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Cálculo de limites: leis básicas de limites
Apresentação
Na matemática, a análise gráfica de uma função é uma ferramenta poderosa, mas em algumas
situações, traçar o gráfico da função pode não ser uma tarefa trivial, se não tivermos acesso a uma
ferramenta digital.
No entanto, algumas funções possuem gráficos equivalentes, a menos de alguns pontos de seus
domínios. Nestes pontos em que as funções se distinguem, o conceito de limite e suas
propriedades podem auxiliar e, por isso, a importância de se estudar suas leis básicas.
Nesta Unidade de Aprendizagem você vai estudar quatro propriedades particulares de limites: a lei
da soma, a lei do múltiplo constante, a lei do produto e a lei do quociente. Essas propriedades serão
fundamentais no cálculo de limites numéricos que aparecem com frequência em problemas
aplicados.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
- Enumerar as leis básicas de limite.
- Utilizar as propriedades de limites no cálculo de limites numéricos.
- Analisar os resultados dos cálculos realizados.
Desafio
O conceito de funções é um dos mais importantes na resolução de problemas envolvendo
modelagem matemática. Empresas e fábricas modelam suas produções por funções, de modo que
entender o comportamento dessas funções auxilia na tomada de decisões por parte dos
administradores.
Na matemática, o estudo do comportamento de uma função f(x) à medida que o valor de x se
aproxima de um dado valor a é conhecido como limite.
Você é gerente de produção de uma montadora de automóveis e foi incumbido da missão de
maximizar a produção de automóveis.
Para essa tarefa, você vai precisar modernizar a fábrica com recursos limitados e, após estudos
preliminares, concluiu que representa o tempo mínimo para essas adequações.
Se t é dado em anos, qual o tempo necessário para que essas mudanças sejam concluídas?
Conteúdo do livro
O domínio das leis básicas de limites auxilia na determinação do comportamento das funções na
vizinhança de um ponto. Desta forma, é possível verificar se a função em estudo é contínua em
todo o seu domínio, por exemplo.
Acompanhe, no trecho selecionado da obra "Cálculo (Vol. 1)", uma discussão das leis básicas de
limites usadas para calcular os limites de funções construídas como somas, múltiplos, produtos ou
quocientes de outras funções. Inicie a leitura a partir do tópico: Leis básicas de limites.
Bons estudos.
60 CÁLCULO
2.3 Leis básicas de limites
Na Seção 2.2 investigamos limites e estimamos seus valores a partir de uma abordagem gráfica e numérica. Nas quatro próximas seções iremos além dessa abordagem intuitiva e desenvolveremos ferramentas para calcular os limites de uma maneira precisa. Nesta seção, discutimos as leis básicas de limites usadas para calcular os limites de funções construídas como somas, múltiplos, produtos ou quocientes de outras funções.
TEOREMA 1 Leis básicas de limites Suponha que existam e. Então: (i) Lei da Soma:
(ii) Lei do Múltiplo Constante: dado qualquer número k ,
(iii) Lei do Produto:
(iv) Lei do Quociente: se , então
As provas dessas leis serão discutidas na Seção 2.8 e no Apêndice D. Contudo, argumentando informalmente, podemos entender as idéias subjacentes. Por exemplo, para provar a lei da soma, observe que se f ( x ) estiver perto de L e g ( x ) estiver perto de M quando | x − c | for suficientemente pequeno, então f ( x ) + g ( x ) deverá estar perto de L + M quando | x − c | for suficientemente pequeno. De maneira análoga, f ( x ) g ( x ) deverá estar perto de LM , etc. Antes de passar aos exemplos, apresentamos duas observações úteis. Em primeiro lugar, as leis da soma e do produto são válidas para qualquer número de funções. Por exemplo,
CAPÍTULO 2 Limites 61
Em segundo lugar, a lei da soma tem o contraponto para diferenças:
Isso não está listado separadamente porque segue da combinação das leis da soma e do múltiplo constante:
■ EXEMPLO 1 Use as leis de limite para calcular os limites seguintes: (a) (b) (c)
Solução (a) Pelo Teorema 1 da Seção 2.2, para qualquer c. Como é igual ao produto , podemos aplicar a lei do produto
(b) Primeiro utilizamos a lei da soma (para três funções):
Em seguida calculamos cada limite usando as leis do múltiplo constante e do produto:
Obtemos
(c) Usamos as leis do quociente, da soma e do múltiplo constante:
■
O próximo exemplo reforça que as leis de limites somente são aplicáveis quando os limites de f ( x ) e g ( x ) existirem.
■ EXEMPLO 2 Hipóteses importam Mostre que a lei do produto não pode ser aplicada a se e.
Solução A função produto é para x ≠ 0, portanto o limite do produto existe:
As leis de limites são aplicadas passo a passo na solução do Exemplo 1 para ilustrar como elas são utilizadas. Na prática, consideramos as leis de limites como sendo evidentes e pulamos os passos intermediários.
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
Exercícios
- Ao calcularmos limites, muitas vezes necessitamos utilizar propriedades. Uma das mais utilizadas é conhecida como lei da soma. Utilizando a lei da soma, analise o comportamento
da função e marque a alternativa correta.
A) - 4
B) 2
C) 10
D) 14
E) 45
- Ao calcularmos um limite, pode ser necessário utilizar mais de uma propriedade. Assim,
utilizando as propriedades adequadas, determine o limite da função.
A) 2
B)
C)
D)
E) 0
- Em geral, listamos 4 leis básicas de limites: soma, múltiplo constante, produto e quociente. No entanto, a lei da soma tem seu contraponto para a diferença e as leis da soma e produto podem ser utilizadas para qualquer número de funções. Também podemos utilizar mais de
uma lei no mesmo problema. Com base no exposto, qual o valor de
A) Não existe este limite.
B) 0,
C) 0,
D) 0,
E) 0,
- Na prática do cálculo de limites, podemos utilizar uma ou mais leis para chegar ao resultado.
Assim, aplique as leis básicas de limites adequadas para calcular.
A) 0
B) Não existe limite.
C)
D)
E) 4
- No início do estudo das leis básicas de limites, as leis são aplicadas passo a passo para compreendermos como elas são utilizadas. Na prática, podemos considerar as leis de limites como sendo evidentes e pulamos os passos intermediários. Assim, calcule
A) 6
B) 5
C) 3
D) 2
E) 0
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Limites e Continuidade
No capítulo 1, esse livro aborda detalhadamente os conceitos de limites e continuidade.
Especificamente na seção 1.2 – Calculando Limites, são discutidas técnicas algébricas para o cálculo
de limites, incluindo as leis básicas de limites, estudadas nesta Unidade de Aprendizagem, que são
apresentadas no teorema 1.2.2.
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Leis do Limite
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Cálculo: Propriedades dos Limites (Aula 4 de 15)
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