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Estatística, Notas de aula de Engenharia Metalúrgica

Faculdade Santa Rita - Novo Horizonte (FASAR)Engenharia Metalúrgica

Aula de estatística

Tipologia: Notas de aula

2013

Compartilhado em 04/09/2013

rafaela-assis-2 🇧🇷

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INTRODUÇÃO

•Método Estatístico : Envolve análise e interpretação de números, tais como, renda anual, vendas mensais, números de peças defeituosas e etc.

•Esses números são chamados de Dados

Dados X Informação

•Dados sem processamento tendem a confundir;

•O processamento permite reduzir a quantidade de detalhes

•Transforma os dados em Informação;

•Gráficos são uma excelente forma de processamento de dados.

DADOS ESTATÍSTICOS

•São obtidos mediante observação ou outro tipo de mensuração.

•Ex : Renda anual per capita, escores de testes, resistência a ruptura mecânica de uma fibra ótica, quantidade de café servida por dia por uma

máquina automática e etc.

•Esses itens são chamados de VARIÁVEIS

TIPOS DE DADOS

•TIPOS DE DADOS :

Contínuos;

Discretos;

Nominais;

Por Postos

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INTRODUÇÃO

(^) Método Estatístico : Envolve análise e interpretação de números, tais como, renda anual, vendas mensais, números de peças defeituosas e etc.
(^) Esses números são chamados de Dados Dados X Informação
(^) Dados sem processamento tendem a confundir;
O processamento permite reduzir a quantidade de detalhes
(^) Transforma os dados em Informação;
Gráficos são uma excelente forma de processamento de dados. DADOS ESTATÍSTICOS
(^) São obtidos mediante observação ou outro tipo de mensuração.
Ex : Renda anual per capita, escores de testes, resistência a ruptura mecânica de uma fibra ótica, quantidade de café servida por dia por uma máquina automática e etc.
(^) Esses itens são chamados de VARIÁVEIS TIPOS DE DADOS
(^) TIPOS DE DADOS :  (^) Contínuos;  (^) Discretos;  (^) Nominais;  (^) Por Postos

(^) Contínuas : podem assumir qualquer valor num intervalo contínuo (altura, peso, comprimento, espessura, velocidade, viscosidade, temperatura etc.)
(^) Discretas : assumem valores inteiros; são o resultado da contagem do número de itens (nº de alunos numa sala, número de defeitos num carro novo, total de acidentes numa fábrica e etc.)
Dados discretos e contínuos são quantitativos pois são inerentemente numéricos, isto é, estão naturalmente associados às variáveis que estamos medindo
(^) Nominais : surgem quando se definem categorias e se conta o número de observações pertencentes a cada categoria (masculino ou feminino, cor dos olhos, campo de estudo : Medicina, Engª, Administração etc.)
Por Postos : avaliações subjetivas; consistem de valores relativos atribuídos para denotar ordem (primeiro, segundo etc.)
(^) Nominais e por postos são variáveis qualitativas e devem ser convertidas em valores numéricos antes de serem analisadas estatisticamente.
- (^) IMPORTANTE : muitas populações podem gerar os quatro tipos de dados. Observe :

Tipos de

Dados

Populações

Contínuo Discreto Nominal Por Posto

Alunos do

2º Grau

Idades,

Pesos

Nº na Classe Menino /

Menina

2ºGrau

Automóveis Km/h Nº defeitos

por carro

Cores Limpeza

Venda de

Imóveis

Valor US$ Nº de ofertas Acima do

Preço

Muito Caro

EXERCÍCIOS

(^) Classifique os exemplos abaixo conforme o tipo de dados :
a) 17 gramas
(^) b) 25 segundos
c) 3 cestos
(^) d) 3 errados, 5 certos
(^) e) Tamanho de camisas
(^) f) Km/litro
(^) g) O mais lento
(^) h) 2 sorvetes de morango
(^) i) O mais aprazível

n

i

xi

Significa que devemos somar n observações (todas);

2º EXEMPLO : Para a tabela dada, calcule :

a) b) c) d)

2 i 1

xi

4 i 2

xi

11 i 7

xi

 xi

DADOS i xi 1 8 2 2 3 3 4 6 5 7 6 8 7 9 8 4 9 5 10 4 11 1 Total 57 = 8 + 12 = 10 = 2 + 3 + 6 = 11 9 + 4 + 5 + 4 + 1 = 23 = soma tudo = 57

(^) Em sentido inverso :
(^) 1 - x 1 + x 2 + x 3 pode-se escrever
(^) Para constante : =
(^) Ex : = 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4
(^) A soma de uma soma (ou diferença) de duas variáveis é igual à soma (ou diferença) das somas individuais das duas variáveis :  (^)  3 i 1 xi  cx^ c  x   4 1 2 i x i          n i n i n i xi yi xi y i 1 1 1 ( )

(^) Sejam agora dois conjuntos de números, tais como salários horários para vários empregados e o número de horas que cada um trabalhou. Veja a tabela :
Suponha que se queira :
(^) A tabela a seguir ilustra os cálculos : i fi xi

Indivíduo Hr.Trabalhada Salário Horário $

 fi  xi  xi  fixi  fixi ( fixi ) 2 , 2 , 2 ,

(^) Resultados das expressões :, i fi xi Xi² fixi fiXi² 1 1 2 4 2 4 2 5 3 9 15 45 3 7 2 4 14 28 4 3 4 16 12 48 5 3 3 9 9 27  (^) fi = 19  xi = 14  (^) X i²= 42  (^) f ix= 52  (^) f iXi²= 152

EXERCÍCIOS

(^) Desenvolva cada uma das expressões seguintes :
(^) a) b)
(^) c) d)
(^) e) f)
(^) g)   5 i 1 x i (^)   5 i 1 fi x i 2   6 i 1 xi y i   n i x i n 1 / (^) Para n = 8    4 i 1 x i x   8 4 3 i i    6 i 1 x i x 2

PROPRIEDADES DA MÉDIA

(^) 1 - Para um conjunto de números, sempre pode ser calculada;
2 - Para um conjunto de números, a média é única;
(^) 3 - A média é afetada por todos os valores do conjunto. Assim, se um valor se modifica, a média também se modifica;
4 - Se se acresce (ou diminui-se) uma constante a cada valor do conjunto, a média também é acrescida (ou diminuída) desse mesmo valor;
(^) 5 - A soma dos desvios dos números de um conjunto a contar da média é Zero, ou seja : ( )  0  xi  x MÉDIA PONDERADA
(^) Aplicada para casos em que existe pesos diferentes para cada valor.
- Se : Prova 1 = Peso30%
  - (^) Prova 2 = Peso 30%
  - Prova 3 = Peso 40%
(^) Se o aluno tirou as notas :
(^) 80, 90 e 96, sua média será :
(^) 0,3080 + 0,3090+0,40*96 = 89,
(^) 0,30+0,30+0,   n i wix i 1   n i w i 1

Mediana

(^) Característica : divide ao meio um conjunto de dados;
Para se calcular a mediana, é necessário ordenar os valores (comumente) do mais baixo para o mais alto. Em seguida, conta-se até a metade dos valores para se achar a mediana.
(^) Em geral, a mediana ocupa a posição (n+1) /
Ex.. : Mediana de 5,6,8 é 6.
(^) Mediana de 7,8,9,10 é 8,
(^) A mediana é um conjunto de números é maior que uma metade dos valores e menor que a outra Moda
(^) É o valor que ocorre com mais freqüência num conjunto. Ex.: sejam os números 1,4,5,6,5,7,5,8,5.
A moda é o 5. Comparação entre Média, Mediana e Moda DEFINIÇAO VANTAGENS LIMITAÇOES MÉDIA ^ xi / n

Reflete cada valor
Possui propriedades matemáticas atraentes É influenciada por valores extremos MEDIANA Metade dos valores são superiores e metade são inferiores Menos sensível a valores extremos que a média Difícil de determinar para grandes conjuntos de dados MODA Valor mais frequente Maior quantidade de valores concentrados no valor típico
Não presta para análise matemática
Pode não ser moda para certos conjuntos de dados

EXEMPLOS DE INTERVALOS

INTERVALO NÚMEROS DIFERENÇA DO MENOR AO MAIOR 1; 5; 7; 13 13 – 1 = 12 De 1 a 13 14; 3; 17; 4; 8; 73; 36; 48 73 – 3 = 70 De 3 a 73 3.2, 4.7, 5.6, 2.1, 1.9, 10.3 10.3 – 1.9 = 8.4 De 1.9 a 10. DESVIO MÉDIO ABSOLUTO

(^) Mede o desvio médio dos valores em relação à média do grupo, ignorando o sinal do desvio.
A soma dos desvios positivos e negativos, a contar da média será sempre (por definição) igual a ZERO.
DMA = n
(^) n = número de observações do conjunto  x  i x

(^) Exemplo :
(^) Determine o desvio médio para o seguinte conjunto de dados :
(^) 2, 4, 6, 8, 10
(^) Solução :
(^) 1 - Calcula-se a média :
(^) 2 - Calcula-se as diferenças entre a média e cada valor :
(^) Desvio médio = =
(^) n  x  i x (2+4+6+8+10) / 5 = 6 xi - x 2 – 6 = - 4 4 – 6 = - 2 6 – 6 = 0 8 – 6 = + 2 10 – 6 = + 4 SOMA 0 12 / 5 = 2,  xi  x ( 4  2  0  2  4 )  12

A VARIÂNCIA

(^) É calculada de forma muito similar ao desvio médio, com duas pequenas alterações :
(^) 1ª : Os desvios são elevados ao quadrado antes da soma;
(^) 2ª : Toma-se a média dividindo-se por ( n -1) e não por n pois permite melhor estimativa da variância populacional.
(^) S x = 2  ( xi  x ) n - 1 2 Se um conjunto de números constituir uma população, ou se a finalidade de somar dados é apenas descrevê-los, e não fazer inferências sobre a população, então deve-se usar n e não (n-1) no denominador

(^) Exemplo :
(^) Calcule a variância da amostra : 2, 4, 6, 8, 10
(^) Solução : A média desse conjunto é 6. A tabela abaixo mostra os cálculos :
(^) S x =^ = 40 / (5-1) = 10  ( xi  x ) 2 n - 1 2 xi x (xi – x) (xi – x) 2 6 - 4 16 4 6 - 2 4 6 6 0 0 8 6 + 2 4 10 6 + 4 16 Somas 0 40

Dados Freqüência 41 3 42 2 43 1 44 1 45 1 46 2 50 2 51 1 52 1 54 1 57 1 58 2 60 2 Total 20 Distribuição de frequência sem intervalos de classe: É a simples condensação dos dados conforme as repetições de seu valores. Para um ROL de tamanho razoável esta distribuição de frequência é inconveniente, já que exige muito espaço. Veja exemplo abaixo: n= 20 Ocorrência de valores

Distribuição de frequência com intervalos de classe: Quando o tamanho da amostra é elevado, é mais racional efetuar o agrupamento dos valores em vários intervalos de classe. Classes Frequências 41 |------- 45 7 45 |------- 49 3 49 |------- 53 4 53 |------- 57 1 57 |------- 61 5 Total 20 Pode-se entender que existem 7 ocorrências de valores que estão entre 41 e 45 (sendo 45 excluído da Classe 1 e incluído na Classe 2) Quantidade de Classes “K” = 5