ESCOAMENTOS COMPRESIVEIS, Slides de Mecânica dos fluidos

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Introdução aos Escoamentos

Compressíveis

Copyright  2017 by José da Rocha M. Pontes, Norberto Mangiavacchi e Gustavo R. dos Anjos Direitos reservados, 2017 pela Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

Capa: Noni Geiger / Sérgio R. Vaz

31 o^ Colóquio Brasileiro de Matemática

 Álgebra e Geometria no Cálculo de Estrutura Molecular - C. Lavor, N. Maculan, M. Souza e R. Alves  Continuity of the Lyapunov Exponents of Linear Cocycles - Pedro Duarte e Silvius Klein  Estimativas de Área, Raio e Curvatura para H -superfícies em Variedades Riemannianas de Dimensão Três - William H. Meeks III e Álvaro K. Ramos  Introdução aos Escoamentos Compressíveis - José da Rocha Miranda Pontes, Norberto Mangiavacchi e Gustavo Rabello dos Anjos  Introdução Matemática à Dinâmica de Fluídos Geofísicos - Breno Raphaldini, Carlos F.M. Raupp e Pedro Leite da Silva Dias  Limit Cycles, Abelian Integral and Hilbert’s Sixteenth Problem - Marco Uribe e Hossein Movasati  Regularization by Noise in Ordinary and Partial Differential Equations - Christian Olivera  Topological Methods in the Quest for Periodic Orbits - Joa Weber

 Uma Breve Introdução à Matemática da Mecânica Quântica - Artur O. Lopes

Distribuição: IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ e-mail: ddic@impa.br http://www.impa.br

ISBN: 978-85-244-0435-

Conteúdo

Apresentação

Este texto contém o material de apoio ao curso introdutório “In- trodução aos Escoamentos Compressíveis”, ministrado durante o 31◦ Colóquio Brasileiro de Matemática, realizado no IMPA de 30 de ju- lho a 5 de agosto de 2017. O texto está dividido em seis capítulos, que compreendem, inicialmente, uma revisão das equações básicas da Mecânica dos Fluidos. O texto aborda a seguir os escoamentos quase unidmensionais iso- entrópicos, incluindo a equação de ondas acústicas fracas e o cálculo da velocidade do som no ar. Aborda a seguir os escoamentos quase unidimensionais com adição de calor (linha de Rayleigh) e os esco- amentos sob efeitos viscosos entre as paredes de um duto e o fluido (linha de Fanno). Aborda ainda o fenômeno de choque normal. O capítulo seguinte (Cap. 3) apresenta a dedução da equação que rege o potencial associado a escoamentos irrotacionais, compressíveis e tridimensionais, e discute alguns casos particulares de aplicação da mesma, incluindo a generalização da equação de ondas acústicas para três dimensões. O capítulo seguinte estuda a formação de choques oblíquos e esco- amentos supersônicos sobre cunhas e diedros, assim como a constru- ção de um problema de Riemann. A resolução numérica da equação de ondas acústicas nos domínios da frequência e do tempo, em uma e em duas dimensões é tratada a seguir. O texto aborda por fim, a resolução numérica de problemas hiperbólicos não lineares e a propa- gação de ondas fortes. Os caps. 1, 3 e parte do Cap. 2 compreendem material já publicado no livro “Fenômenos de Transferência com Aplicações às Ciências Físicas e à Engenharia” (SBM 2016, ISBN 978-85-8337-107-6), de nossa autoria [13]. O material é aqui reproduzido com autorização

iii

iv APRESENTAÇÃO

da editora.

2 [CAP: 1. EQUAÇÕES BÁSICAS DOS ESCOAMENTOS COMPRESSÍVEIS

conservação da massa estabelece que:      

Taxa de acumulação de massa dentro do volume, isto é, a quantidade de massa acumulada dentro do volume por unidade de tempo

Fluxo líquido de massa para fora do volume

Expressemos de forma matemática a igualdade acima. A taxa de acumulação de massa dentro do volume V pode ser expressa como a integral sobre todo o volume, da variação da quantidade de massa em cada ponto do mesmo: ∫

V

∂t

dm.

Por outro lado, a quantidade infinitesimal de massa dm pode ser expressa como dm = ρ dV. Substituindo essa última expressão na integral acima e observando que os volumes dV não variam com o tempo, temos: ∫

V

∂t

dm =

V

∂t

(ρ dV ) =

V

∂ρ ∂t

dV +

V

ρ

∂dV ∂t

V

∂ρ ∂t

dV. (1.2)

v

n

S

dA

Figura 1.1: Volume de controle ao qual se aplica o princípio de conservação da massa. n é o vetor de comprimento unitário per- pendicular à superfície, e v, a velocidade no elemento de superfície considerado.

Para darmos forma ma- temática ao fluxo líquido de massa para fora do volume V, consideramos inicialmente uma pequena parte da superfície S con- forme mostrado na Fig. 1.2. Seja ∆V um elemento de volume do fluido que cruza a superfície em um inter- valo de tempo ∆t. Sejam n o vetor unitário perpen- dicular à superfície, e v, a velocidade do elemento de fluido considerado. Essa

[SEC: 1.2. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 3

velocidade pode ser decomposta em duas componentes, uma delas paralela a n, que denominamos vn, e outra perpendicular a n, que denominamos vp. A contribuição do elemento de fluido para o fluxo de massa que cruza a superfície é dada por ρ ∆V /∆t. O elemento de volume ∆V pode ser escrito como o produto de seu comprimento ∆x por sua área transversal ∆A, que consideramos paralela à superfície S. Assim, ∆V = ∆x∆A e podemos reescrever o fluxo de massa que cruza a superfície como:

ρ

∆V

∆t

= ρ ∆x ∆t

∆A.

O termo ∆x/∆t é precisamente a componente da velocidade do ele- mento de fluido paralelo a n. Apenas essa componente contribui para o fluxo de massa que cruza a superfície. Essa componente pode ser escrita como vn = v · n. Dessa forma, a contribuição do elemento dV para o fluxo de massa toma a forma:

ρ

∆V

∆t

= ρ v · n ∆A.

A

∆ x

v p

v n

v

∆

n

S

Figura 1.2: Volume de fluido cruzando um elemento da superfície de controle S. vn e vp são, respectivamente, as componentes de velocidade perpendicular e paralela à superfície S.

Se a componente vn tiver o mesmo sentido da nor- mal n, isto é, se o ele- mento de volume dV es- tiver cruzando a superfície para fora da mesma, o pro- duto v · n será positivo, e se a componente vn tiver sentido oposto a n o pro- duto escalar será negativo. Ao integrarmos a expressão acima ao longo de toda a superfície S fazemos auto- maticamente o balanço do fluxo de massa que sai, me- nos o que entra no volume V. Assim, o fluxo líquido para fora do volume é: (^) ∮

S

ρ v · n dA. (1.3)

[SEC: 1.2. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 5

Em coordenadas esféricas:

∂ρ ∂t

r^2

∂r

(ρr^2 vr ) +

r sen θ

∂θ

(ρvθ sen θ) +

r sen θ

∂φ

(ρvφ) = 0. (1.8)

θ

y

x

r

z

θ

y

x

z

φ

(a) (b)

Figura 1.3: Sistemas de coordenadas cilíndricas (a) e esféricas (b). A definição das coordenadas curvilíneas acima mostrada é a usada em todo esse trabalho.

Podemos reescrever a equação da continuidade (coordenadas car- tesianas) como segue:

∂ρ ∂t

∂x

(ρvx) +

∂y

(ρvy ) +

∂z

(ρvz ) =

∂ρ ∂t

• vx

∂ρ ∂x

• vy

∂ρ ∂y

• vz

∂ρ ∂z

• ρ

∂vx ∂x

∂vy ∂y

∂vz ∂z

ou ∂ρ ∂t

• v · grad ρ + ρ div v = 0.

Essa equação pode também ser escrita como: ( ∂ ∂t

• v · grad

ρ + ρ div v = 0

ou Dρ Dt

• ρ div v = 0. (1.9)

6 [CAP: 1. EQUAÇÕES BÁSICAS DOS ESCOAMENTOS COMPRESSÍVEIS

Na notação dos tensores cartesianos, a equação da continuidade toma a forma: ∂ρ ∂t

∂xj

(ρvj ) = 0. (1.10)

Em resumo, a equação da continuidade pode ser escrita em qualquer das formas abaixo:

Tabela 1.1: Formas da equação da continuidade.

Forma vetorial Forma tensorial cartesiana ∂ρ ∂t

• div ρv = 0

∂ρ ∂t

∂xj

(ρvj ) = 0 ∂ρ ∂t

• v · grad ρ + ρ div v = 0

∂ρ ∂t

• vj

∂ρ ∂xj

• ρ

∂vj ∂xj

Dρ Dt

• ρ div v = 0 Dρ Dt

• ρ ∂vj ∂xj

ρ

Dρ Dt

• div v = 0

ρ

Dρ Dt

∂vj ∂xj

A não linearidade inerente aos fenômenos que ocorrem em fluidos já se manifesta na equação da continuidade, onde o termo div ρv é não linear pois contém o produto de duas incógnitas: a massa específica e a própria velocidade. Em alguns casos, no entanto, a equação da continuidade torna-se linear:

1. ∂ρ/∂t = 0 e grad ρ = 0, que é o caso de fluidos incompressíveis. Nesse caso, a equação da continuidade reduz-se a:

div v = 0 ou ∂vj ∂xj

2. Escoamento estratificado, isto é, em camadas de fluidos imis- cíveis. Nesse caso, ∂ρ/∂t = 0 e grad ρ ⊥ v. A equação da continuidade toma a forma: Dρ Dt

8 [CAP: 1. EQUAÇÕES BÁSICAS DOS ESCOAMENTOS COMPRESSÍVEIS

componente da quantidade de movimento em uma direção genérica, associada à massa contida no volume, e à massa cruzando a fronteira do mesmo, a densidade c será dada por c = ρvi. Se referir-se à energia cinética c sará dada por c = ρvivi/ 2. Se o acúmulo de θ for igual à taxa líquida de transferência de θ para dentro do volume, o princípio de consrvação da gandeza traduz-se, na forma integral, por: ∫

V

∂c ∂t

dV = −

c vj nj dA.

Utilizando o teorema de Gauss obtém-se a equação de conservação de θ em forma diferencial:

∂c ∂t

∂c vj ∂xj

O princípio de conservação acima é utilizado a seguir para a obten- ção da equação da quantidade de movimento de um meio contínuo compressível.

1.4 Equação da Quantidade de Movimento

Seja um volume fixo no campo de velocidades de um meio contínuo. A taxa de variação da quantidade de movimento desse volume deve incluir, além da resultante das forças aplicadas, o balanço do fluxo de quantidade de movimento através das fronteiras do volume [9, 8, 4, 3, 14, 7, 16]. Esquematicamente (ver Fig. 1.4):          Taxa de acumulação de quantidade de movimento dentro do volume de con- trole, isto é, variação da quantidade de movimento dentro do volume por uni- dade tempo

(Fluxo líquido de quan- tidade de movimento para fora do volume

Resultante das forças apli- cadas à superfície de con- trole

Resultante das forças de volume

Expressemos cada uma das parcelas acima em forma matemática. A taxa de acumulação no volume de controle, da componente da

[SEC: 1.4. EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 9

quantidade de movimento na direção genérica do vetor unitário ei, é dada por: (^) ∫

V

∂t (ρvi) dV

v

n dF

S

dA

Figura 1.4: Volume de controle ao qual se aplicam as leis da quantidade de movi- mento. n é o vetor de comprimento unitá- rio perpendicular à superfície no elemento de área considerado, v, a velocidade do fluido nesse ponto e d F, a força de super- fície agindo no mesmo.

Vimos, na Sec. 1.2, que o fluxo de massa através de um elemento de área dA da superfície de con- trole é dado por ρ vj nj dA. Se o multiplicarmos pela componente na direção ge- nérica i da quantidade de movimento por unidade de massa, isto é, pela compo- nente do vetor velocidade nessa direção, temos uma expressão para o fluxo da- quela componente da quan- tidade de movimento que cruza o elemento de área: ρvivj nj dA. Integrando esse termo ao longo de toda a superfície de controle, temos o fluxo líquido dessa componente da quantidade de movimento para fora da superfície de controle: (^) ∮

S

ρvivj nj dA.

No que se refere às forças que atuam na superfície do elemento, fazemos as seguintes hipóteses:

1. Admitimos que possam ser expressas como uma combinação linear das componentes do vetor n normal ao elemento da su- perfície considerado. Sejam n 1 , n 2 e n 3 as componentes do vetor n. Sendo a força dF, que age no elemento de área, proporcional a uma combinação linear das componentes de n, dF não tem, de forma geral, a direção do vetor normal;
2. O fator de proporcionalidade acima mencionado é a área do ele- mento de superfície à qual a força é aplicada, isto é, admitimos que a magnitude da força é proporcional à área do elemento.

[SEC: 1.4. EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 11

Reagrupando os quatro termos, obtemos a forma integral da equação de conservação da quantidade de movimento:

∫

V

∂t

(ρvi) dV = −

S

ρvivj nj dA +

S

σij nj dA +

V

ρgidV. (1.17)

Em notação vetorial:

∫

V

∂t

(ρv) dV = −

S

ρv(v · n) dA +

S

σn dA +

V

ρg dV. (1.18)

O passo seguinte consiste em transformar as integrais de superfície em integrais de volume por intermédio do teorema de Gauss, de forma que possamos obter a equação de conservação da quantidade de movi- mento na forma diferencial. Observamos que o termo ρvivj representa o elemento geral de um tensor de segunda ordem. O divergente desse tensor é obtido da mesma forma que o do tensor de tensões. Rees- crevendo a Eq. 1.17 com todos os termos na forma de integrais de volume, temos para a taxa de variação da quantidade de movimento na direção xi dentro do volume de controle:

∫

V

∂t

(ρvi) dV = −

V

∂xj

(ρvivj ) dV +

V

∂σij ∂xj

dV +

V

ρgi dV.

Essa equação deve ser válida para volumes de controle de qualquer dimensão, inclusive para volumes infinitesimais. Considerando um volume infinitesimal e dividindo a equação resultante por dV, encon- tramos: ∂ ∂t

(ρvi) = −

∂xj

(ρvivj ) +

∂σij ∂xj

• ρgi.

Reagrupando os termos:

∂ ∂t

(ρvi) +

∂xj

(ρvivj ) =

∂σij ∂xj

• ρgi. (1.19)

Na forma vetorial:

∂ ∂t

(ρv) + div (ρvv) = div σ + ρg.

12 [CAP: 1. EQUAÇÕES BÁSICAS DOS ESCOAMENTOS COMPRESSÍVEIS

O membro esquerdo da Eq. 1.19 simplifica-se conforme abaixo:

∂ ∂t

(ρvi) +

∂xj

(ρvivj ) = ρ ∂vi ∂t

• vi ∂ρ ∂t

• ρvj ∂vi ∂xj

• vi ∂ρvj ∂xj

ρ

∂t

• vj

∂xj

vi + vi

∂ρ ∂t

∂ρvj ∂xj

ρ

Dvi Dt

• vi

∂ρ ∂t

∂ρvj ∂xj

A expressão que se encontra dentro do último par de parênteses acima é igual a zero em virtude da equação da continuidade (Eq. 1.10). A Eq. 1.19 toma portanto a forma:

Dvi Dt

ρ

∂σij ∂xj

• gi. (1.20)

Na forma vetorial: Dv Dt

ρ

div σ + g.

1.5 Propriedades do Tensor de Tensões

1.5.1 Simetria do tensor de tensões

Fluidos nos quais os torques internos resultam do momento de for- ças aplicadas externamente ao fluido apenas denominam-se fluidos apolares. As partículas de um fluido polar são capazes de transmi- tir e de resistir a torques. Enquadram-se nessa classe alguns fluidos poliatômicos e alguns fluidos não newtonianos. Para o caso de fluidos apolares ou fazemos a hipótese de que as partículas do meio não resistem a torque, o que resulta na simetria do tensor de tensões, ou admitimos a simetria do tensor e concluí- mos que as partículas do fluido não resistem a torque. Admitimos aqui a primeira hipótese e mostramos que σ é simétrico. O trata- mento apresentado nessa secção segue, em linhas gerais, o proposto por Aris (1990) [2]. Em virtude da hipótese de serem os torques aplicados ao fluido resultantes apenas das forças externas, temos que a taxa de acúmulo