Física 3 (EMB5043): Equações de Maxwell e
ondas eletromagnéticas
MATERIAL DE APOIO PARA CURSO PRESENCIAL
Prof. Diego Alexandre Duarte
Universidade Federal de Santa Catarina | Centro Tecnológico de Joinville
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Equações de Maxwell para o eletromagnetismo, Esquemas de Eletromagnetismo
O arquivo traz as equações de Maxuwel para o eletromagnetismo
Tipologia: Esquemas
2022
Compartilhado em 14/04/2025
usuário desconhecido 🇧🇷
1 / 22
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Física 3 (EMB5043): Equações de Maxwell e
ondas eletromagnéticas MATERIAL DE APOIO PARA CURSO PRESENCIAL
Prof. Diego Alexandre Duarte
Universidade Federal de Santa Catarina | Centro Tecnológico de Joinville
Sumário • Lei de Gauss^ • Campos elétricos• Campos magnéticos • Lei de Faraday• Lei de Ampère^ • Corrente de deslocamento • Equações de Maxwell• A equação da onda^ • Cálculo da velocidade da luz • Ondas eletromagnéticas^ • Natureza• Produção• Oscilador de Hertz
Lei de Gauss CAMPOS ELÉTRICOS A lei de Gauss no formato integral para campos elétricos é dada por:que podemos reescrever no formato diferencial com auxílio do teorema da divergência:
0 S
q E dA ⋅ = ε
(^ )^
q
E dA^
E dV^
E dV
⋅^ =^
∇⋅^
∴^ ∇⋅
∫^
∫^
^ ^
^
^
em que^ q^ pode ser escrito em função da densidade de carga confinada dentro da superfíciegaussiana fechada que delimita o volume
dV :
indicando que a divergência do campo fornece a intensidade de alguma grandezarelacionada com a produção deste campo,
(^ )^^ i.e. , mede a magnitude da fonte:
(^ )^
0
V^
V
S
q
E dA^
E dV^
E dV^ ε
⋅^ =^
∇⋅^
∴^ ∇⋅
∫^
∫^
^ ^
^
^
(^ )^
V^
V
E dV^
dVρ ε
∇⋅^ =∫
^
Lei de Gauss CAMPOS ELÉTRICOS
(^ )^
V^
V
E dV^
dVρ ε
∇⋅^ =∫
^ ^ E^
^ ρ ∇⋅^ =^ εε^0
Lei de Faraday A lei de Faraday no formato integral é dada por:que podemos reescrever no formato diferencial com auxílio do teorema do rotacional:
B C^
S
E dl^
B dA
∂Φ^ ∂^ t^ t
⋅^ = −^
= −^
∂^ ∂
∫^
^
^
( )^
(^ )^
∫^
∫^
∫^
^ ^
^
^
^
^
^
que permite ser escrito como:
(^ )^
(^ )
S^
S
C^
S
E dl^
E^ dA^
E^ dA^
∂ B dA^ t
⋅^ =^
∇×^ ⋅^
∴^ ∇×
⋅^ = −
⋅^ ∂
∫^
∫^
∫^
^ ^
^
^
^
^
^
B ∂ E t
∇×^ = −
Lei de Ampère A lei de Ampère no formato integral é dada por:que podemos reescrever no formato diferencial com auxílio do teorema do rotacional:
0
B dl^ C
iμ ⋅ =
(^ )
∫^
∫^
^ ^
^
^
^
^
em que^ i^ pode ser escrito em função da densidade de corrente
J :
indicando que o rotacional do campo magnético representa a densidade de corrente queatravessa a área delimitada pela curva fechada C.
(^ )^
(^ )^
0
S^
S
B dl^ C
B^ dA^
B^ dA^
iμ
⋅^ =^
∇×^ ⋅^
∴^ ∇×
⋅^ =
∫^
∫^
^ ^
^
^
^
^
(^ )^
0 S^
S
B^ dA^
J^ dAμ
∇×^ ⋅^
=^ ⋅
∫^
^ ^
^
Lei de Ampère CORRENTE DE DESLOCAMENTO
Durante o carregamento de um capacitor com vácuo entre asplacas é observado que existe um campo magnético circular,assim como o produzido em torno da fiação externa. Porém,entre as placas não existe corrente elétrica; desta forma, comoé possível explicar a produção de um campo circular por meioda lei de Ampère?
A reposta é: o modelo está incompleto e precisa ser corrigido. A carga acumulada nas placas é:o que permite escrever que a variação de fluxo elétrico entreas placas produz uma corrente fictícia
A 0 0 i :d q^ CV^ ε^ V^ AEε^ d =^ =^
= AE ( )^ E 0 0
q^ i^ t^ ∂^ ∂Φ ε εt^ t ∂^ =^ =^
= ∂^
∂^ ∂
Lei de Ampère CORRENTE DE DESLOCAMENTO chamada de corrente de deslocamento. Assim, a lei de Ampère entre as placas fica escritacomo: No caso geral fica escrita como (equação conhecida como lei de Ampère-Maxwell):
0 0 0
E d
B dl^ C
i^
t
μ^ μ ε
⋅^ =^
=^ ∂
Para obter o formato diferencial da lei de Ampère-Maxwell, aplicamos o teorema dorotacional:
0 0 0
E B dl^ C
i^
t μ^ μ ε^
∂Φ ⋅^ =^
+^ ∂
0 0 0
E B^ J^
t μ^ μ ε
∂ ∇×^ =^
+ ∂ ^ ^
A equação da onda^ CÁLCULO DA VELOCIDADE DA LUZ Analisando as equações no vácuo, não temos a presença de cargas elétricas nem a presençade corrente de condução. Desta forma, as equações são reduzidas para:
^ ^0^ E ∇⋅^ = ^ ^0 B ∇⋅^ =^ ^ ^ B^ ∂ ∇×^ = −
Lei de Gauss para campos elétricosLei de Gauss para campos magnéticos
Por simplicidade, consideraremos que os campos se propagam ao longo da direção
z :
B ∂ E t^ E B μ ε 0 0 t ∇×^ = −
∂^ ∂ ∇×^ =^
∂ ^
^
Lei de FaradayLei de Ampère-Maxwell ( ) (
,^ e^
E^ E z t
B^
B z t
=^
^ ^
^
A equação da onda^ CÁLCULO DA VELOCIDADE DA LUZ
(^00)
(^00) ˆ^ ˆ^ ˆ
EE E^ yx z yx z E^ x^
y^ z BB B B^ x^
y^ z = = x y z ∂∂ ∂ ∇⋅^ =^
+^ +^
= ∂^ ∂^
∂ ∂ ∂^
∂ ∇⋅^ =^
+^ +^
= ∂^ ∂^
∂ ^ ^
^
0 0 ˆ^ ˆ^ ˆ
ˆ^ ˆ^
ˆ^ ˆ^
ˆ
ˆ^ ˆ^ ˆ
ˆ^ ˆ^
ˆ^ ˆ y^
y x^
x^
z
x^ y^ z
y^
y x^
x^
z
x^ y^ z x^ y^ z
E^
B E^
B^
B y^ x^
x^ y^
z
x^ y^ z
z^
z^ t
t^
t
E^ E^ E x^ y^ z
B^
E B^
E^
E
y^ x^
x^ y
x^ y^ z
z^
z^
t^ t
B^ B^ B
∂^ ∂^ μ ε ∂^
∂^
∂
∂^ ∂^ ∂
=^ −
= −^
−^ −
∂^ ∂^ ∂
∂^
∂^ ∂
∂^
∂ ∂^
∂ ∂^
∂^
∂
∂^ ∂^ ∂
=^ −
=^
+^ +
∂^ ∂^ ∂
∂^
∂^
∂^ ∂^
ˆ z ∂ t ^
^
^
^
^
A equação da onda^ CÁLCULO DA VELOCIDADE DA LUZ
0 0 ˆ^ ˆ^
ˆ^ ˆ ˆ^ ˆ^
ˆ^ ˆ y^
y x^ x y
y x^
x E^
B E^ Bx y^
x^ y z^ z^
t^ t B^
E B^
E x^ y^
x^ y z^ z^
μ εt^ t ∂^
∂ ∂^ ∂ − + = −^
− ∂^ ∂^
∂^ ∂^ ^
∂^
∂ ∂^
∂^
^
−^ +^
=^
+ ∂^ ∂^
∂^ ∂
o que fornece: e permite escrever os dois sistemas de equações:
E^ ∂ B ∂^ y^ x = z^ t ∂^ ∂^ E ∂ B ∂^ yx^ μ ε =^0 0^ z^ t ∂^ ∂^
B ∂ E ∂^ yx = − z t ∂ ∂ B ∂ E ∂ y x μ ε = − 0 0 z t ∂ ∂
A equação da onda^ CÁLCULO DA VELOCIDADE DA LUZ Tomando a derivada no primeiro par de equações em relação ao tempo
t^ e a coordenada
z ,
obtemos:
2 2 2
2 y^ 2 0 0
E^ Bx^ yx
t^ z^ t
E
∂^ ∂=∂ ∂^ ∂ ∂ B^ ∂^ μ ε =
2 2 2
2 y^ 2 0 0
E^ Bx z^ z t^ EB^ yxμ ε
∂^ ∂=∂^ ∂ ∂
∂^ =
As derivadas mistas são simétricas. Isso significa que:Logo, obtemos as equações:
μ ε =^0 02 z z^ t ∂ ∂ ∂^2
0 2 E E ∂ ∂ y y = t z z t ∂ ∂ ∂ ∂
μ ε =^0 2 t z t
∂ ∂^
Ondas eletromagnéticas NATUREZA A onda eletromagnética é um fenômeno auto sustentado, pois a variação do campo elétricocria o campo magnético e a variação do campo magnético cria o campo elétrico.Na figura abaixo, o campo magnético
B^ oscila no eixo
x^ e o campo elétrico
E^ oscila no eixo
y , com ambos se propagando pelo eixo
z^ com velocidade
v , conforme demonstramos. https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/o-que-sao-ondas-eletromagneticas.htm