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2 º Sem/20 21
MATERIAL DE APOIO
a- Equações em Diferenças
1 – DEFINIÇÃO
São equações que expressam o valor de uma de-
terminada variável em função de seus próprios va-
lores defasados, do tempo e de outras variáveis.
Exemplos:
𝑡+ 1
𝑡
𝑡
𝑡− 1
𝑡+ 2
𝑡+ 1
Classificação das Equações em Diferenças:
Classificação pela quantidade de argumentos
independentes:
- Equação em Diferença Ordinária - uma variável
independente:
𝑡+ 1
𝑡
- Equação em Diferença Parcial - duas ou mais va-
riáveis independentes:
𝑡+ 1
𝑡
𝑡
Classificação pela linearidade:
𝑡+ 2
𝑡+ 1
𝑡
𝑡+ 2
𝑡+ 1
𝑡
2
Classificação pela Homogeneidade:
𝑡+ 1
𝑡
𝑡+ 2
𝑡+ 1
𝑡
Classificação pela ordem da maior diferença:
𝑡+ 1
𝑡
𝑡+ 2
𝑡+ 1
𝑡
𝑡+ 3
𝑡+ 1
𝑡
2 – EQUAÇÃO EM DIFERENÇA DE PRIMEIRA
ORDEM
É uma equação do tipo:
1
𝑡
0
𝑡− 1
Quando 𝑔(𝑡) = 0 temos uma equação de primeira
ordem homogênea:
1
𝑡
0
𝑡− 1
Que pode ser escrito como:
𝑡
𝑡− 1
0
1
𝑡
𝑡− 1
Suponha que num determinado instante 𝑦
0
a solu-
ção dessa equação é igual a um determinado valor
A. Temos:
1
0
2
1
2
3
2
2
3
E assim sucessivamente.
Sendo assim, a solução geral da equação de 1° or-
dem, homogênea, é dada por:
𝒕
𝒕
𝒂 𝟎
𝒂 𝟏
Exemplos:
𝟏) 𝟒𝒚
𝒕
𝒕−𝟏
= 𝟎
2 º Sem/20 21
MATERIAL DE APOIO
a- Equações em Diferenças
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡
𝟐) 𝒚 𝒕
− 𝟎, 𝟐𝟓𝒚
𝒕−𝟏
= 𝟎
𝑡
𝑡
𝟑) 𝟐𝟒𝒚 𝒕
𝒕−𝟏
= 𝟎
𝑡
𝑡
𝟒) 𝒚 𝒕+𝟏
𝒕
= 𝟎
𝑡
𝑡
Equações com condição inicial (𝑡
∗
∗
𝟓) 𝒚 𝒕
𝒕−𝟏
∗
∗
Obs.: Em alguns livros usa-se a seguinte notação:
∗
∗
𝟎
𝑡
𝑡
𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙
Substituindo a condição inicial temos:
0
𝑡
𝑡
𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
Equações não Homogêneas:
É uma equação do tipo:
1
𝑡
0
𝑡− 1
A solução geral será dada por:
𝑡
𝑡𝐻
𝑡𝑁𝐻
Onde:
𝑡𝐻
− 𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔ê𝑛𝑒𝑎
𝑡𝑁𝐻
− 𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑛ã𝑜 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔ê𝑛𝑒𝑎
A solução da parte não homogênea, envolve a uti-
lização de um chute, no mesmo estilo da função
𝟔) 𝟐𝒚
𝒕
𝒕−𝟏
= −𝟐
( 𝒕
∗
∗
) = (𝟎, −𝟏)
Solução da parte homogênea:
𝑡
𝑡
Solução da parte não homogênea:
Chute: 𝒚
𝒕
Defasando um período temos:
𝑡− 1
Substituindo no enunciado:
A solução geral será dada por:
𝑡
𝑡
Usando a condição inicial temos:
0
𝑡
𝑡
𝟕) 𝟑𝒚
𝒕
𝒕−𝟏
∗
∗
Solução da parte homogênea:
𝑡
𝑡
Solução da parte não homogênea:
Chute: 𝒚
𝒕
2 º Sem/20 21
MATERIAL DE APOIO
a- Equações em Diferenças
- Se k = 1⇒ a equação será convergente
Ex.: 𝑦
𝑡
𝑡
- Se 0 < k < 1⇒ a equação será convergente,
não oscilatória
Ex.: 𝑦 𝑡
1
2
𝑡
- Se - 1 < k < 0⇒ a equação será convergente,
oscilatória
Ex.: 𝑦
𝑡
1
2
𝑡
- Se k = - 1 ⇒ a equação será divergente, osci-
latória
Ex.: 𝑦
𝑡
𝑡
- Se k < - 1 ⇒ a equação será divergente, osci-
latória
Ex.: 𝑦
𝑡
𝑡
Resumindo temos:
- 𝑆𝑒 |𝑐| < 1 ⇒ 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 é 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
- 𝑆𝑒
| 𝑐
|
1 ⇒ 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 é 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
3 – EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
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MATERIAL DE APOIO
a- Equações em Diferenças
A – Calcule as equações em diferenças abaixo:
1 ) 2 𝑦 𝑡
− 4 𝑦
𝑡− 1
= 3 𝑦
𝑜
=
1
2
2 ) 3 𝑦 𝑡
− 3 𝑦
𝑡− 1
= − 7 𝑦
𝑜
= 3
3 ) 2 𝑦 𝑡− 1
𝑡
= 0 𝑦
𝑜
= 2
4 ) 3 𝑦 𝑡
− 9 𝑦
𝑡− 1
𝑜
=
1
3
5 ) 6 𝑦 𝑡
𝑡− 1
− 3 = 0 𝑦
𝑜
= 1 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑦
2
6 ) 𝑦 𝑡
−
1
4
𝑦
𝑡− 1
= 2 𝑡 𝑦
𝑜
= 10
7 ) 2 𝑦 𝑡
− 2 𝑦
𝑡− 1
= 3 𝑡 𝑦
𝑜
= 10
8 ) 2 𝑦
𝑡
− 𝑦
𝑡− 1
= 2 𝑡 − 1 𝑦
𝑜
= 10
9 ) 3 𝑦 𝑡
− 𝑦
𝑡− 1
= 4 𝑡 + 2 𝑦
𝑜
= 10
B – Faça uma análise da Trajetória temporal das equa-
ções abaixo. Indique, para cada item, se a equação pos-
sui trajetória convergente (ou divergente) e oscilatória
(não oscilatória)
01 ) 2 𝑦
𝑡
− 4 𝑦
𝑡− 1
= 3 𝑦
𝑜
=
1
2
2 ) 2 𝑦 𝑡− 1
𝑡
= 0 𝑦
𝑜
= 2
3 ) 2 𝑦
𝑡
− 𝑦
𝑡− 1
= 2 𝑡 − 1
RESPOSTAS
Parte A
1 )𝑦 𝑡
= 2
( 2
)
𝑡
−
3
2
2 )𝑦 𝑡
= 3 −
7
3
t
3 )𝑦 𝑡
= 2 (
− 1
3
)
𝑡
4 )𝑦
𝑡
= (− 3 )
𝑡
4
3
5 )
4
9
6 )𝑦
𝑡
=
98
9
(
1
4
)
𝑡
−
8
9
8
3
𝑡
7 )𝑦
𝑡
= 10 +
3 𝑡
2
4
3
4
𝑡
8 ) 𝑦
𝑡
= 13 (
1
2
)
𝑡
9 ) 𝑦
𝑡
= 10 (
1
3
)
𝑡
Parte B
01 ) 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑛ã𝑜 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑎
02 )𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑎
03 ) 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑛ã𝑜 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑎
