Notas de aula: Física D – Prof. Alexandre Cotta
Energia mecânica no MHS
ENERGIA TOTAL APLICADA AO SISTEMA MASSA-MOLA
A energia mecânica de um determinado sistema pode ser escrita por:
𝐸𝑚= 𝐾 + 𝑈 (1)
em que K é a energia cinética e U é a energia potencial.
Sabemos que em um sistema conservativo, a energia mecânica se conserva (não varia no tempo).
De forma geral, a energia cinética pode ser escrita por:
𝐾 = 1
2𝑚𝑣2 (2)
Para o sistema massa-mola, cuja solução é 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡+δ), portanto, temos que:
𝐾 = 1
2𝑚(𝑑𝑥
𝑑𝑡)2 (3)
𝑣𝑥= −𝐴𝑤𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡+ δ) (4)
𝐾 = 1
2𝑚𝐴2𝑤2𝑠𝑒𝑛2(𝑤𝑡 + δ) (5)
Já a energia potencial, para um sistema temos que a força 𝐹(𝑥)= −𝑑𝑈
𝑑𝑥 → 𝑈(𝑥) = ∫𝐹𝑑𝑥
Como vimos que a força é dada pela lei de Hooke, onde 𝐹(𝑥)= −𝑘𝑥, temos:
𝑈(𝑥) = 1
2𝑘𝑥2 (6)
Note que a energia potencial é uma função quadrática representando a equação de uma parábola.
Logo:
𝑈(𝑥) = 1
2𝑚𝐴2𝑤2𝑐𝑜𝑠2(𝑤𝑡 + δ) (7)
Portanto, combinando as equações (5) e (7) com a equação (1):
𝐸𝑚= 𝐾 + 𝑈 = 1
2𝑚𝐴2𝑤2𝑠𝑒𝑛2(𝑤𝑡+δ)+1
2𝑚𝐴2𝑤2𝑐𝑜𝑠2(𝑤𝑡 + δ) (8)
Sabendo que: 𝑐𝑜𝑠2(𝜃)+𝑠𝑒𝑛2(𝜃)= 1, então:
𝐸𝑚=1
2𝑚𝐴2𝑤2 (9)
ou
