Baixe Método de Estabilidade Routh-Hurwitz: Análise de Sistemas de Controle e outras Notas de estudo em PDF para Matlab, somente na Docsity!
E S TA B I L I D A D E
M é t o d o c r i t é r i o d e R o u t h - H u r w i t z
C a s o s E s p e c i a i s
Profa^ Ninoska Bojorge
Departamento de Engenharia Química e de Petróleo – UFF Disciplina: TEQ102- CONTROLE DE PROCESSOS
Observação: A mesma equação característica ocorre tanto para as mudanças na carga e no setpoint desde o termo 1 + GOL. Assim, se o sistema de malha fechada é estável para perturbações de carga, ele também será estável para mudanças de set-point.
Parte Imaginária
Parte Real
Região Estável
Região Instável
Regiões de estabilidade no plano complexo das raízes da equação característica
ESTABILIDADE MALHA FECHADA
Re
Im
muito oscilatório
muito oscilatório
rápido
Decaimento exponencial com oscilações
lento
rápido crescim. exponencial
Crescimento exponencial com oscilações
Estável (Esquerda ) (^) Instável (Direita)
Raízes complexas (parte real - )
lento
Decaimento exponencial
Contribuições dos polos na resposta malha fechada
rápido
raízes reais (+) raízes reais ( - )
raízes complexas (parte real +)
raízes complexas (parte real -)
Ex1) Seja estude sua estabilidade
Criterio de Routh-Hurwitz
4
1º passo: D(s)=s^4 +2s^3 +3s^2 +4s+
2º passo: todos coeficientes de D(s) são positivos portanto nada pode-se
concluir
3ºpasso: construir arranjo triangular de Routh-Hurwitz (Lembrando...)
sn a b2 b3 b c2 c d 2 d 3 : e1 e f g 1
sn sn sn sn
s s s
a a a a a a a b c c d d
1
1 1 2 0 3 a
b = aa −aa 1
2 1 4 0 5 a
aa aa b
1
3 1 6 0 7 a
aa aa b
1
1 1 3 1 2 b
c = ba −ab 1
1 5 1 3 (^2) b
ba ab c
1
3 1 7 1 4 b
c =ba −ab
1
1 1 2 1 2 c
d = cb −bc 1
1 3 1 3 (^2) c
cb bc d
CASOS ESPECIAIS CRITÉRIO DE ROUTH
1o. Caso) Nenhum elemento da 1a^ coluna é zero →
avalia-se a estabilidade pelo resultado do arranjo.
2o. Caso) Existe um zero na 1a^ coluna → substitui-se o
zero por um valor ε (épsilon) e faz-se a análise da
estabilidade pelo arranjo.
3o. Caso) Todos os elementos de uma linha são zeros →
substitui-se esta linha pelos coeficientes oriundos da
derivação da linha anterior e faz-se a análise da
estabilidade pelo arranjo.
5 6
6 5 1
6 0 1
1 4 2 5
5 0 2
2 5 - 1 0 1 2
2 3 1 4
2 4 0
1 3 5
s
0
1
2
3
4
= −
− ⋅ −
=−
⋅ − ⋅
=
⋅ ⋅
⋅ − ⋅
s
s
s
s
8
Ex1) Seja estude sua estabilidade pelo critério
de R-H.
Neste caso, os elementos da 1º coluna são:
5
6
1
2
1
0
1
2
3
4
s
s
s
s
s
−
Ocorrem duas mudanças de sinais, um de 1 para -6 e outra de -6 para 5, logo este sistema tem dois pólos de lado
direito do plano-s , então o sistema é
instável.
Assim:
s s s s
s
Gs
CASOS ESPECIAIS CRITÉRIO DE ROUTH
Exercícios
9
Ex1) Seja
Se analisamos pelo Lugar das raízes, no Matlab
s s s s
s
Gs
G = tf([2 1],[1 2 3 4 5]); rlocus(G)
-5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
0
1
2
3
4
5 Root Locus
Real Axis (seconds-1)
Imaginary Axis (seconds
-1)
-4 0 50 100 150 200 250
0
1
2
3
4 x 10^30 Resposta Degrau
Tempo (seconds)
Resposta A fim de verificar, podemos plotar a resposta desta G(s) para um degrau
s = tf('s'); num = [ 2 1]; den = [ 1 2 3 4 5]; step (num, den)
Caso 2) Linha com primeiro elemento igual a zero
Casos Especiais
substitua este elemento por um ε > 0 e prossiga na construção do arranjo. Na análise de estabilidade, faça ε→0.
Ex 2 : Indique quantos polos fora do semiplano esquerdo tem o seguinte polinômio:
s^5 + 3 s^4 + 2 s^3 + 6 s^2 + 6 s + 9
Obs:
o polinômio atende à condição
necessária;
no entanto, se analisamos os polos,
por exemplo usando o Matlab,
obtém-se :
Caso 3) Linha com todos os elementos iguais a zero
Ex 3 : Indique quantos pólos fora do semiplano esquerdo tem o seguinte polinômio:
s^5 + 5s^4 +11s^3 + 23s^2 + 28s +
o arranjo triangular de Routh assume a forma:
s^5 1 11 s^4 5 23 s^3 6,4 25,6 0 s^2 3 12 s^1 0 0
s^0
Casos Especiais
s^5 1 11 s^4 5 23 s^3 6,4 25,6 0 s^2 3 12 s^1 0 0
Nova s^1 6 0 s^0 12 0
o arranjo triangular de Routh assume a forma:
Linha nula
Caso 3) Linha com todos os elementos iguais a zero
Casos Especiais
Ex 3 : Indique quantos pólos fora do semiplano esquerdo tem o seguinte polinômio:
s^5 + 5s^4 +11s^3 + 23s^2 + 28s +
Casos Especiais
s^5 1 11 s^4 5 23 s^3 6,4 25,6 0 s^2 3 12 s1 0 0 0
Nova s^1 6 0 s^0 12 0
o arranjo triangular de Routh assume a forma: Assim, o critério de Routh indica a inexistência de polos fora do semiplano esquerdo, embora falta ainda analisar o polinômio p ( s ) = 3 s^2 +12.
Este polinômio vai apresentar 2 raízes no eixo imaginário, + j 2 e – j 2, portanto, na margem do semiplano esquerdo.
Ex 3 : Indique quantos pólos fora do semiplano esquerdo tem o seguinte polinômio:
s^5 + 5s^4 +11s^3 + 23s^2 + 28s +
Casos Especiais
Caso 3) Linha com todos os elementos iguais a zero
Ex 4 : Determine o intervalo de Kc, ganho do controlador, para o qual o sistema realimentado seja estável.
solução: A F.T.M.F. é dada por:
Note que não é possível obter os pólos de H(s) usando a calculadora.
Outras aplicações
Casos Especiais
Ex 4 : Determine o intervalo de Kc, ganho do controlador, para o qual o sistema realimentado seja estável.
4ºpasso: Para que elementos da 1ª. coluna sejam todos positivos, é necessário que:
0 e^ Kc > 0^ (III) 5
5 ( Kc − 6 ) − Kc >
⇒ 5 Kc − 30 − Kc > 0 ⇒ 4 Kc − 30 > 0
4
⇒ Kc >^30 = 7 , 5 (II)
Usando o método de Routh-Hurwitz: (^) D(s)=s^3 + 5s^2 + (Kc - 6)s + Kc
Outras aplicações
Ex 4 : Determine o intervalo de Kc, ganho do controlador, para o qual o sistema realimentado seja estável.
Usando o método de Routh-Hurwitz:
4ºpasso:
D(s)=s^3 + 5s^2 + (Kc - 6)s + Kc
Logo, para Kc > 7,5 o sistema terá estabilidade absoluta.
Como já foi dito, se tiver um zero (0) na primeira coluna de tabela ou se uma linha for nula, então deve-se usar o caso especial anterior.
Kc
Outras aplicações
Step Response
Time (seconds)
A m p lit u d e
(^00 20 40 60 80 )
2
4
6
8 x 10
25
Kc = 1
-5 0 100 200 300 400 500 600
0
5 x 10
(^28) Step Response
Time (seconds)
A m plitud e
Kc = 6
-1 0 10 20 30 40 50 60
-0.
0
1
2
3 Step Response
Time (seconds)
Amplitude
Kc = 7.
(^00 5 10 15 20 25 )
1
2
2.5^ Step Response
Time (seconds)
Amplitude
Kc = 10
Ex 4 : Determine o intervalo de Kc, ganho do controlador, para o qual o sistema realimentado seja estável.
(^00) 0.5 1 1.5 2 2.5 3
1
2 Step Response
Time (seconds)
Amplitude
Kc = 1000
Verificação
22 Dada a Equação característica da FTMF, determinar estabilidade
1
1
0 5 0 5 0 75
0
0 5 0 5 0 75 0
0 5 0 5 0 75 0
=
K
s
s s s
s s s K s K
s s K s K
c
c c
c c
... ... . (. ) (. )
( ). ( ) (. ) (. )
. (. ) (. )
j j K j K
j K j K
c c
c c
ω ω ω
ω ω ω
0 5 0 5 0 75 0
0 5 0 5 0 75 0
− − + − + − =
Substituir s = j ω, Κ c= Κ cu
S S s
s
Kc
u u
u u
Outras aplicações
Ex 5) ....
O balanço de energia em torno de cada tanque:
25
Assim, em termos de variáveis de desvio e tomando a T. L obtemos sistemas da forma de 1ª ordem:
onde:
pois não há aquecedores nesses tanques.
Exercício de aplicação
Ex 5) ... O seguinte diagrama de blocos mostra o sistema de controle de feedback.
26
onde os parâmetros do sistema será:
Exercício de aplicação
∴ Kq= K 1
Blocos da válvulas e sensor são de dinâmica mto rápida (G= 1)
Ex 5) O seguinte diagrama de blocos mostra o sistema de controle de feedback.
27
Logo, a equação característica será:
Continuando...
Logo, pelo arranjo de Routh:
28
Outras aplicações
Ex 5) ... Assim a equação característica ...
Análise critério de Routh – Control P
31
21 (1 +10Kc)
s^3
s^2
s^1
s^0
Outras aplicações
Agora, o Análise por Substituição Direta com controle P;
s= jw e Kc=Kcu
32
Outras aplicações
Kcu= 2.
33
Simulando o exemplo anterior no Matlab (pidtune)
(^00 2 4 6 8 10 12 14 16 18 )
1
2 Resposta a variação degrau no setpoint VPsp
Time (seconds)
variavel de processo
(^00 2 4 6 8 10 12 14 16 18 )
1
1.4^ Resposta a variação degrau no setpoint VPsp
Time (seconds)
variavel de processo
mas, quando Kc= Kcu, a resposta é criticamente estável
Kc = 0.
Análise critério de Routh – Control P I
34
10 12 10Kc/τI
21 (1 +10Kc) 0
s^4
s^3
s^2
s^1
s^0
A estabilidade estará definida em função dos valores de Kc
e τi
