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CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIDOM
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
DISCIPLINA DE CÁLCULO A UMA VARIÁVEL
1° PERÍODO
LISTA DE EXERCÍCIOS
_____________________________________________________________________
PREFÁCIO
Um profissional formado em Engenharia tem uma sólida formação científica e
tecnológica, construída a partir de um conjunto de disciplinas básicas e
complementares, que o capacitam a ter uma visão geral para encarar os problemas de
maneira global, em diversas áreas de atuação. Sendo assim, uma das inteligências
mais importante e exigida, que deve ser desenvolvida nesse profissional, para a
resolução de problemas é a lógico-matemática. Para desenvolver e aprimorar essa
inteligência é necessário, entre outras coisas, a prática intensa e análise de exercícios
das disciplinas com base matemática.
As listas de exercícios de cada unidade foram elaboradas para que você possa
treinar e aprimorar os seus conhecimentos, relacionando o que foi visto na teoria e
aplicando-os na prática. É recomendado os exercícios sejam resolvidos,
primeiramente, passo a passo na mão e sem o auxílio de softwares que dão a
resposta direta, e somente depois, quando possível, resolvê-los pelos softwares (por
exemplo Wolfram Alpha ou Graphmática) ou calculadora gráfica (por exemplo HP
50g).
Não deixe de procurar pela orientação de seu professor/tutor para esclarecer
as dúvidas que provavelmente irão surgir e, sempre que possível, busque resolver
também os exercícios presentes nos livros recomendados nas referências.
Bons estudos!
UNIDADE DE APRENDIZAGEM 1
PRÉ-CÁLCULO: CONJUNTOS E INTERVALOS
1) Determine se o número real é racional ou irracional:
a) 0,25 b)
3 𝜋
2
c) 4,
d) √ 64
3
e) √ 60
3
2) Determine o conjunto resultante das operações abaixo, sendo que 𝑨 =
{𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎} e 𝑩 = {𝟎, 𝟐, 𝟒, 𝟔, 𝟖}
a) A ∪ B b) A ∩ B c) A – B
3) Represente os seguintes intervalos:
a) números reais maiores do que 4, e menores do que 9
b) números reais menores ou iguais a - 2, e maiores do que 2
c) números reais maiores ou iguais a 0, e menores do que 5
4) Calcule os resultados dos valores absolutos:
a) | 6 | b) |− 3 | c) |− 5 − 9 |
c) | 4 + 8 |
5 ) Determine o conjunto de valores 𝒙 reais que satisfazem as sentenças:
a) |𝑥| = 2 b) |𝑥 − 3 | = 2
Para Pensar: Níveis de Produção
Além dos custos fixos de despesas gerais de $500 por dia, o custo da produção de x
unidades de um item é $2,50 por unidade. Durante o mês de agosto, o custo total de
produção variou de uma alta de $1325 para uma baixa de $1200 por dia. Determine os
níveis de produção alto e baixo durante o mês.
UNIDADE DE APRENDIZAGEM 3
PRÉ-CÁLCULO: FUNÇÕES ELEMENTARES
1) Quais das equações abaixo definem 𝒚 como uma função de 𝒙? Explique seu
raciocínio
a) 𝑥 + 𝑦 = 1 b) 𝑥² + 𝑦² = 1 c) 𝑥² + 𝑦 = 1 d) 𝑥 + 𝑦² = 1
2 ) Determine se a função 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙² − 𝟒 é par ou ímpar
3) Determine a função inversa de
a) 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 b) 𝑓(𝑥) =
1
3
𝑥 c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 4
d) 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 5 e) 𝑓(𝑥) = 𝑥³
Para Pensar: Medicamentos Controlados
O valor 𝑑 (em bilhões de dólares) gasto com medicamentos controlados nos Estados
Unidos de 1991 a 2005 (veja a figura) pode ser aproximado pelo modelo
2
em que t representa o ano, com t=1 correspondendo a 1991. Determine os valores
gastos com medicamentos controlados em 1997, 2000 e 2004.
Fonte: Larson (2011)
UNIDADE DE APRENDIZAGEM 4
CÁLCULO: LIMITES E CONTÍNUIDADE (PARTE I)
1 ) Determine os seguintes limites, utilizando a abordagem por tabelas ou
gráficos
a) lim
𝑥→ 1
2
𝑥→ 1
𝑥
2
− 1
𝑥− 1
c) lim
𝑥→ 1
|𝑥− 1 |
𝑥− 1
d) lim
𝑥→ 1
𝑥− 1
√
𝑥− 1
2) Determine os limites laterais e bilaterais dos seguintes gráficos:
a)
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007)
b)
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007)
3) Para a função f cujo gráfico está na figura abaixo, obtenha:
a) lim
𝑥→ 3
−
𝑓(𝑥) b) lim
𝑥→ 3
𝑓(𝑥) c) lim
𝑥→ 3
𝑓(𝑥) d) 𝑓( 3 )
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007)
UNIDADE DE APRENDIZAGEM 6
CÁLCULO: DERIVADAS (PARTE I)
1) Encontre uma equação para a reta tangente à parábola 𝒚 = 𝒙² no ponto 𝑷(𝟏, 𝟏) ,
e calcule a inclinação.
2) Determine a derivada das funções abaixo, utilizando a definição por limite, e
faça os gráficos de 𝒇 e 𝒇’ juntos.
a) 𝑓(𝑥) = 3 𝑥² − 2 𝑥 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 𝑥
3) Determine as derivadas de ordem superior das funções abaixo:
a) 𝑓
4
3
2
− 4 𝑥 + 2 b) 𝑓
6
2
Para Pensar: Receita da Polo Ralph Lauren
O gráfico representa a receita 𝑅 (em milhões de dólares por ano) da Polo Ralph
Lauren de 1999 a 2005, em que 𝑡 representa o ano, com 𝑡 = 9 correspondendo a
- Estime as inclinações do gráfico para os anos de 2002 e 2004. ( Fonte: Polo
Ralph Lauren Corp. )
Fonte: Larson (2011)
UNIDADE DE APRENDIZAGEM 7
CÁLCULO: DERIVADAS (PARTE II)
1 ) Encontre as derivadas das funções abaixo utilizando a regra do produto e
quociente:
a) 𝑓(𝑥) = ( 4 𝑥² − 1 )( 7 𝑥³ + 𝑥) b) 𝑓(𝑥) = ( 3 𝑥 − 2 𝑥
2
c) 𝑓(𝑥) = (
1
𝑥
𝑥− 1
2 𝑥+ 3
e) 𝑓(𝑥) =
𝑥
3
2
− 1
𝑥+ 5
f) 𝑓(𝑥) =
3 −(
1
𝑥
)
𝑥+ 5
2) Utilize a regra da cadeia para determinar a derivada das funções:
a) 𝑓(𝑥) = (𝑥² + 1 )³ b) 𝑓(𝑥) = cos(𝑥
3
3) Use a diferenciação implícita para encontrar
𝒅𝒚
𝒅𝒙
a) 5 𝑦
2
- sen 𝑦 = 𝑥² b) 𝑦³ + 𝑦² − 5 𝑦 − 𝑥² = − 4
4) Encontre 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝒙
𝟐
−𝟒
𝒙−𝟐
aplicando a Regra de L’Hôpital
Para Pensar: Pesquisa & Desenvolvimento
A tabela mostra o montante 𝐴 (em bilhões de dólares por ano) gasto em P&D nos
Estados Unidos de 1980 a 2004, em que t é o ano, e 𝑡 = 0 corresponde a 1980.
Aproxime a taxa de variação média de 𝐴 durante cada período. ( Fonte: U.S. National
Science Foundation )
a) 1980 – 1985 b) 1985 – 1990 c) 1990 – 1995
d) 1995 – 2000 e) 1980 – 2004 f) 1990 – 2004
Fonte: Larson (2011)
UNIDADE DE APRENDIZAGEM 9
CÁLCULO: INTEGRAL (PARTE I)
1) Determine as integrais indefinidas
a) ∫
1
2
𝑑𝑥 b) ∫
1 𝑑𝑥 c) ∫
d) ∫
3 𝑥 𝑑𝑥 e) ∫
1
𝑥³
𝑑𝑥 f) ∫ √
g) ∫
𝑑𝑥 h) ∫( 3 𝑥
4
2
2) Calcule as integrais definidas
a) ∫
2
0
b) ∫
1
0
c) ∫
2 𝑥
3
0
d) ∫
1
𝑥
2
1
e) ∫ − 3 √
4
1
Para Pensar: Tomada de Decisão
O custo unitário 𝑐 de se produzir CD players durante um período de dois anos é
modelado por
2
em que 𝑡 é o tempo em meses. Aproxime o custo médio por unidade durante o
período de dois anos. O custo médio por unidade será menor que $15?
Dica: o custo médio pode ser encontrado por meio da integração de 𝑐 no intervalo
[ 0 , 24 ]
UNIDADE DE APRENDIZAGEM 10
CÁLCULO: INTEGRAL (PARTE II)
1) Determine as integrais indefinidas:
a) ∫ √
1 − 3 𝑥 𝑑𝑥 b) ∫
2
− 1 𝑑𝑥 c) ∫
𝑥
d) ∫
2
ln 𝑥 𝑑𝑥 e) ∫
3
cos( 𝑥
4
2 𝑥 cos(𝑥
2
g) ∫
2
sen(𝑥
3
) 𝑑𝑥 h) ∫
2
5
𝑑𝑥 i) ∫
𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
2) Determine as integrais definidas:
a) ∫ 𝑥²√𝑥
3
2
0
𝑑𝑥 b) ∫ tg³ 𝑥
𝜋 ⁄ 4
0
sec² 𝑥 𝑑𝑥 c) ∫ √ 2 𝑥 + 1
4
0
d) ∫
𝑑𝑥
( 3 − 5 𝑥)²
2
1
𝑑𝑥 e) ∫
tg
− 1
1
0
𝑑𝑥 f) ∫
ln 𝑥
3
1
Para Pensar: Marketing
Após um teste de marketing de um novo item no cardápio, um restaurante de fast-food
prevê que as vendas do novo item crescerão conforme o modelo
𝑑𝑆
𝑑𝑡
2 𝑡
(𝑡+ 4 )²
em que 𝑡 é o tempo em semanas e 𝑆 são as vendas (em milhares de dólares).
Determine as vendas do item do cardápio em dez semanas.
UNIDADE DE APRENDIZAGEM 12
CÁLCULO: INTEGRAL (PARTE IV)
- Calcule a área da região entre os gráficos de 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 4 𝑥 + 10 e 𝑔(𝑥) = 4 𝑥 − 𝑥²
acima de [1, 3].
- Encontre a área entre os gráficos de 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 5 𝑥 − 7 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 12 , ao longo
de [-2, 5].
- Encontre a área da região limitada acima por 𝑦 = 𝑒
𝑥
, e abaixo por 𝑦 = 𝑥, e limitada
nos lados por 𝑥 = 0 e 𝑥 = 1
Encontre a área da região entre as parábolas 𝑦 = 𝑥² e 𝑦 = 2 𝑥 − 𝑥²
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo 𝑥 da região sob a
curva 𝑦 = √
𝑥 de 0 até 1.
- Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo 𝑦 da região
limitada por 𝑦 = 2 𝑥² − 𝑥³ e 𝑦 = 0.
- Encontre o volume de um sólido obtido pela rotação em torno do eixo 𝑦 da região
entre 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = 𝑥²
- Calcule o comprimento de arco do gráfico de 𝑓
1
12
3
− 1
ao longo de [1, 3].
- Encontre a área S da superfície do cone obtido pela rotação da reta 𝑦 = 2 𝑥 em
torno do eixo 𝑥, para 0 ≤ 𝑥 ≤ 4.
- O arco da parábola 𝑦 = 𝑥² de (1,1) para (2,4) é girado em torno do eixo 𝑦.
Encontre a área da superfície resultante.
Para Pensar: Tomada de Decisão
Uma pessoa com diploma universitário recebe duas ofertas de emprego. O salário
inicial de ambas é $ 32.000 e, após oito anos de serviço, cada um pagará $ 54.000. O
aumento de salário de cada oferta é mostrado na figura. De um ponto de vista
estritamente monetário, qual é a melhor oferta? Explique.
Fonte: Larson (2011)
Fonte: Larson (2011)
3.a)
Fonte: Larson (2011)
3.b)
Fonte: Larson (2011)
- Somente os gráficos a) e c) representam uma função de 𝑦 em 𝑥.
5 .a) 𝑥 + 5
5.b) 2 𝑥
2
Para Pensar → 𝑅𝑇 = 𝑅 1 + 𝑅 2 = − 0 , 8 𝑡² − 7 , 22 𝑡 + 1148
Unidade de Aprendizagem 3
1.a) Sim, cada valor de x determina um único valor de y
1.b) Não, alguns valores de x determinam dois valores de y
1.c) Sim, cada valor de x determina um único valor de y
1.d) Não, alguns valores de x determinam dois valores de y
- A função é par
3.a)
1
2
3.b) 3 𝑥
3.c) 𝑥 − 4
3.d)
1
2
3.e) √𝑥
3
Para Pensar → $76,22 bilhões em 1997; $122 bilhões em 2000 e $188,8 bilhões em
Unidade de Aprendizagem 4
1.a) 2
1.b) 2
1.c) ∄
1.d) 2
2.a) As funções nas três figuras têm os mesmos limites laterais lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 3 e
lim
𝑥→𝑎
−
𝑓(𝑥) = 1. Como os limites laterais são diferentes nos três casos, o limite bilateral
não existe.
2.b) As funções nas três figuras têm os mesmos limites laterais lim
𝑥→𝑎
= 2 e
lim
𝑥→𝑎
−
= 2. Como os limites laterais são iguais, nos três casos, o limite bilateral é
lim
𝑥→𝑎
3.a) −∞
3.b) −∞
3.a) 𝑓’(𝑥) = 12 𝑥³ − 6 𝑥² + 2 𝑥 − 4 ; 𝑓’’(𝑥) = 36 𝑥² − 12 𝑥 + 2 ; 𝑓’’’(𝑥) = 72 𝑥 − 12 ; 𝑓
4
5
𝑛
3.b) 𝑓’(𝑥) = 30 𝑥
5
4
3
4
2
5
6
7
𝑛
Para Pensar → 2002: 𝑚 ≈ 200 ; 2004: 𝑚 ≈ 500
Unidade de Aprendizagem 7
1.a) 140 𝑥
4
2
1.b) 15 + 4 𝑥 − 24 𝑥²
1.c)
𝑥
2
𝑥²
1.d)
5
( 2 𝑥+ 3 )²
1.e)
2 𝑥
3
2
(𝑥+ 5 )²
1.f)
− 3 𝑥
2
(𝑥
2
2.a) 6 𝑥(𝑥² + 1 )²
2.b) − 3 𝑥² sen(𝑥
3
3.a)
2 𝑥
10 𝑦+cos 𝑦
3.b)
2 𝑥
3 𝑦
2
Para Pensar → a) $10,4 bilhões/ano; b) $7,4 bilhões/ano; c) $6,4 bilhões/ano; d) $16,
bilhões/ano; e) $10,4 bilhões/ano; f) $11,4 bilhões/ano
Unidade de Aprendizagem 8
1.a) decrescente em (−∞, 2 ] ; crescente em [ 2 , +∞)
1.b) crescente em (−∞, +∞)
1.c) crescente em (−∞, 0 ) e ( 1 , +∞); decrescente em ( 0 , 1 )
1.d) crescente em (− 2 , 0 ) e ( 2 , +∞); decrescente em (−∞, − 2 ) e ( 0 , 2 )
2.a) máximo relativo em 𝑓(− 2 ) = 58 ; mínimo relativo em 𝑓( 3 ) = − 67
2.b) mínimo relativo em 𝑓( 3 / 4 ) = − 27 / 256
3.a) mínimo em 𝑓( 3 ) = − 7 e máximo em 𝑓( 0 ) = 2
3.b) mínimo em 𝑓( 2 ) = 2 e máximo em 𝑓(− 1 ) = 8
4.a) côncavo para cima em
e ( 1 , +∞); côncavo para baixo em (− 1 , 1 ). Ponto
de inflexão 𝑥 = ± 1
4.b) côncavo para cima em (−∞, 1 ) e ( 1 / 2 , +∞); côncavo para baixo em (− 1 , 1 / 2 ).
Ponto de inflexão 𝑥 = − 1 𝑒 𝑥 = 1 / 2
5.a)
Fonte: Larson (2011)
5.b)
Fonte: Larson (2011)
Para Pensar → 𝐶 = 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑑’á𝑔𝑢𝑎 + 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎 = 25 ( 5280 )√𝑥
2
2
