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Um resumo de uma apresentação sobre a energia de deformação em mecânica dos sólidos. O texto aborda o conceito básico de energia, a relação entre trabalho e energia, e as aplicações deste conceito em corpos sólidos deformáveis. O documento também inclui equações matemáticas para calcular a energia de deformação e exemplos de cálculo para uma barra submetida a força axial e um eixo submetido a carga torçora.
O que você vai aprender
Tipologia: Exercícios
1 / 17
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Trabalho apresentado à disciplina de Mecânica dos
sólidos do 5 ° semestre de Engenharia Civil, do
Centro Universitário Municipal de Franca como
fonte de nota parcial de valor [1,5 pontos].
Orientador: Prof. Guilherme Clemente.
Em mecânica dos sólidos, energia é descrita como a capacidade de gerar
trabalho e este é o resultado de uma força por uma distância na direção do movimento.
Esse princípio se aplica tanto para estruturas rígidas quanto deformáveis. Quando um
corpo rígido em equilíbrio é submetido a um deslocamento arbitrário, a soma algébrica
do trabalho produzido por todas as forças empregadas pelos respectivos
deslocamentos deve resultar em um valor nulo.
Já nos corpos sólidos deformáveis, tensões multiplicadas por suas
respectivas áreas são as forças e deslocamentos, ou seja, as deformações
associadas a um elemento são as distâncias. O produto dessas duas resultantes é o
trabalho interno realizado em um corpo sob ação externa de uma força. Esse trabalho
interno é armazenado em um corpo como energia elástica interna de deformação ou
simplesmente energia de deformação (U).
Nesse sentido, considere uma barra BC de comprimento L e seção transversal
uniforme de área A, que está presa em B a um suporte fixo e que em C está submetida
a uma força axial P que cresce lentamente. Desenhando o gráfico da intensidade P
da força em função da deformação x da barra, obtemos uma curva característica da
barra BC.
Figura 1 – Barra BC submetida a uma força axial P.
Figura 2 – Gráfico da curva característica da barra BC.
Considere o trabalho dU feito pela força P à medida que a barra se alonga de
um pequeno valor dx. Esse trabalho elementar é igual ao produto da intensidade P da
força pelo alongamento dx. Escreve-se
e observe que a expressão obtida é igual ao elemento de área de largura dx localizado
sob o diagrama força-deformação (Figura 2). O trabalho total U feito pela força
enquanto a barra sofre uma deformação x1 é, portanto,
𝑥 1
0
e é igual à área sob o diagrama força-deformação entre x = 0 e x = x1.
O trabalho feito pela força P enquanto ela é aplicada lentamente à barra deve
resultar no aumento de algum tipo de energia associada à deformação da barra. Essa
energia é conhecida como energia de deformação da barra.
Tem-se, por definição,
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 = ∫ 𝑃 𝑑𝑥
𝑥 1
0
O trabalho e a energia devem ser expressos em unidades obtidas
multiplicando-se unidades de comprimento por unidades de força. Dessa maneira, se
for usado o sistema de unidades SI, o trabalho e a energia serão expressos em N • m,
unidade chamada de joule (J)
O diagrama força-deformação para uma barra BC depende do comprimento
L e da área A da seção transversal da barra. Assim, a energia de deformação
Figura 3 – Gráfico da densidade de energia de deformação.
O valor da densidade de energia de deformação obtida fazendo 𝜖 1 = 𝜖𝑟, em
que 𝜖𝑟 é a deformação específica na ruptura, é conhecido como módulo de tenacidade
do material. Ele é igual à área total sob o diagrama tensão-deformação específica
(Figura 3) e representa a energia por unidade de volume necessária para fazer o
material entrar em ruptura. Nesse sentido, a tenacidade do material está relacionada
com sua ductilidade, bem como a seu limite de resistência e a capacidade de uma
estrutura para resistir a uma força de impacto depende da tenacidade do material
utilizado.
Se a tensão 𝜎𝑥 permanecer dentro do limite de proporcionalidade do material,
aplica-se a lei de Hooke e escreve-se
Substituindo 𝜎𝑥 da equação acima na equação da densidade de energia de
deformação, tem-se
𝜖 1
0
2
ou, usando a Equação 𝜎𝑥 = 𝐸𝜖𝑥 para expressar 1 em termos da tensão s
correspondente,
2
Uma barra quando é submetida a um carregamento axial centrado, as tensões
normais 𝜎𝑥 podem ser consideradas uniformemente distribuídas em uma seção
transversal. Chamando de A a área da seção localizada a uma distância x da
extremidade B da barra e por P o esforço interno naquela seção, escreve-se 𝜎𝑥 = 𝑃/𝐴
e obtém-se
2
2
Figura 4 – Barra BC submetida a um carregamento axial centrado.
ou, fazendo 𝑑𝑉 = 𝐴 𝑑𝑥,
2
2
𝐿
0
No caso de uma barra de seção transversal uniforme sujeita em suas
extremidades a forças iguais e opostas de intensidade P a equação resulta em
2
2
Figura 5 – Barra submetida a forças iguais e opostas em suas extremidades.
Figura 7 – Eixo BC submetido carga torçora.
Fazendo 𝑑𝑉 = 𝑑𝐴 𝑑𝑥, em que 𝑑𝐴 representa um elemento de área da seção
transversal, e observando que 𝑇
2
2
é uma função de x apenas, escreve-se
2
2
𝐿
0
2
Lembrando que a integral dentro dos parênteses representa o momento polar
de inércia J da seção transversal, tem-se
2
𝐿
0
No caso de um eixo de seção transversal uniforme submetido nas suas
extremidades a cargas torçoras iguais e opostas de intensidade T, a equação resulta
em
2
Figura 8 – Eixo de seção transversal uniforme submetido a cargas torçoras iguais e
opostas nas suas extremidades.
Determine a energia de deformação gerada por uma barra suspensa no qual
um atleta se movimenta com os dois braços, a uma distância entre eles de 0,5m.
Dados:
Massa = 70 Kg
E = 200 GPa
Diâmetro barra = 28 mm
2
𝐿
0
2
9
4
1 , 2
0
1 , 2
0
0
1 , 2
Determine a energia de deformação gerada pela chave de roda demonstrada
na figura abaixo.
Dados:
G = 76 GPa
Diâmetro chave de roda = 2 1 mm
Dados:
Massa elevador = 450 Kg
Massa pessoa = 60 Kg
E = 200 GPa
Diâmetro cabo = 14 mm
2
2
9
2
MASCIA. Nilson. Energia de deformação e teoremas de energia. Universidade
Estadual de Campinas. Disponível em:
http://www.fec.unicamp.br/~nilson/apostilas/energia-de-deformacao-teoremas-de-
energia.pdf. Acesso em: 11 junho. 2022.
LIAH. Elias. Energia de deformação e princípio da conservação de energia.
Pontifícia Universidade Católica De Goiás. Disponível em:
http://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/17451/material/
Aula%204%20-
%20Energia%20de%20Deforma%C3%A7%C3%A3o%20e%20Desloc.%20Estrutura
s%20-%20folhetos%202.pdf. Acesso em: 11 junho. 2022.
BEER, Ferdinandi et al. Mecânica dos materiais. Tradução de José Benaque Rubert,
Walter Libardi. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.
