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CONTEÚDO PROGRAMATICO DE ESTATÍSTICA.
Estatística descritiva, Probabilidade, Variável Aleatória, Modelos Teóricos Discretos, Modelos Teóricos Contínuos, Probabilidades, Inferência Estatística, Estimação, Testes de significância, Regressão Linear Simples, Regressão Linear Múltiplas. Estatística O termo “Estatística” vem de status, que, em latim significa “estado”, “situação”. A Estatística está intimamente ligada a medidas descritivas de eventos em massa e fornece regras para colher, organizar e interpretar dados obtidos por meio de medições ou contagens.OBS: Estado “conjunto de qualidades ou características com que as coisas se apresentam, ou o conjunto de condições em que se encontram em determinado momento”. A partir do séc XVIII, vários países europeus em desenvolvimento passaram a aplicar a Estatística na economia, na indústria e no comércio. Hoje ela é utilizada em todos os países e em todas as areas de conhecimento quando se quer analisar um determinado fenômeno (social, político, biológico, econômico, genético, etc.) Em linhas gerais, pode-se dizer que, na elaboração de uma pesquisa, são cumpridos os seguintes passos: Definição do problema a ser investigado; Elaboração dos instrumentos para coleta de dados (questionário, entrevistas, filmagens, dentre outros); Coleta de dados; Organização dos dados coletados; Análise desses dados; Projeção da análise, com o objetivo de prever ocorrências futuras e tomar decisões. População em Estatística, refere-se à totalidade envolvida no fenômeno a ser analisado. Amostra parcela da população. Em geral, não há como pesquisar a totalidade envolvida na pesquisa. Média é a soma de todos os valores dividida pelo nº desses valores. Mediana é o valor que ocupa a posição central dos dados ordenados.Quando há um número ímpar de elementos, só existe um valor central. Nesse caso, ele é a mediana.Se houver um par de elementos, a mediana é dada pela média aritmética.Md Moda é o valor que ocorre com maior freqüência.Mo
Exemplos: Suponha que, num grupo de trabalhadores, haja os seguintes números de horas de trabalho diário: 7 – 8,5 – 8 – 7,5 – 9 – 8 – 8,5 – 10 – 6 – 8 – 6, Calcule: a) média = X^ 7,909 b) mediana = Md 8 c) Moda = Mo 8 6 6, 7 7, 8 8 8, 8, 9 10 Considere os salários mensais (em reais) de 8 trabalhadores. 280 – 300 – 450 – 350 – 320 – 250 – 450 – 300. Calcule:
a) média = X^ 337,5 b) mediana = Md 310 c) Moda = Mo a Moda é 300 e 450, portanto BI
MODAL 250 280 300 300 320 350 450 450 Há quatro jovens reunidos numa sala. Eles têm, em média, 13 anos. Se entrar na sala um rapaz de 23 anos, qual passa a ser a média das idades do grupo? Exercícios: 15
TOTAL 300 100%
Construir os gráficos de barras, colunas e setores. Uma estação de tv fez uma pesquisa sobre a preferência de seus telespectadores em relação a certos tipos de programas. Veja o resultado no quadro. Quantos por cento dos entrevistados disseram preferir: Novelas? Noticiários? Filmes? Esportes? Tipo de programa Nº de pessoas porcentagem Novelas 160 40% Noticiários 40 10% Filmes 120 30% Esportes 80 20% total 400 100% Construir os gráficos de barras, colunas e setores. Tabela de Distribuição de Freqüência; “A tabela que mostra a variável e seus valores, absolutos e relativos”
classe Xi Fi fi % Fac fac %ac X
i 1 15 – 25 10 0,20 20 10 0,20 20 20 2 25 – 35 24 0,48 48 34 0,68 68 30 3 35 – 45 12 0,24 24 46 0,92 92 40 4 45 – 55 4 0,08 8 50 1,00 100 50 ∑
Fi. Freqüência absoluta; fi Freqüência relativa; Fac Freqüência ab.acumulada; fac Freqüência rel.acumulada; Xi Variável;
X i Média da variável.
Exemplo: Construir uma tabela de distribuição de freqüência. Idades de 50 funcionários (colocados em ordem crescente). 18, 20, 20, 21, 22, 24, 25, 25, 26, 27, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 32, 33, 34, 35,36, 36, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 40, 41, 43, 44, 44, 45, 45, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 53, 54, 54, 56, 58, 62, 65. Solução Amplitude Total: R R = maior medida – menor medida Nº de classe: K K ¿^ 1 + 3,33.log.n
Amplitude do intervalo: h h = R : K Construir um Histograma. Conforme ao objetivos da Estatística Descritiva, a tabela de distribuição das freqüências sintetiza e organiza uma coleção de dados, facilitando a compreensão análise desses dados. Medidas de Tendência Central Média. Quando os valores de Xi estão agrupados com suas respectivas freqüências absolutas Fi, a média aritmética ou média amostral é expressa por:
X =
∑ xi Fi
n
Exemplo.
Xi Fi X i X i. Fi
1º calcula-se a ordem
n
2. A variável é contínua, independentemente se n é par ou ímpar.
2º Pela Fac, identifica –se a classe que contém a mediana (classe md). 3º Utiliza-se a fórmula: Md = lmd +
n 2 −∑ Fac
Fmd )
. h Em que: lmd = limite inferior da classe Md. n = tamanho da amostra ou nº de elementos; ∑ Fac (^) = soma das freqüências anteriores à classe Md; Fmd = freqüência da classe Md. Exemplo: Dada a distribuição amostral, calcular a mediana. Intervalo das classes Fi Fac 35 – 45 5 5 45 – 55 12 17 55 – 65 18 35 65 – 75 14 49 75 – 85 6 55 85 – 95 3 58 ∑ 58 --------- Existem também outras medidas como os Quartis, os Decis e os Percentis. Quartis Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais. Q 1 = 1º quartil, deixa 25% dos elementos Q 2 = 2º quartil, coincide com a mediana, deixa 50% dos elementos Q 3 = 3º quartil, deixa 75% dos elementos Eis as fórmulas para os cálculos de Q 1 e Q 3 , para o caso de variáveis contínuas.
1
FQ
Fac h
n
Determinação do 1º quartil: 1º passo: Calcula-se a ordem
n
2º passo: Identifica-se a classe Q 1 pela Fac 3º passo: Aplica-se a fórmula: Determinação do 3º quartil: 1º passo: Calcula-se a ordem
3 n
2º passo: Identifica-se a classe Q 3 pela Fac 3º passo: Aplica-se a fórmula: Exemplo: Dada a distribuição, determinar os quartis (Q 1 e Q 2 ) e a mediana. Classes F 1 Fac 7 – 17 6 6 17 – 27 15 21 27 – 37 20 41 37 – 47 10 51 47 – 57 5 56 ∑ 56 ----- Classe Q 1 (contém o 14ºelemento) Classe Md (contém o 28º elemento) Classe Q 3 (contém o 42º elemento) Solução: 1º passo: n = 56 Q 1 =? Md =? Q 3 =? Q 3 = lQ
(
3 n
−∑ Fac )
h
FQ 3
em que: lDi = limite inferior da classe Di i = 1,2,3,...., n = tamanho da amostra ∑ Fac = soma das freqüências anteriores à classe Di h = amplitude da classe Di FDi = freqüência da classe Di Percentis São as medidas que dividem a série em 100 partes iguais. O cálculo de um percentil (Pi) é dado por: 1º passo: calcula-se a ordem
in
em que: i = 1, 2, 3, ..., 98, 99. 2º passo: pela Fac identifica-se a classe Pi. 3º passo: usa-se a fórmula: Pi= lpi
(
in
−∑ Fac )
h
F pi
em que: lDi = limite inferior da classe Pi i = 1,2,3,...., n = tamanho da amostra ∑ Fac = soma das freqüências anteriores à classe Pi h = amplitude da classe Pi Fpi = freqüência da classe Pi Exemplo: Determine o 4º decil e o 72º percentil da seguinte distribuição: Classe Fi Fac 4 – 9 8 8 9 – 14 12 20 14 – 19 17 37 19 – 24 3 40 ∑
40 _______
Solução: 1º passo: n = 40 D 4 =? P 72 =?
in
in
3 n
2º passo: Identifica-se as classes D 4 e P 72 pela Fac. 3º passo: Para D 4 : lD4 = 9 ∑^
Fac
= 8 n = 40 h = 5 FD4 = 12 Para P 72 : lP72 = 14 ∑^
Fac
= 20 n = 40 h = 5 FP72 = 17
D 4 =
(
− (^8) ). 5
P 72 =
(
− (^20) ). 5
Portanto, nessa distribuição, o valor 12,33 divide a distribuição em duas partes: uma (à esquerda) com 40% dos elementos e a outra com 60%. O valor 16,59 indica que 72% dos elementos da distribuição estão abaixo de 16,59 e 28 % acima. Moda: Dentre as principais medidas de posição, destaca-se a Moda. É o valor mais freqüente da distribuição. Para distribuição simples (sem agrupamento em classe). A identificação da moda é facilitada pela simples observação do elemento que apresenta maior freqüência. Para dados agrupados em classe (Variável contínua) há diversas fórmulas para o cálculo da Moda. Destacaremos o cálculo da moda por meio da fórmula de Czuber. 1º Identifica-se a classe modal (classe com maior freqüência); 2º Aplica-se a fórmula:
Mo = lmo +
. h
lmo = limite inferior da classe modal (classe com maior freqüência)
= diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência da classe imediatamente anterior.
= diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência da classe imediatamente posterior. h = amplitude da classe Modal. Exemplo:
- Determine a moda para a distribuição: classes Fi 0 – 1 3 1 – 2 10 2 – 3 17 3 – 4 8 4 – 5 5 ∑ 43
- Determine a moda para a distribuição: Salários US$ Fi Fi/h
- Calcular a variância e o desvio padrão da distribuição amostral das idades de 50 funcionários da empresa XPTO. Intervalos das classes Fi Xi Xi.Fi Xi^2 .Fi 18 – 25 6 25 – 32 10 32 – 39 13 39 – 46 8 46 – 53 6 53 – 60 5 60 –67 2 ∑ 50 -------------- Interpretação do desvio padrão 1ª) Regra Empírica
Para qualquer distribuição amostral com média X^ e desvio padrão S, há:
O intervalo X^ ± S^ contém entre 60% e 80% de todas as observações amostrais.A porcentagem aproxima-se de 70% para distribuições aproximadamente simétricas, chegando a 90% para distribuições fortemente assimétricas. O intervalo X^ ±^2 S^ contém aproximadamente 95% das observações amostrais para distribuições simétricas e aproximadamente 100% para distribuições com assimetria elevada. O intervalo X^ ±^3 S^ contém aproximadamente 100% das observações amostrais, para distribuições simétricas.
2ª) Teorema de Tchebycheff
Para qualquer distribuição amostral com média X^ e desvio padrão S, há:
O intervalo X^ ±^2 S^ contém, no mínimo, 75% de todas as observações amostrais. O intervalo X^ ±^3 S^ contém no mínimo, 89% de todas as observações amostrais. Coeficiente de variação de Pearson Trata-se de uma medida de dispersão. Enquanto a amplitude total ( R ), a variância ( S^2 ) e o desvio padrão (S) são medidas absolutas de dispersão, o coeficiente de variação (C.V.) mede a dispersão relativa. Assim:
C. V .=
S
x
Onde: S = desvio padrão amostral x^ = média amostral Eis algumas regras empíricas para interpretações do coeficiente de variação: Se: C.V. < 15% há baixa dispersão Se: 15% ¿^ C.V.< 30% há média dispersão Se: C.V. ¿^ 30% há elevada dispersão Exemplo: Em uma empresa, o salário médio dos homens é de $ 4.000, com desvio padrão de $ 1.500, e o salário médio das mulheres é de $ 3000, com desvio padrão de $ 1.200. A dispersão relativa dos salários é maior para os homens? Solução: Escore Padronizado Outra medida relativa de dispersão é o escore padronizado para uma medida xi. É dado por:
Zi =
xi − x
S
Onde: S = desvio padrão amostral x^ = média amostral Um escore Zi negativo indica que a observação xi está à esquerda da média, enquanto um escore positivo indica que a observação está à direita da média. Exemplo: São dados as médias e os desvios padrões das avaliações de duas disciplinas: Português Matemática
