e R n˜ao sejam colineares
Problema 2. Seja S um conjunto finito, com n elementos, seja R o conjunto dos subconjuntos de dois pontos de R. Chame de pontos os elementos de S, chame de retas os elementos de R e diga que um ponto P est´a numa reta r se P ∈ r. Mostre que: (a) com essas interpreta¸c˜oes, obtemos um modelo da geometria de incidˆencia; (b) se n = 3, n˜ao existem retas paralelas; (c) se n = 4, o Quinto Postulado de Euclides ´e satisfeito; (d) se n = 5, dadas uma reta r e um ponto P que n˜ao est´a em r, existem pelo menos duas paralelas a r passando por P.
Problema 3. Chame de pontos os elementos do conjunto S := {A, B, C, D, E, F, G}, chame de retas os seguintes subconjuntos de S,
{A, B, D}, {A, F, E}, {A, C, G}, {G, F, B}, {G, E, D}, {D, F, C}, {C, B, E},
diga que um ponto P est´a numa reta r se P ∈ r. Mostre que: (a) com essas interpreta¸c˜oes, obtemos um modelo da geometria de incidˆencia, (b) n˜ao existem paralelas, (c) por cada ponto passam trˆes retas.
Problema 4. Dados dois pontos A e B, mostre que
AB ∪
BA = {P ; P est´a em
AB}.
Problema 5. Chame de pontos os elementos do conjunto S := {A, B, C, D}, chame de retas os seguintes subconjuntos de S, {A, B, D}, {B, C, D}, {A, C},
diga que um ponto P est´a numa reta r se P ∈ r. Mostre que: (a) dados dois pontos existe uma reta passando por eles, mas nem sempre essa reta ´e ´unica, (b) toda reta possui pelo menos dois pontos, (c) existem trˆes pontos n˜ao-colineares, (d) n˜ao existe um par de retas paralelas.
Problema 6. Mostre que, se A ∗ B ∗ C, ent˜ao o segmento AB est´a contido no segmento AC.
Problema 7. Seja r uma reta e sejam A, B e C trˆes pontos colineares que n˜ao est˜ao em r. Mostre que, se r atravessa algum dos trˆes segmentos determinados pelos pontos dados, ent˜ao r atravessa tamb´em um, e apenas um, dos outros dois segmentos.
Problema 8. Seja H um semiplano delimitado pela reta r. Mostre que, se A, B ∈ H e Seja r uma reta e sejam A, B e C trˆes pontos n˜ao-colineares que n˜ao est˜ao em r. Se r atravessa algum dos trˆes segmentos determinados pelos pontos dados, ent˜ao r atravessa tamb´em um, e apenas um, dos outros dois segmentos.A ∗ P ∗ B, ent˜ao P ∈ H.
Problema 9. Mostre que as duas condi¸c˜oes A∗B∗D e A∗C ∗D podem ser satisfeitas sem que valha A∗B∗C ∗D.
Problema 10. Mostre que, se C ∈
AB e C 6 = A, ent˜ao
AB =
AC.
Problema 11. Seja D um ponto de
BC. Mostre que D pertence ao interior do ˆangulo ∠BAC se e somente se B ∗ D ∗ C.
Problema 12. Seja D um ponto do interior do ˆangulo ∠BAC. Mostre que todos os pontos da semirreta
AD
distintos de A tamb´em est˜ao no interior de ∠BAC.
Problema 13. Considere as semirretas opostas
OK e
OJ e os pontos H e L fora da reta
KJ. Mostre que, se H est´a no interior de ∠KOL, ent˜ao L est´a no interior de ∠HOJ.
Problema 14. Suponha que A ∗ B ∗ C na reta r e que A ∗ D ∗ E na reta s. Mostre que os segmentos BE e CD se interceptam em um ponto M e que M pertence aos interiores dos ˆangulo ∠CAE, ∠ACE e ∠AEC 1
2 SEVERINO TOSCANO DO REGO MELO
Problema 15. Suponha que os pontos C e C′^ estejam em lados opostos da reta
AB e que as retas
AC e
BC′
sejam paralelas. Mostre que o ponto de interse¸c˜ao do segmento CC′^ com a reta
AB est´a entre A e B. Dica: estude a demonstra¸c˜ao da existˆencia da mediatriz de segmentos, Teorema 7.23 das Notas de Aula.
Problema 16. S˜ao dados segmentos congruentes AB ∼= A′B′^ e dois pares de ˆangulos congruentes ∠XAB ∼=
∠X′A′B′^ e ∠Y BA ∼= ∠Y ′B′A′. Mostre que, se as semirretas
AX e
BY se interceptam e se X′^ e Y ′^ est˜ao do
mesmo lado de
A′B′, ent˜ao
A′X′^ e
B′Y ′^ se interceptam. Dica: use LAL. 1
Problema 17. Suponha que s˜ao v´alidos os axiomas de incidˆencia, os axiomas de ordenamento e os cinco primeiros axiomas de congruˆencia. Mostre que, se o seguinte axioma ´e satisfeito:
(C6h) Se AB ∼= DE, AC ∼= DF e ∠BAC ∼= ∠EDF , ent˜ao ∠ACB ∼= ∠DF E,
ent˜ao necessariamente vale o sexto axioma de congruˆencia (o caso LAL de congruˆencia de triˆangulos). Sugest~ao: (i) mudando de nota¸c˜ao, obtenha mais uma congruˆencia de ˆangulos, (ii) suponha que a terceira
congruˆencia de lados n˜ao seja satisfeita, transporte o segmento CB para a semirreta
F E e note que a unicidade de (C4) ter´a sido violada.
Problema 18. Usando que suplementares de congruentes s˜ao congruentes (para um enunciado mais preciso, veja a Proposi¸c˜ao 6.4 das Notas de Aula), mostre que ˆangulos opostos pelo v´ertice s˜ao congruentes.
Problema 19. Demonstre a rec´ıproca do Teorema do Triˆangulo Is´osceles. Mais precisamente, dados A, B e C trˆes pontos n˜ao-colineares, mostre que, se os ˆangulos ∠ABC e ∠ACB s˜ao congruentes, ent˜ao os segmentos AB e AC s˜ao congruentes. Sugest~ao: Imite a demonstra¸c˜ao de Papus do Teorema do Triˆangulo Is´osceles (Proposi¸c˜ao 5.5 das Notas de Aula), substituindo congruˆencia LAL por congruˆencia ALA.
Problema 20. Mostre que um triˆangulo ´e equil´atero (seus trˆes lados s˜ao dois-a-dois congruentes) se e somente se ele ´e equiˆangulo (seus trˆes ˆangulos s˜ao dois-a-dois congruentes). Sugest~oes: Resolva primeiro o Problema 19. Use tamb´em LLL.
Problema 21. Considere os triˆangulos ∆ABC e ∆A′B′C′. Suponha que sejam retos os ˆangulos ∠ABC e ∠A′B′C′^ e que valham as congruˆencias AB ∼= A′B′^ e AC ∼= A′C′. Seja D o ´unico ponto tal que D ∗ B ∗ C e DB ∼= B′C′^ (vocˆe deve se convencer de que a existˆencia e a unicidade de D decorrem do Axioma C1, mas n˜ao ´e preciso escrever isso na sua solu¸c˜ao). (a) Mostre que ∠ABD ∼= ∠A′B′C′. (b) Mostre que ∆ABD ∼= ∆A′B′C′. (c) Mostre que o triˆangulo ∆ADC ´e is´osceles. (d) Mostre que ∠ACB ∼= ∠A′C′B′. Observa¸c~ao. Este problema deve ser resolvido sem se supor v´alido o Quinto Postulado de Euclides e suas consequˆencias. Apenas os axiomas de incidˆencia, ordenamento e congruˆencia de Hilbert e suas consequˆencias podem ser usados. Em particular, pode-se usar o Quarto Postulado de Euclides, que ´e consequˆencia dos citados axiomas de Hilbert, como vimos no Teorema 7.13 das Notas de Aula.
Problema 22. S˜ao dados quatro pontos A, B, C e D. Quaisquer trˆes dentre os pontos dados s˜ao n˜ao- colineares. Al´em disso, o ponto D est´a no interior do ˆangulo ∠BAC e C est´a no interior de ∠ABD. Suponha que ∠BAD ∼= ∠ABC e ∠CAD ∼= ∠DBC. (b) Mostre que ∠BAC ∼= ∠ABD. (c) Mostre que ∆ABC ∼= ∆BAD. (d) Mostre que ∆CBD ∼= ∆DAC.
(^1) Observa¸c~ao. Este ´e um problema em “geometria neutra”, ou seja, deve ser resolvido usando apenas os axiomas de incidˆencia,
de ordenamento e de congruˆencia. Se se supuser v´alido o Quinto Postulado de Euclides, ´e f´acil provar que duas semirretas −−→ −−→^ AX^ e BY (com A 6 = B e X e Y do mesmo lado que ←→ AB) se interceptam se e somente se a soma dos ˆangulos ∠XAB e ∠Y BA ´e menor do que dois retos. Da´ı, a afirma¸c˜ao do problema segue usando propriedades de congruˆencia e de desigualdades de ˆangulos.
