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CAPÍTULO 5 – FLEXÃO PLANA
FLEXÃO – TRAÇADO DE DIAGRAMAS DE ESFORÇOS
PROBLEMA P5.
Dadas as vigas abaixo representadas, resolva para cada uma delas as questões seguintes: a) Reacções nos apoios b) Usando a respectiva definição, escrever as equações e traçar os diagramas de esforços axiais, de esforços cortantes e de momentos flectores para as zonas AB e CD c) Usando as relações diferenciais entre cargas e esforços, escrever as equações e traçar os diagramas de esforços axiais, de esforços cortantes e de momentos flectores para as restantes zonas.
2 kN
2 kN
5 kN
3 kN
2 kN 1 kN
2 kN 3 kN
p(x) = x kN/m
2 kN/m
2 kJ
3 kN
3 kN
3 kNm
2 kN/m
2 kN/m
3 kJ
B C D E A
F
G
H
A
B
C
D
E
B
D E
EF=BG=DH=0.5m
1m 1m 1m 2m^ 2m 1m 1m (^) 1m
30º^2
PROBLEMA P5.
Trace os diagramas de esforços cortantes e momentos flectores da viga representada – Viga Gerber, de dois tramos.
NB: - Os diagramas dos momentos flectores devem ser traçados no 1ºQuadrante.
- B é uma rótula (não transmite momento flector).
Solução: R (^) A = +1,20kN; T (^) B = +2,40kN; R (^) E = +20,4kN; ME = +9,12kNm
PROBLEMA P5.
A viga A-E está apoiada em A e D e é solicitada pelas cargas indicadas na figura ao lado. Trace os correspondentes diagramas de esforços transversos e de momentos flectores.
Solução: R (^) A = +7,38kN; R (^) D = +48,6kN; M (^) máx = +4,26kNm em C
(NOTA: Os problemas seguintes foram extraídos de “Mechanics of Materials” – 4 th^ edition – R.C. Hibbeler – Prentice-Hall)
PROBLEMA P5.
O pau de carga ABC possui um peso de 30lb/ft e é usado para movimentar a carga de 2000lb, conforme se representa. Para a posição da figura, calcule o esforço no cilindro hidráulico BD; defina e trace os diagramas de esforços que sujeitam o pau de carga.
Solução: x=6ft: T=-2,18kip; M=12,5kip.ft; x=10ft: T=3,075kip; M=
0,6 m 0,1 0,1 0,2 m
10 kN/m
50kN 15 kN/m
A B^ C^ D E
12kN/m 25kN/m 2kNm
8kN
A B C D E 0.6m 0.2m 0.2m 0.4m
PROBLEMA P5.
O camião representado é usado para transportar uma coluna em betão, conforme a figura. Se a coluna tiver um peso uniforme p(N/m) , determine a posição a(m) de colocação dos apoios da coluna de tal modo que o momento flector máximo que ocorre na coluna tenha o menor valor possível. Como complemento, desenhe os diagramas de esforços para a coluna.
Sugestão: A condição de menor valor do módulo do momento flector máximo corresponde a |M (^) min |=|M (^) máx |
Solução: a=0,207L; T=-0,207pL; M=-0,0214pL^2 ; x=L/2: T=0; 0,0214pL^2
FLEXÃO – TENSÕES NORMAIS – DIMENSIONAMENTO ÀS TENSÕES
PROBLEMA P5.
A figura mostra uma viga apoiada, com dois balanços, que vai ser construída em perfil da série INP, em aço com tensão de cedência à tracção igual a 235MPa e módulo de Young igual a 210GPa. Considerando que sobre a viga actuam as cargas representadas, determine: a) As reacções nos apoios; b) Os diagramas de esforços cortantes e de momentos flectores; c) O perfil a utilizar para que a viga resista àquelas cargas em condições de segurança, usando um coeficiente de segurança igual a 1,5.
Solução: a) R (^) B = 11,1kN ; R (^) D = 16,5kN ; b) M (^) máx = -3kNm em D ; c) IPN 80 (ωf = 19,5cm^3 )
PROBLEMA P5.
A figura mostra uma viga composta pelos tramos AB e BC ligados entre si por uma rótula em B. A extremidade C encontra-se encastrada. No ponto A a viga está apoiada num apoio deslizante. A força horizontal de 12kN está aplicada no topo de um pequeno suporte vertical com 0,2m de altura que, por sua vez, se encontra fixado pela base ao ponto A da viga. Sobre o tramo AB actua uma carga uniformemente distribuída de 5kN/m. Usando um perfil da série INP, dimensione a viga ABC de modo a que as tensões normais de flexão não ultrapassem 100MPa.
0,6m 0,2m (^) 1m 0,3m
22 kN/m
10 kN
A B C D E
3m 0,25m
5 kN/m
A B C
12 kN 0,2m
PROBLEMA P5.
Em certo estaleiro só existem perfis laminados UNP 120, 160, 200, 220 e 240. Pretende-se construir a viga da figura ao lado a partir do material em estaleiro; supondo que a tensão admissível do material à tracção/compressão é 140MPa, a) Calcule as reacções e trace os diagramas de esforços na viga b) Dimensione a viga, isto é, seleccione os perfis a utilizar. Em caso de necessidade, considere a associação de dois perfis iguais, soldados longitudinalmente, formando uma secção fechada. Em qualquer dos casos, defina os coeficientes de utilização.
Solução: a) RE = 3t ; (MR) (^) E = 7tm b) 2UNP
PROBLEMA P5.
A viga representada está submetida aos carregamentos indicados e tem secção recta com a forma e dimensões da figura. a) Calcule as reacções nos apoios b) Determine as expressões para o esforço cortante e para o momento flector verificados na região AB c) Determine as tensões, com os respectivos sinais, nos pontos P1, P 2 e P 3 da secção crítica (mais esforçada) da viga.
Solução: a) R (^) A = 682N ; R (^) E = 926N ; b) T (^) AB = -83,3 x 2 + 682 ; M (^) AB = -27,8 x 3 + 682 x ; c)Em P 1 = -7,32MPa ; Em P 2 = +12,8MPa ; Em P 3 = -1,28MPa
1 t/m 1 t 3 tm
A B C D E
2 m 1 m 1 m^ 1 m
UNP
cordão de soldadura
100
P (^1)
P (^2)
P (^3)
30
150
24 24
1 kN 300 N/m (^) 225 N/m
A
B
E
C D
PROBLEMA P5.
Na viga do lado (viga Gerber), A representa um encastramento, C uma rótula, D um apoio deslizante e E uma extremidade livre. Determine: a) As reacções nos apoios. b) O diagrama de momentos flectores. c) A tensão normal máxima que ocorre na viga, supondo que a sua secção é rectangular com altura de 200mm e largura 50mm.
Solução: R (^) A = +30kN; M (^) A= -70kNm ; T (^) C = +10kN ; R (^) D = +20kN; M (^) máx = 70kNm ; (M (^) máx )CD = +5kNm (x=1m); σmáx = 210MPa em A
2,5m 3m^ 1m
20 KN (^) 10 KN/m
A (^) B C (^) D E
15 KNm
1,5m
PROBLEMA P5.
Observe atentamente a estrutura de suporte representada na figura abaixo: a) Trace o diagrama de momentos flectores correspondente à parte BE; b) Determine a tensão normal máxima na secção de encastramento (A); c) Determine a tensão equivalente no ponto P da secção G-G, segundo o critério de Von Mises ( σeq = √1/2((σ 1 − σ 2 )^2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 +(σ 3 − σ 1 )^2 )) ou σeq= √(σ^2 + 3τ^2 ) ).
Observação: O ponto P fica situado na alma do perfil.
Solução: b) σmáx = 170,3MPa ; c) σeq = 72,2MPa
PROBLEMA P5.20*
Considere que numa dada secção de uma viga de secção rectangular existem um esforço de corte T=80kN e um momento flector M=15kNm, como mostra a figura. Calcule a tensão equivalente no ponto P, segundo o critério da tensão tangencial máxima ( σeq = √(σ^2 + 4τ^2 ) ou σeq = (σ 1 - σ 3 ) ).
Solução: σeq = 28,8MPa 50
x
y
z
200
P
T=80kN
M=15kNm 50
1600
108
20 KN/m
F
B
F
G
G 800 300
1200
A
C D E 6 6
120
6
80
(^5 )
8
8
SECÇÃO SECÇÃO
P
CAPÍTULO 5 – FLEXÃO PLANA
FLEXÃO PLANA – DIMENSIONAMENTO ÀS DEFORMAÇÕES
PROBLEMA P5.
Para a viga representada, com o respectivo carregamento, admitindo um módulo de rigidez à flexão constante e igual a EI, e utilizando a EDE(A) – equação diferencial da linha elástica, na forma aproximada – determine: a) a equação da linha elástica, y(x) b) a rotação da secção da extremidade B da viga c) a flecha máxima, y (^) máx , e diga onde ocorre
Solução: a) ) 6
5 6
( )^1 ( x^3 Mx^2 MLx L
M EI
y x = − + ; b) ) 3
(^1) ( 2 ML B (^) EI θ = − ;
c) 1 ( 0. 11881 ML^2 ) EI
y (^) máx = em x 0 = 0.47247 L
PROBLEMA P5.
Um aparelho de halterofilia encontra-se colocado no seu suporte, conforme o esquema da figura. Assumindo que a barra se encontra simplesmente apoiada nas barras verticais do suporte, com um vão de 1000mm, e que cada par de pesos exerce uma carga concentrada de 220N a uma distância de 200mm de cada suporte, e ainda que a barra tem peso desprezável, sendo construída em Aço (E=210GPa) com 25mm de diâmetro de secção recta, determine, usando o Método da Carga Unitária (MCU): a) a flecha máxima da barra (a meio vão) b) a rotação da secção da barra correspondente ao seu apoio esquerdo.
Solução: a) ymáx (meio vão) = 1,367mm ; b) y’(B) = θB = 0,00546rad
A
L
2M
B
M
PROBLEMA P5.
(Exercícios extraídos de “Mechanics of Materials”, 4th^ edition, R.C. Hibbeler, Prentice-Hall)
A chave dinamométrica representada é usada para apertar a porca A no respectivo parafuso. Se na escala S o ponteiro indicar o valor 81,35N.m quando a porca está totalmente apertada, determine a força P que o operador deve exercer e o deslocamento s que o ponteiro sofre. Assumir que apenas a porção AB da chave sofre deformação e que possui secção recta quadrada de 12,7mm de lado; o material constitutivo possui módulo de Young E=200GPa.
Solução: P = 177,9N; s = 6,78mm
PROBLEMA P5.
(Exercícios extraídos de “Mechanics of Materials”, 4th^ edition, R.C. Hibbeler, Prentice-Hall)
Solução: y 1 =1/EI(150 x 1 2 – 85 x 1 + 9,375 ) Nm 3 y 2 =1/EI(125 x 2 3 – 20 x 2 ) Nm 3
304,8mm
457,2mm
12,7mm
