Baixe Optimização de Rota de Ônibus: Análise de Passageiros e Tarifas e outras Exercícios em PDF para Pesquisas Operacionais, somente na Docsity!
Curso Bacharelado em Engenharia de Produção (Questão 1) A empresa transportadora Sião Thur que opera no trecho Macapá – Santana está analisando pegar mais alguns passageiros durante o percurso, considerando o último ônibus que saiu do terminal. Há um total de oito passageiros aguardando, sendo que cada um deles percorrerá um trecho diferente, pagando por diferentes tarifas, conforme mostra a Tabela 1. O peso dos passageiros também deve ser considerado, já que o peso máximo de 280kg pode ser adicionado, a fim de não ultrapassar a capacidade máxima do ônibus em circulação. Determine os passageiros que devem ser selecionados, a fim de maximizar o lucro da empresa, respeitando as restrições de capacidade Tabela 1 Preço da passagem (R$) e peso (kg) por passageiro Passageiro Preço da Passagem Peso 1 48,00 80 2 40,00 70 3 52,00 84 4 45,00 72 5 55,00 90 6 40,00 65 7 30,00 50 8 35,00 55 SOLUÇÃO
1º Parte – Definindo a função objetivo
Máx. z = 48x 1 +40x 2 +52x 3 +45x 4 +55x 5 +40x 6 +30x 7 +35x 8 s.a.: 80x 1 +70x 2 +84x 3 +72x 4 +90x 5 +65x 6 +50x 7 +55x 8 ≤ 280 Xjϵ{0,1} (j=1,2,3,4,5,6,7,8) Reorganizando a função objetivo em ordem decrescente: Máx. z = 55x 5 +52x 3 +48x 1 +45x 4 +40x 6 +40x 2 +35x 8 +30x 7 s.a.: 90x 5 +84x 3 +80x 1 +72x 4 +65 x 6 +70x 2 +55x 8 +50x 7 ≤ Xjϵ{0,1} (j=1,2,3,4,5,6,7,8)
2º Parte - Iterações
Um valor possível para a função objetivo é 0, pois todas as variáveis poderiam ser zero e
ainda assim as restrições seriam atendidas, dessa forma incialmente z*=0.
A solução parcial considera que (x 5 ,x 3 ,x 1 ,x 4 ,x 6 ,x 2 ,x 8 ,x 7 )=(1,?,?,?,?,?,?,?). Essa é a SPA.
Iteração 1
Definindo o valor do limitante s^1 =551+521+481+451+401+401+351+301= 345.
L (variáveis livres) é representado por x 3 , x 1 , x 4 , x 6 , x 2 , x 8 , x7. Assim,
∑ j ϵ L (min 0, ai j )= ∑ jϵ(x3,x1,x4,x6,x2,x8,x7)min(0, ai j )
=min(0,52)+min(0,48)+min(0,40)+min(0,40)+min(0,
0)+min(0,35)+min(0,30)
Considerando também que a solução parcial possui apenas a variável x 5 , ou seja, S={x 5 }, o
lado direito é calculado como se segue:
∑ j ϵSai j x j = ∑ jϵ{x5}aijxj=a 15 x 5 =90*
Aplica-se a inequação:
∑ j ϵ L (min 0, ai j ) ≤bi- ∑ j ϵSai j x j
O valor de b 1 é obtido diretamente no lado direito da restrição (nesse caso b 1 =280), nesse caso
tem-se que:
Como a única restrição é atendida, é possível dizer que esta é uma solução parcial viável e
incompleta , tendo em vista que a SPA ainda possui variáveis livres. Desta forma, atribui-se o
valor de 1 a próxima variável livre, isto é, (x 5 ,x 3 ,x 1 ,x 4 ,x 6 ,x 2 ,x 8 ,x 7 )=(1, 1 ,?,?,?,?,?,?).
Iteração 2
Definindo o valor do limitante s^2 =551+521+481+451+401+401+351+301= 345.
L (variáveis livres) é representado por x 1 , x 4 , x 6 , x 2 , x 8 , x7. Assim,
∑ j ϵ L (min 0, ai j )= ∑ jϵ(x1,x4,x6,x2,x8,x7)min(0, ai j )
=min(0,48)+min(0,40)+min(0,40)+min(0,40)+min(0,
5)+min(0,30)
Agora a solução parcial possui duas variáveis: x 5 e x 3 , ou seja, S={x 5 , x 3 }, o lado direito é
calculado como se segue:
∑ j ϵSai j x j = ∑ jϵ{x5}aijxj=a 15 x 5 =901+84
Dessa forma tem-se a seguinte inequação:
Como a única restrição é atendida, é possível dizer que esta é uma solução parcial viável e
incompleta, tendo em vista que a SPA ainda possui variáveis livres. Desta forma, atribui-se o
valor de 1 a próxima variável livre, isto é, (x 5 ,x 3 ,x 1 ,x 4 ,x 6 ,x 2 ,x 8 ,x 7 )=(1, 1 , 1 ,?,?,?,?,?).
Iteração 3
Definindo o valor do limitante s^3 =551+521+481+451+401+401+351+301= 345.
L é representado por x 4 , x 6 , x 2 , x 8 , x7. Assim,
A partir disto é possível acompanhar o restante das iterações (e as iterações anteriores) observando a tabela abaixo:
Tabela 2 Iterações Iteração Solução parcial Limitante z* Restrição Eliminação 1 (1,?,?,?,?,?,?,?) 345 0 R=0≤280-90* 2 (1,1,?,?,?,?,?,?) 345 0 R=0≤280-901-84 3 (1,1,1,?,?,?,?,?) 345 0 R=0≤280-901-841-80* 4 (1,1,1,1,?,?,?,?) 345 0 R=0≤280-901-841-801-721 (Não atende) Restrição 5 (1,1,1,0,1,?,?,?) 300 0 R=0≤280-901-841-801-720-651 (Não atende) Restrição 6 (1,1,1,0,0,1,?,?) 260 0 R=0≤280-901-841-801-720-650-701 (Não atende) Restrição 7 (1,1,1,0,0,0,1,?) 220 0 R=0≤280-901-841-801-720-650-700-551 (Não atende) Restrição 8 (1,1,1,0,0,0,0,1) 185 0 R=0≤280-901-841-801-720-650-700-550-501(Não atende) Restrição 9 (1,1,1,0,0,0,0,0) 155 0 R=0≤280-901-841-801-720-650-700-550-50 10 (1,1,0,1,?,?,?,?) 297 155 R=0≤280-901-841-800-72 11 (1,1,0,1,1,?,?,?) 297 155 R=0≤280-901-841-800-721-651 (Não atende) Restrição 12 (1,1,0,1,0,1,?,?) 257 155 R=0≤280-901-841-800-721-650-701 (Não atende) Restrição 13 (1,1,0,1,0,0,1,?) 187 155 R=0≤280-901-841-800-721-650-700-551 (Não atende) Restrição 14 (1,1,0,1,0,0,0,1) 182 155 R=0≤280-901-841-800-721-650-700-550-501(Não atende) Restrição 15 (1,1,0,1,0,0,0,0) 152 155 Limitante 16 (1,0,1,?,?,?,?,?) 239 155 R=0≤280-901-840-80* 17 (1,0,1,1,?,?,?,?) 239 155 R=0≤280-901-840-801-72 18 (1,0,1,1,1,?,?,?) 188 155 R=0≤280-901-840-801-721-651 (Não atende) Restrição 19 (1,0,1,1,0,1,?,?) 188 155 R=0≤280-901-840-801-721-650-701 (Não atende) Restrição 20 (1,0,1,1,0,0,1,?) 183 155 R=0≤280-901-840-801-721-650-700-551 (Não atende) Restrição 21 (1,0,1,1,0,0,0,1) 178 155 R=0≤280-901-840-801-721-650-700-550-501( Não atende) Restrição 22 (1,0,1,1,0,0,0,0) 148 155 Limitante 23 (1,0,0,1,?,?,?,?) 245 155 R=0≤280- 90 - 72 24 (1,0,0,1,1,?,?,?) 245 155 R=0≤280- 90 - 72 - 65
25 (1,0,0,1,1,1,?,?) 245 155 R=0≤280- 90 - 72 - 65 - 70 Restrição 26 (1,0,0,1,1,0,1,?) 205 155 R=0≤280- 90 - 72 - 65 - 55 Restrição 27 (1,0,0,1,1,0,0,1) 205 155 R=0≤280- 90 - 72 - 65 - 50 28 (1,0,0,1,1,0,0,0) 170 155 R=0≤280- 90 - 72 - 65 - 50 29 (1,0,0,1,0,1,?,?) 205 170 R=0≤280- 90 - 72 - 70 30 (1,0,0,1,0,1,1,?) 205 170 R=0≤280- 90 - 72 - 70 - 55 Restrição 31 (1,0,0,1,0,1,0,1) 170 170 R=0≤280- 90 - 72 - 70 - 50 Restrição 32 (1,0,0,0,1,?,?,?) 200 170 R=0≤280- 90 - 65 33 (1,0,0,0,1,1,?,?) 200 170 R=0≤280- 90 - 65 - 70 34 (1,0,0,0,1,1,1,?) 200 170 R=0≤280- 90 - 65 - 70 - 55 35 (1,0,0,0,1,1,1,1) 200 170 R=0≤280- 90 - 65 - 70 - 55 - 50 Restrição 36 (1,0,0,0,1,1,1,0) 170 170 R=0≤280- 90 - 65 - 70 - 55 37 (1,0,0,0,1,1,0,1) 165 170 Limitante 38 (1,0,0,0,1,0,1,?) 160 170 Limitante 39 (1,0,0,0,1,0,0,1) 125 170 Limitante 40 (1,0,0,0,0,1,?,?) 160 170 Limitante 41 (0,1,?,?,?,?,?,?) 290 170 R=0≤280- 84 42 (0,1,1,?,?,?,?,?) 290 170 R=0≤280- 84 - 80 43 (0,1,1,1,?,?,?,?) 290 170 R=0≤280- 84 - 80 - 72 44 (0,1,1,1,1,?,?,?) 290 170 R=0≤280- 84 - 80 - 72 - 65 Restrição 45 (0,1,1,1,0,1,?,?) 185 170 R=0≤280- 84 - 80 - 72 - 70 Restrição 46 (0,1,1,1,0,0,1,?) 180 170 R=0≤280- 84 - 80 - 72 - 55 Restrição 47 (0,1,1,1,0,0,0,1) 175 170 R=0≤280- 84 - 80 - 72 - 50 Restrição 48 (0,1,1,1,0,0,0,0) 145 170 Limitante 49 (0,1,0,1,?,?,?,?) 242 170 R=0≤280- 84 - 72 50 (0,1,0,1,1,?,?,?) 242 170 R=0≤280- 84 - 72 - 65 51 (0,1,0,1,1,1,?,?) 242 170 R=0≤280- 84 - 72 - 65 - 70 Restrição 52 (0,1,0,1,1,0,1,?) 202 170 R=0≤280- 84 - 72 - 65 - 55 53 (0,1,0,1,1,0,1,1) 202 170 R=0≤280- 84 - 72 - 65 - 55 - 50 Restrição
(Questão 2) Considere o seguinte problema:
Máx. z = 5 x 1 + 7 x 2
s.a.: 2 x 1 + 1 x 2 ≤ 13 (A1) 3 x 1 + 9 x 2 ≤ 41 (B1)
{x 1 , x 2 }ϵZ+
SOLUÇÃO
A solução se inicia com a definição das limitantes superiores e inferiores. Sabe-se que todos
os limitantes inferiores são 0, mas qual seria o maior valor possível para x 1 e x 2?
Usando A1, o maior valor possível para x 1 é 6 (x 2 =0, tem que ser a parte inteira). Já a
restrição B1 permite inferir que x 1 ≤ 13 , ou seja, menor ou igual a 13. Portanto, o maior valor
possível é 6 e a restrição de limitantes para x 1 pode ser definida como:
0≤x 1 ≤ 6
Usando um raciocínio semelhante para x 2 , temos que x 2 ≤ 13 em A e x2≤ 4 em B1, fazendo
com que a restrição de limitantes seja definida da seguinte forma:
0≤x 2 ≤ 4
Um novo problema (problema P) pode ser formulado, de modo que a solução seja a mesma
do problema original:
Máx. z = 5x 1 + 7 x 2
s.a.: 2 x 1 + 1 x 2 ≤13 (A1) 3 x 1 + 9 x 2 ≤41 (B1) 0≤x 1 ≤6 (C1) 0≤x 2 ≤4(D1)
{x 1 , x 2 }ϵZ+
O problema inicia com a lista-mestre contendo o problema P formulado anteriormente: LM = {P}.
Os valores da função objetivo e variáveis são definidos como (z,x)=(-∞, vazio).
Iteração 1
O problema P é retirado da LM. A solução do problema P por PL gera os seguintes valores:
(z^1 R, x^1 R)=( 38
19 50
21 25
3 10
Como (z^1 R= 38
19 50
)>(z*=-∞), é escolhida qualquer variável x j para j =1, 2, ...,p cujo valor não
seja inteiro. Nesse caso, optou-se pela variável x 2 = 1
3 10
. O problema P origina outros dois
problemas em que suas restrições de limitantes são definidas por:
• Problema P1. Será o Problema P com a restrição (D 1 ) alterada para 0≤x 2 ≤ 1 (tendo
em conta que [b 1 ]=[ 1
3 10
)]= 1 ). Ficando da seguinte forma:
Máx. z = 5x 1 +7x 2
s.a.: 2x 1 +1x 2 ≤13 (A1) 3x 1 +9x 2 ≤41 (B1) 0≤x 1 ≤6 (C1) 0≤x 2 ≤1 (D1)
{x 1 , x 2 }ϵZ+
• Problema P2. Será o Problema P com a restrição (D 1 ) alterada para 2 ≤x 2 ≤ 4. Ficando
da seguinte forma:
Máx. z = 5x 1 +7x 2 s.a.: 2x 1 +1x 2 ≤13 (A1) 3x 1 +9x 2 ≤41 (B1) 0≤x 1 ≤6 (C1) 2≤x 2 ≤4 (D1) {x 1 , x 2 }ϵZ+
Os problemas P1 e P2 são adicionados à LM, ou seja, LM={ P1, P2 }.
Como a LM não está vazia, inicia-se a segunda iteração.
Iteração 2
O problema P 2 é retirado da LM, e a sua solução por PL gera: (z^2 R, x^2 R)=(37, 4
3 5
Como (z^2 R= 37 )>(z*=-∞), é a variável escolhida é x1= 4
3 5
, por ser a única não-inteira. O
problema P 2 origina outros dois problemas em que suas restrições de limitantes são
definidas por:
• Problema P 21. Será o Problema P 2 com a restrição (C1) alterada para 0≤x 1 ≤4 (tendo
em conta que [b 2 ]=[
3 5
)]=4). Ficando da seguinte forma:
Interação 5
O problema P1 é retirado da LM:
Máx. z = 5x 1 +7x 2
s.a.: 2x 1 +1x 2 ≤13 (A1) 3x 1 +9x 2 ≤41 (B1) 0≤x 1 ≤6 (C1) 0≤x 2 ≤1 (D1)
{x 1 , x 2 }ϵZ+
A sua solução por PL gera: (z^2 R, x^2 R)=(37, 6 , 1). O resultado obtido nesta iteração dá
resultados inteiros, a LM está vazia e esta é a solução ótima para o problema (idêntica a
P22).
