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MNPEF - Polo IFRN - Campus Natal/Central
Prof. Tibério Alves, D. Sc.
Eletromagnetismo - Aula 01
Coordenadas curvilíneas
15 de fevereiro de 2018
Resumo Neste aula, vamos deduzir os operadores do cálculo vetorial para coordenadas curvilíneas ortogonais generalizadas e estudar os casos de interesse, ou seja, as coordenadas cilíndricas e esféricas.
1 Coordenadas Curvilíneas Ortogonais
Considere um conjunto de três curvas caracterizadas pelos parâmetros u, v e w, interceptando- se mutuamente de maneira ortogonal num dado ponto P (veja figura 1 a seguir), definindo a posição ~r. Os vetores eˆ u , eˆ v e ˆe w são vetores unitários tangentes as curvas mencionadas no ponto P e definem um sistema dextrogiro, de tal forma que definem um volume unitário, ou seja,
e ˆ u × eˆ v · ˆe w = 1. (1)
Figura 1: Sistema cartesiano ortogonal e conjunto de curvas ortogonais no ponto P com seus respectivos vetores tangentes unitários.
O vetor posição ~r pode ser escrito tanto em termos dos versores cartesianos, que comumente é dado por ~r = xˆi + yˆj + z zˆ, como também pelos parâmetros u, v e w, isto é,
~r = ~r(u, v, w). (2)
Perceba que se derivarmos ∂~r/∂u, encontraremos um vetor tangente a curva definida pelo parâmetro u. O mesmo para os parâmetros v e w. Sendo assim, para encontrarmos o vetor
tangente unitário, basta dividirmos essa quantidade pela sua norma |∂~r/∂u|, ou seja,
e ˆ u =
∂~r ∣∂u ∣∣ ∣
∂~r ∂u
onde, por simplicidade, definiremos h u = |∂~r/∂u|. Sendo assim,
e ˆ u =
h u
∂~r ∂u ˆe v^ =^
h v
∂~r ∂v ˆe w^ =^
h w
∂~r ∂w.^ (4) Vale notar neste momento que os parâmetros u, v e w não são necessariamente o comprimento ao longo de suas respectivas curvas, como acontece nas coordenadas cartesianas ortogonais. Sendo assim, vamos nos referir a uma função s u (função unicamente do parâmetro u), por exemplo, para tratar comprimentos ao longo da curva com parâmetro u. Por outro lado, podemos escrever também o vetor unitário no ponto P tangente a curva u da seguinte maneira
ˆe u = ∂~r ∂s u
ou seja, derivando ~r em relação ao comprimento na curva u. Aplicando a regra da cadeia, temos que
∂~r ∂u =^
∂~r ∂s u
ds u du.^ (6) ∂~r ∂u = ˆe u^ ds u du
Comparando a equação 7 com a equação 4, chegamos a conclusão que
h u ˆe u = ds u du ˆe u ,^ (8) de tal maneira que
ds u = h u du, (9)
e analogamente para os demais parâmetros
ds v = h v dv (10)
ds w = h w dw. (11)
1.1 Gradiente
Podemos analisar o conceito de gradiente de uma função de várias variáveis como uma extensão da definição de diferencial exata de uma função de uma variável, por exemplo, f (x), ou seja, df = (^) dxdf dx. Para uma função ϕ que dependa de mais de uma variável (campo escalar), temos que
∇ϕ · d~r = dϕ, (12)
onde dϕ é a variação do campo escalar ϕ entre ~r e ~r + d~r, ou seja, ϕ(~r + d~r) − ϕ(~r), com d~r sendo um vetor de comprimento infinitesimal. ∇ϕ é o gradiente do campo escalar ϕ que indica a direção e sentido da maior variação do campo escalar ϕ no espaço com seu módulo indicando a intensidade desta variação. O vetor d~r, que em coordenadas cartesianas é facilmente reconhecido por d~r = dxˆi + dyˆj + dz zˆ, toma a seguinte expressão geral para um conjunto ortogonal
d~r = ds u ˆe u + ds v eˆ v + ds w ˆe w , (13)
d~r = h u du ˆe u + h v dv eˆ v + h w dw ˆe w. (14)
eˆ v h v
∂v (f u ˆe u ) = f u h v ˆe v ·
[
h u
∂^2 ~r ∂u∂v
∂~r ∂u
∂v
h u
)]
ˆe v h v
∂v (f u ˆe u ) = f u h v h u e ˆ v ·
∂v (ˆe v h v ) +
f u :^0 h v h u ˆe v · ˆe u h u
∂v
h u
ˆe v h v
∂v (f u ˆe u ) = f u h v h u e ˆ v ·
∂u (ˆe v h v ), (31)
ˆe v h v
∂v (f u ˆe u ) = f u h v h u e ˆ v · ˆe v ∂h v ∂u
f u *^0 h v e ˆ v · ∂ˆe v ∂u
ˆe v h v
∂v (f u eˆ u ) = f u h v h u
∂h v ∂u
o que, de maneira análoga, nos permite afirmar que
ˆe w h w
∂v (f u eˆ u ) = f u h w h u
∂h w ∂u
Juntando todas as parcelas, o cálculo para o diverte da componente u do campo vetorial f~ é dado por
∇ · (f u eˆ u ) =
h u
∂f u ∂u
f u h v h u
∂h v ∂u
f u h w h u
∂h w ∂u
Esta última equação pode ser compactada por um regra da cadeia, ou seja,
∇ · (f u ˆe u ) =
h u h v h w
∂u (f u h v^ h w )^ ,^ (36)
o que de forma análoga nos permite escrever a divergência para os demais componentes do campo vetorial f~
∇ · (f v ˆe v ) = 1 h u h v h w
∂v (f v h u h w ) , (37)
∇ · (f w ˆe w ) =
h u h v h w
∂w (f w h u h v ). (38)
Sendo assim, a divergência em coordenadas curvilíneas ortogonais generalizadas é dada por
∇ · f~ =
h u h v h w
[
∂u (f u h v^ h w ) +^
∂v (f v^ h u h w ) +^
∂w (f w h u h v^ )
]
1.3 Rotacional
Vamos começar reconhecendo que o rotacional de um campo vetorial f~ , em coordenadas curvilíneas ortogonais, é dado por
∇ × f~ =
eˆ u h u
∂u
ˆe v h v
∂v
ˆe w h w
∂w
× (f u ˆe u + f v ˆe v + f w ˆe w ). (40)
Para simplificar o trabalho algébrico, vamos calcular inicialmente apenas a componente na direção de eˆ u , ou seja, os termos provenientes de ( ˆe v h v
∂v
× (f w ˆe w ) , (41) ( ˆe w h w
∂w
× (f v ˆe v ). (42)
Calculando inicialmente o primeiro termo temos ( ˆe v h v
∂v
× (f w ˆe w ) = ˆe v h v
×
[
e ˆ w^ ∂f w ∂v
]
ˆe v h v
∂v
× (f w ˆe w ) = ˆe v h v^ ×^ eˆ w
∂f w ∂v +^
f w h v^ ˆe v^ ×^
∂v
h w
∂~r ∂w
eˆ v h v
∂v
× (f w ˆe w ) = eˆ u h v
∂f w ∂v
f w h v e ˆ v ×
[
h^2 w
∂~r ∂w
h w
∂^2 ~r ∂w∂v
]
ˆe v h v
∂v
× (f w ˆe w ) = ˆe u h v
∂f w ∂v
[
− ˆe w h w
h w
∂w (h v ˆe v )
]
ˆe v h v
∂v
× (f w eˆ w ) = ˆe u h v
∂f w ∂v +^
f w h v^ ˆe v^ ×
[
ˆe w h w^ +^
h v h w
∂ˆe v ∂w +
ˆe v h w
∂h v ∂w
]
eˆ v h v
∂v
× (f w eˆ w ) =
h v
∂f w ∂v
f w h v h w
ˆe u , (48)
onde usamos o fato que ˆe v × eˆ w = ˆe u , ˆe v × eˆ v = 0 e ˆe v × ∂ˆe v ∂w
Calculando o segundo termo^1 temos ( ˆe w h w
∂w
× (f v eˆ v ) = ˆe w h w
×
[
ˆe v ∂f v ∂w
]
ˆe w h w
∂w
× (f v eˆ v ) =
h w
∂f v ∂w
f v h w h v
ˆe u , (50)
de tal forma que o componente vetorial u do rotacional de f~ é dada por
( ∇ × f~
u e ˆ u =
f v h w h v^ −^
f w h v h w^ +^
h v
∂f w ∂v −^
h w
∂f v ∂w
e ˆ u , (51)
( ∇ × f~
u ˆe u =
h v h w
[
∂v (h w f w ) −
∂w (h v f v )
]
ˆe u , (52)
e de forma análoga para as demais componentes do rotacional,
( ∇ × f~
v ˆe v = 1 h u h w
[
∂w (h u f u ) − ∂ ∂u (h w f w )
]
ˆe v , (53)
( ∇ × f~
w ˆe w =
h u h v
[
∂u (h v^ f v^ )^ −^
∂v (h u f u )
]
ˆe w , (54)
Concluímos então que o rotacional de um campo vetorial f~ em coordenadas curvilíneas ortogonais é dado por
∇ × f~ =
h v h w
[
∂v (h w f w ) −
∂w (h v f v )
]
ˆe u +
h u h w
[
∂w (h u f u ) −
∂u (h w f w )
]
e ˆ v + 1 h u h v
[
∂u (h v^ f v^ )^ −^
∂v (h u f u )
]
e ˆ w.
1.4 O Laplaciano
O Laplaciano pode ser determinado através da expressão da divergência. Basta fazer f~ = ∇ϕ na expressão 39. Ou seja,
∇^2 ϕ =
h u h v h w
[
∂u
h v h w h u
∂ϕ ∂u
∂v
h u h w h v
∂ϕ ∂v
∂w
h u h v h w
∂ϕ ∂w
)]
(^1) Deixo o leitor fazer o desenvolvimento.
2.1 Elementos de volume e área
Para um volume infinitesimal dV , defino pelas curvas u, v e w, temos que
dV = ds u ds v ds w. (68)
Usando as equações 9, 10 e 11 para as coordenadas cilíndricas, podemos escrever que o elemento de volume infinitesimal nestas coordenadas é dado por
dV = h u duh v dvh w dw = h ρ h φ h z dρdφdz = ρdρdφdz. (69)
Figura 3: Sistema de coordenadas cilíndricas.
Os elementos de área são obtidos fazendo um dos incrementos diferenciais ds igual a 1 e sua respectiva coordenada uma constante na equação acima. Por exemplo, para uma superfície cilíndrica com eixo de simetria coincidindo com o eixo z, ρ = R, com R sendo o raio do cilindro e dρ = 1. Neste caso, o elemento de área é dado por
da 1 = Rdφdz. (70)
Para uma superfície defina por qualquer plano onde z = cte, dz = 1, temos que o elemento de área é dado por
da 2 = ρdρdφ. (71)
Para uma superfície defina por qualquer plano onde φ = cte, ρdφ = 1, temos que o elemento de área é dado por
da 3 = dρdz. (72)
3 Coordenadas esféricas
Deixemos como exercício para o leitor mostrar que os parâmetros h r , h θ e h φ são dados por
h r = 1 h θ = r h φ = r sin θ, (73)
e que podemos escrever o gradiente, divergente, rotacional e Laplaciano como se segue,
∇ϕ = ∂ϕ ∂r rˆ +^1 r
∂ϕ ∂θ θˆ + 1 r sin θ
∂ϕ ∂φ φ ,ˆ (74)
∇ · f~ =
r^2
∂r
r^2 f r
r sin θ
∂θ (f θ^ sin^ θ) +^
r sin θ
∂f φ ∂φ ,^ (75)
∇ × f~ =
r sin θ
[
∂θ (f φ sin θ) − ∂f θ ∂φ
]
ˆr +
r sin θ
[
∂f r ∂φ − sin θ
∂r (rf φ )
]
ˆθ +^1 r
[
∂r (rf θ ) − ∂f r ∂θ
]
φ ,^ ˆ (76)
∇^2 ϕ =
r^2
∂r
r^2 ∂ϕ ∂r
r^2 sin θ
∂θ
sin θ ∂ϕ ∂θ
r^2 sin^2 θ
∂^2 ϕ ∂φ^2
3.1 Elementos de volume e área
De forma análoga ao que foi feito em coordenadas cilíndricas, mostre que o volume infinitesimal dV em coordenadas esféricas (veja a figura 4 a seguir) é dado por
dV = h u h v h w dudvdw = h r h θ h φ drdθdφ = r^2 sin θdrdθdφ, (78)
e que os elementos de área são,
- Para superfície esférica de raio R, dr = 1, da 1 = R^2 sin θdθdφ.
- Para cones definidos por θ = cte, rdθ = 1, da 2 = r sin θdrdφ.
- Para planos definidos por φ = cte, r sin θ = 1, da 3 = rdrdθ.
(a) (b)
Figura 4: Em (a) temos as coordenadas esféricas e seus versores. Em (b) temos o elemento infinitesimal de volume em coordenadas esféricas.
