Baixe Cálculo Integral e Diferencial Aplicado a Funções Matemáticas - Prof. Cambolo e outras Exercícios em PDF para Cálculo Avançado, somente na Docsity!
C´alculo Diferencial e Integral II
Ficha de Exerc´ıcios n.o^1
Integra¸c˜ao definida e integrais impr´oprios
Ano lectivo 2021/2.o^ Semestre
1. Calcule F ′(x), sabendo que:
1.1 F (x) =
∫ (^) x
− 2
3 t t^6 + 1 dt
1.2 F (x) =
∫ (^) x
2
sen(t^2 )dt
1.3 F (x) =
x
cos(t^4 )dt
1.4 F (x) =
∫ (^) x 2
1
sen(t^2 )dt
1.5 F (x) =
∫ (^2) x
0
cos(t^2 )dt
1.6 F (x) =
∫ (^) x 3
x^2
t^4 + 5 dt
1.7 F (x) = x^3
∫ (^) x
1
e−s^2 ds
1.8 F (x) =
∫ (^) x
0
x^2 e−s^2 ds
1.9 F (x) =
x
arctg(t^3 )dt
1.10 F (x) =
∫ (^) x
0
(x − t)e−t 2 dt
1.11 F (x) =
∫ (^2) x
sen x
cos(t^2 )dt
1.12 F (t) =
∫ (^) sen t
t^2
x^4 + 1 dx
1.13 F (x) =
∫ (^) sen x
cos x
tg(t^2 )dt
2. Calcule os seguintes limites, se existirem:
2.1 xlim→ 0
∫ (^) x
0
e^3 t 2
dt x^3 + 2x^2
2.2 xlim→ π
2
2 x x − π 2
∫ (^) x π 2
sen t t dt
2.3 xlim→π
∫ (^) x
0
tg^2 t − tg t t dt (x − π)^2
2.4 xlim→ 0
∫ (^) x
0
arctg(sen t)dt sen^2 x
2.5 lim
x→ 0
x^2
∫ (^) sen (^2) x
0
e−t^2 dt
2.6 lim x→ 1
∫ (^) x
1
sen(t^2 − 1)dt (x^3 − 1) sen(x − 1)
2.7 lim x→ 0
∫ (^) x 2
0
sen
t
dt x^3
3. Calcule cada um dos seguintes integrais definidos.
− 1
(7 − 3 x) dx
0
2 x + 1 x^2 + 1 dx
∫ (^) e
1
x
ln x dx
∫ (^) π
−π
sin^2 x dx
√ 3
x^2 − 3 x dx
∫ π 4
0
sin(2x) cos(2x) dx
∫ (^) e
1
ln x dx
− 1
x arctan x dx
2
5 + 4x − x^2
dx
∫ (^) e
1
ex 1 − ex^ dx
0
arctan
x dx
0
x √ 4 x^2 + 9
dx
0
x^3 1 + x^8
dx
∫ (^) π
0
e^2 x^ sin x dx
∫ π 2
0
cos^5 x sin(2x) dx
0
| 1 − x| dx
3
x
x − 3 dx
2
dx 2 x^2 + 3x − 2
2
x^2 − x dx
∫ (^) π
−π
x^3 sin x dx
− (^12)
x 23 x (^2) + dx
0
x ex^2 dx
0
(x +
1 − x^2 ) dx
(^32)
x^5 + x^4 − 8 x^3 − 4 x dx
4. Calcule os seguintes integrais definidos, utilizando o m´etodo de substitui¸c˜ao.
1
1 + x 1 +
x dx
12 x
2
x − 1 dx (Sugest˜ao: x−^1 − 1 = t)
∫ √e
1
x
1 − ln^2 x
dx (Sugest˜ao: ln x = t)
0
1 + e^2 x 1 + e^4 x^ dx
1
ex(e−x^ + 2) dx
∫ π 6
0
1 + tan(2x) 1 − tan(2x) dx
√ 3
x^2 − 3 x dx
0
x^2 − 4 x + 5
dx
0
x √ x + 1
dx (Sugest˜ao: x + 1 = t)
− 1
x(2x + 5)^10 dx
0
x(5x^2 − 3)^7 dx
4
e
√x− 3 √ x − 3
dx
2
x 3
x dx
− 1
x^2
4 − x^2 dx
1
x
2 x + 1
dx (Sugest˜ao: 2x + 1 = t)
∫ π 2
0
sin^3 x 5 − sin^2 x
dx
(Sugest˜ao: cos x = t)
∫ π 4
12 π
sin^7 (2x) cos(2x) dx
0
x^2 + 2
dx
2
x(x − 1) (^45) dx
2
ln^3 x x(ln^2 x + 5 ln x)
dx
∫ π 2
− π 3
sin x cos x dx
(Sugest˜ao: tan
( (^) x 2
) = t)
∫ π 2
0
(1 + sin x) cos x dx (Sugest˜ao: tan
( (^) x 2
) = t)
6. Calcule a ´area das regi˜oes sombreadas por projec¸c˜ao sobre o eixo das ordenadas.
7. Considere a fun¸c˜ao f definida, em R, por f (x) = 1 − 14 x^2. Calcule a ´area da regi˜ao limitada pelo
gr´afico de f , o eixo Ox e as retas de equa¸c˜oes x = −4 e x = 2.
8. Considere reta de equa¸c˜ao y = −x +
e a curva y =
x − 2 , com x > 2. Seja D a regi˜ao compreendida entre a recta e a curva. Determine a ´area de D.
9. Considere a regi˜ao R limitada pelo eixo Ox, pelo gr´afico da fun¸c˜ao definida por y =
x e pela recta de equa¸c˜ao x = 4. Determine a ´area de R.
10. Determine a ´area da regi˜ao limitada pelas curvas dadas.
10.1 y^2 = 2x e x^2 = 2y
10.2 y = 5 − x^2 e y = x + 3
10.3 y = 1 − x^2 e y = − 3
10.4 y = ex, x = 0, x = 1 e y = 0
10.5 x = y^3 e x = y
10.6 y = ln x, y = 0 e x = 4
10.7 y = sen x e y = − sen x, x ∈ [0, 2 π]
10.8 y = e−x, y = x + 1 e x = − 1
10.9 y = 4 − x^2 e x^2 − 14
10.10 x = y^2 + 1 e x + y = 7
10.11 y = arcsen x, y =
π 2 e x = 0
10.12 x = y^2 e y = −
x 2
11. Determine o volume do s´olido de revolu¸c˜ao gerado por rota¸c˜ao da regi˜ao R em torno do eixo
Ox.
14.7 Regi˜ao limitada por: y^2 = 16x e y = 4x
Eixo de rota¸c˜ao: eixo Ox
14.8 Regi˜ao limitada por: y = 1 − x^2 , x = −2,x = 2 e y = 2
Eixo de rota¸c˜ao: recta de equa¸c˜ao y = 2
14.9 Regi˜ao limitada por: y = x^2 + 3, x = −2,x = 2 e y = 2
Eixo de rota¸c˜ao: recta de equa¸c˜ao y = 2
14.10 Regi˜ao limitada por: y = cos x, y = −2,x = 0 e x = 2π
Eixo de rota¸c˜ao: recta de equa¸c˜ao y = − 2
15. Determine o comprimento do arco L da curva:
15.1 f (x) =
x^3 de x = 0 at´e x = 5;
15.2 y^3 = 8x^2 de x = 1 at´e x = 8;
15.3 6 xy = x^4 + 3 de x = 1 at´e x = 2;
15.4 y =
x^2 −
ln x de x = 1 at´e x = e;
15.5 f (x) = ln(cos x) de x =
π 6 at´e x = π 4
DEFINIC¸ AO (Massa de um objecto unidimensional)˜ Suponha que uma barra fina ´e representada por um segmento de recta no intervalo [a, b], com fun¸c˜ao densidade ρ (em unidade de massa por unidade de comprimento). A massa do objecto ´e m =
∫ (^) b
a
ρ(x)dx.
16. Uma barra fina ´e feita de uma liga cuja densidade, em Kg/m ´e dada por ρ(x). Determina a
massa da barra, sabendo que:
16.1 ρ(x) = 1 + sin x, 0 ≤ x ≤ π
16.2 ρ(x) = 2 −
x 2 , 0 ≤ x ≤ 2
16.3 ρ(x) = x
2 − x^2 , 0 ≤ x ≤ 1
16.4 ρ(x) = 1 + x^2 , 0 ≤ x ≤ 2
DEFINIC¸ AO (Trabalho de uma for¸˜ ca vari´avel) O trabalho realizado por uma for¸ca F vari´avel para mover um objecto, ao longo de uma recta de x = a at´e x = b, na direc¸c˜ao da for¸ca ´e W =
∫ (^) b
a
F (x)dx.
17. Um objecto ´e movido de uma posi¸c˜ao x = 0 para outra x = 3 (em metros), por uma for¸ca
F (x) = 2x (em Newton), que actua na dire¸c˜ao do eixo x. Qual ´e o trabalho realizado pela for¸ca?
18. Um objecto ´e movido de uma posi¸c˜ao x = 1 para outra x = 3 (em metros), por uma for¸ca
F (x) =
x^2
(em Newton), que actua na dire¸c˜ao do eixo x. Qual ´e o trabalho realizado pela for¸ca?
19. Determine o trabalho realizado por uma for¸ca dada por F (x) = 100x (em Newton), para esticar
uma mola x = 0, 25metros da sua posi¸c˜ao de equil´ıbrio.
20. Calcule, se poss´ıvel, cada um dos seguintes integrais impr´oprios. Classifique os integrais.
1
x x + 1 dx
−∞
2 x x^2 + 1 dx
0
x^2 − 4 x + 3
dx
−∞
x x^4 + 1 dx
√ 2
x
x^2 − 1
dx
−∞
x^2 + 2x + 5 dx
1
x^2 √ x^3 − 1
dx
1
x^3 + x dx
1
xn^
dx, ∀n ∈ N
0
ln x dx
0
e−x^ sin x dx
√ 3 6
x^2
4 x^2 + 1
dx
− 1
e (^1) x x^3 dx
0
x^3 e−x^2 dx
e
x
ln x − 1
dx
0
2 − x
dx
1
x
x − 1
dx
−∞
(x − 1)(x − 3) dx
0
x (x + 1)^3
dx
−∞
√^ e^3 x 1 − e^3 x^
dx
− 2
2 x^2 + 8x + 10
dx
0
x sin x dx
∫ (^) e
1
x 3
ln x
dx
0
xn^ dx, ∀n ∈ N
Tabela de integrais imediatos
Sejam u e v fun¸c˜oes de x e C ∈ R.
0 dx = C
dx = x + C
u′undx = un+ n + 1
u′audx = au ln a
u′eudx = eu^ + C
u′ u
dx = ln |u| + C
u′^ sen udx = − cos u + C
u′^ cos udx = sen u + C
u′^ sec^2 udx = tg u + C
u′^ cosec^2 udx = − cotg u + C
u′^ sec u tg udx = sec u + C
u′^ cosec u cotg udx = − cosec u + C
u′ 1 + u^2 dx = arctg u + C
u′ √ 1 − u^2
dx = arcsen u + C
u′ u
u^2 − 1
dx = arcsec u + C
u′^ sec udx = ln | sec u + tg u| + C
u′^ cosec udx = − ln | cosec u + cotg u| + C
Solu¸c˜oes
3 x x^6 + 1
1.2 sen(x^2 )
1.3 − cos(x^4 )
1.4 2 x sen(x^4 )
1.5 2 cos(4x^2 )
3 x^2 x^12 + 5
2 x x^8 + 5
1.7 3 x^2
∫ (^) x
1
e−s 2 ds + x^3 e−x 2
1.8 2 x
∫ (^) x
0
e−s 2 ds + x^2 e−x 2
1.9 − arctg(x^3 )
∫ (^) x
0
e−t 2 dt
1.11 2 cos(4x^2 ) − cos(sen^2 x) cos x
cos t 1 + sen^4 t
2 t t^8 + 1
1.13 cos x tg(sen^2 x) + sen x tg(cos^2 x)
2 π
2.7 N˜ao existe
π 4
π
π − 2 2
π 6
3.10 ln
e − 1 ee^ − 1
π − 2 2
π 16
1 + e^2 π 5
ln
3.19 ln
3.20 2 π^3 − 12 π
e − 1 2
π + 2 4
4 − π − 3
π 6
arctan(e^2 ) − arctan(e−^2 ) 2
log
2 e − 1 2 e^2 − 1
13.1 36 π 13.2 π^2
64 π 5
32 π 3
172 π 3
8 π 5
152 π 15
16 π 3
3 π 2
2304 π 5
8 π 3
412 π 15
412 π 15
14.10 9 π^2
e^2 −
15.5 ln
16.1 (π + 2)Kg 16.2 3 Kg 16.3 2
Kg 16.^
Kg
17. 9 Joule 18. 4
Joule 19.^3 ,^ 125 Joule
20.1 Divergente.
20.2 Divergente.
20.3 Divergente.
π 4
. Convergente.
π 4
. Convergente.
π 2
. Convergente.
. Convergente.
20.8 ln
- Convergente.
n − 1 se n > 1 e Convergente. Divergente se n = 1
20.10 −1. Convergente.
. Convergente.
20.12 2. Convergente.
e
. Convergente.
. Convergente.
20.15 Divergente
- Convergente.
20.17 π. Convergente.
20.18 Divergente.
20.19 Divergente.
. Convergente.
π 4
. Convergente.
20.22 Divergente.
20.24 Divergente
Referˆencias
[1] Diva Flemming e Mirian Gon¸calves. C´alculo A, 6.a^ Edi¸c˜ao. Pearson. S˜ao Paulo, 2006.
[2] Jo˜ao Paulo Santos. C´alculo Numa Vari´avel Real. IST Press. Lisboa, 2012.
[3] Ana Castro, Ana Viamonte e Ant´onio Sousa. C´alculo I - Conceitos Exerc´ıcios e Aplica¸c˜oes.
Publind´ustria, Edi¸c˜oes T´ecnicas. Porto, 2013.
[4] William Briggs, Lyle Cochran e Bernard Gillett. Calculus for Scientists and Engineers. Pearson
Education, 2013
[5] Ana Alves de S´a e Bento Louro. C´alculo Diferencial e Integral em R – Exerc´ıcios Resolvidos. Volume 3. Matcubo, Lda. Lisboa, 2016.
