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CAPÍTULO 01
Circuitos em Corrente Contínua
Neste capítulo será estudado o comportamento de circuitos elétricos com
carga puramente resistiva e alimentada por um gerador elétrico de corrente contínua.
Serão introduzidos conceitos sobre: corrente, tensão e potência elétrica, característica de
bipolos elétricos, as leis de Kirchhoff e análise de malhas. Para fixar os conceitos
introduzidos serão apresentados exercícios com respostas, propostos e de provas antigas.
pelo fato de não ser o escopo aqui desejado, não é apresentada uma sucinta demonstração
das equações e métodos utilizadas.
1-01 DEFINIÇÕES BÁSICAS E ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS
DEFINIÇÕES BÁSICAS E CONVENÇÕES.
⇒⇒⇒⇒ Bipolo Elétrico: Qualquer componente elétrico com apenas dois terminais de acesso é
denominado de bipolo elétrico. O bipolo é classificado como ativo quando gera a potência
elétrica (fontes ou geradores) e como passiva quando absorve a potência elétrica (cargas
ou receptores).
⇒ Circuito Elétrico: É uma associação qualquer de bipolos elétricos. No exemplo
apresentado na FIG. - 1.1 abaixo, temos um circuito formado pela associação de quatro
bipolos, onde B1 é um bipolo ativo (gerador ou fonte) e B2, B3 e B4 são bipolos passivos
(receptores ou cargas).
FIG. - 1.1 Exemplo de Circuito Elétrico
⇒⇒⇒⇒ Nó: O encontro de dois ou mais bipolos elétricos definem um nó no circuito. O circuito
da FIG.-1.1 possui três nós, (1,2 e 3).
⇒ Laço: Qualquer caminho fechado percorrido no circuito define um laço. No circuito da
FIG.-1.1 podemos localizar três laços: (B1, B2 e B3), (B3 e B4) e (B1, B2 e B4).
⇒⇒⇒⇒ Malha: Qualquer laço que não possui no seu interior um ou mais bipolos é definido
como malha. No circuito da FIG. - 1.1 podemos localizar duas malhas: (B1, B2 e B3) e (B
e B4), observe que o caminho formado pelos bipolos (B1, B2 e B4) é laço porem não é
malha, pois no seu interior contem o bipolo B3.
⇒ Gerador Ideal de Tensão: É um bipolo elétrico que mantém a tensão nos seus
terminais qualquer que seja a corrente elétrica solicitada. Na FIG. – 1.1 o bipolo B
simboliza um gerador ideal de tensão. A tensão também é denominada de diferença de
potencial (DDP) sendo representada no circuito por uma flecha, cuja seta indica sempre o
potencial positivo do bipolo. A unidade básica da tensão é o Volts (V) e os seus derivados
mais comuns que estão indicados na tabela abaixo:
Derivado MV KV mV μμμμ V
Valor
V
V
V
V
⇒⇒⇒⇒ Corrente Elétrica (Ampère): é um movimento ordenado de cargas elétricas no
interior de um condutor elétrico, provocada pela presença de diferença potencial (DDP)
criada por um gerador de tensão e aplicada nos seus terminais. No gerador de tensão, a
corrente convencional (carga positiva) sempre sai do terminal de potencial positivo e entra
pelo terminal de potencial negativo. A unidade básica da corrente é o Ampère (A) e os seus
derivados mais comuns estão indicados na tabela abaixo:
Derivado MA KA mA μμμμ A
Valor
A
10 A
10 A
A
⇒ Característica Elétrica: Qualquer bipolo elétrico é caracterizado pela sua função
característica dada por V = f(I), onde a variável “V” é a tensão e a variável “I” é a corrente
aplicadas nos seus terminais. Por este motivo, analisar um circuito elétrico corresponde a
ANÁLISE DE CIRCUITOS E AS LEIS DE KIRCHHOFF
Dimensionar um circuito elétrico corresponde a determinar a potência em cada
bipolo deste circuito, ou então determinar a tensão e a corrente em cada bipolo. Sempre a
soma das potências geradas ou fornecidas é igual à soma das potências dissipadas ou
recebidas.
Na teoria (análise qualitativa), estudo contemplado nas aulas teóricas, a análise de
circuitos é feita utilizando os conceitos básicos das duas leis de Kirchhoff e da característica
elétrica de bipolos, com estes conceitos é possível analisar qualitativamente qualquer
circuito elétrico. Na prática (análise quantitativa), estudo contemplado nas aulas de
laboratório, a análise de circuitos é feita utilizando instrumentos de medidas adequados,
por exemplo o “Multímetro” que é um instrumento que permite realizar vários tipos de
medidas elétricas, dentre elas as seguintes:
a) Tensão contínua: Nesta condição ele é denominado de “Voltímetro” e deve ser
inserido em paralelo com o bipolo no qual se deseja determinar a tensão. Na maioria
das aplicações ele pode ser considerado ideal, ou seja, um bipolo com resistência
interna infinita (Rint = ∞) ou um circuito aberto (corrente nula).
b) Corrente Contínua: Nesta condição ele é chamado de “ Amperímetro ” e deve ser
inserido em série com o bipolo no qual se deseja determinar a corrente. Na maioria
das aplicações ele é considerado ideal, ou seja, um bipolo com resistência interna
nula (Rint = 0) ou um curto-circuito (tensão nula).
⇒⇒⇒⇒ 1o. Lei de Kirchhoff: Em um nó (encontro de dois ou mais bipolos) qualquer do
circuito a soma algébrica das correntes é sempre igual à zero, ou seja, em qualquer nó do
circuito a soma das correntes que entram é igual a soma das correntes que saem. No
exemplo ilustrado na FIG. – 1.1 existem os nós “1, 2 e 3”, portanto aplicação desta lei
fornece as seguintes equações de correntes:
Nó 1 ⇒⇒⇒⇒ I1 = I2 ⇒ I2 – I1 = 0
Nó 2 ⇒⇒⇒⇒ I2 = I3 + I4 ⇒ I2 - I3 - I4 =
Nó 3 ⇒ ⇒⇒
I1 = I2 + I3 ⇒ I1 - I2 - I3 = 0
⇒ 2o. Lei de Kirchhoff: Em um laço (caminho fechado) qualquer do circuito a soma
algébrica das tensões é sempre igual à zero, ou seja, adotando-se um sentido de percurso
no laço o sinal será positivo se entrar pelo potencial positivo do bipolo e negativa caso
entre pelo potencial negativo. Durante o curso o sentido de percurso adotado será sempre
o “sentido horário”, observar que inverter este sentido corresponde a multiplicar por “-1” a
equação obtida. No exemplo ilustrado na FIG.-1.1 existem os laços “B1, B2 e B3”, “B3 e
B4” e “B1, B2 e B4”, portanto a aplicação desta lei fornece as seguintes equações de
tensões.
Malha (B1, B2 e B3) ⇒⇒⇒⇒ - V1 + V2 + V3 = 0
Malha (B1, B2 e B4) ⇒⇒⇒⇒ - V1 + V2 + V4 = 0
Malha (B3 e B4) ⇒⇒⇒⇒ - V3 + V4 = 0
Os circuitos (considerados no curso) serão constituídos por fontes reais de tensão
contínua (bipolo ativo) e por resistores (bipolos passivos) associados em série, paralelo ou
misto. Portanto para representar as correntes e as tensões no circuito, basta lembrar que
na fonte a corrente e a tensão concordam em sentidos e no resistor discordam.
⇒⇒⇒⇒ Característica elétrica do Resistor: O resistor é sempre um bipolo elétrico receptor
ou passivo, cuja equação característica V = f(I) é definida pela lei de Ohm que estabelece
a seguinte relação:
I
V
R ====
A tabela abaixo apresenta, de forma resumida, as principais considerações atribuídas
ao bipolo resistor:
Bipolo Característica = Potência VI Símbolo
Equação das Potências
2
V ⋅⋅⋅⋅ I ==== E ⋅⋅⋅⋅ I −−−− r ⋅⋅⋅⋅ I
Potência útil
⇒ Pu ==== V ⋅⋅⋅⋅ I
Potência gerada
Pg ==== E ⋅⋅⋅⋅ I
Potência dissipada internamente
Pd r I Vr I
2
1-02 APLICAÇÕES DOS CONCEITOS INTRODUZIDOS
A-01 Dado o circuito elétrico abaixo, pede-se:
a) Indicar no circuito os sentidos e valores das correntes e tensões.
b) O valor da potência dissipada no resistor de 10Ω.
c) O valor da potência total gerada.
Inicialmente adota-se (chute) um sentido para a corrente no circuito, em seguida
indicam-se os potenciais nos terminais de cada bipolo, respeitando a convenção de que no
receptor a corrente entra pelo terminal de potencial positivo.
Em seguida são escritas as equações correspondentes a cada malha obtendo-se
assim o sistema de equações que permite dimensionar o circuito. Neste caso o circuito é
composto por uma malha fornecendo uma equação, apresentada a seguir.
[[[[ 5 I 5 I 5 I 10 I 60 40 ]]]] = 0
⋅ → [[[[ 25 I ]]]] 60 + 40 ++
⋅ → I ====++++ 4
Como o sentido da corrente “ I “ foi “ chutado ” o sinal positivo (+) indica que o
“chute” foi no sentido correto, ou seja: I = 4 A
= no sentido indicado. Com este valor
determina-se todas as tensões e potências necessárias para o dimensionamento do circuito,
conforme os resultados apresentados a seguir.
a) Indicação e valores das correntes e tensões no circuito.
b) Potência dissipada no resistor de 10 Ω.
P V I
10
P 40 4
10
P 160 W
10
c) Potência total gerada: P 60 4 40 4
Tg
= → P 400 W
Tg
OBS:
a) Como a potência total gerada ou fornecida (bipolos geradores ou fontes) é sempre
igual à potência total recebida (bipolos receptores) é possível verificar se a solução
está correta: P 4 20 4 20 4 20 4 40
Tr
==== ⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅ → P 400 W
Tr
b) Como os resistores são percorridos pela mesma corrente estão associados em série e
podem ser substituídos por um único resistor de Ω ΩΩ
25 Ω. Generalizando pode-se
afirmar que na associação série o resistor equivalente é igual à soma dos resistores
individuais, ou que:
∑∑∑∑
eq série
R R.
c) No circuito existem 6 bipolos: 2 geradores e 4 receptores, pode-se afirmar que as
potencias fornecidas pelos geradores são recebidas (utilizadas) pelos receptores.
1-03 ANÁLISE DE KIRCHHOFF E ANÁLISE DE MAXWELL
Qualquer circuito elétrico pode ser analisado e dimensionado, conhecendo-se a
característica elétrica de cada bipolo e aplicando-se as duas leis de Kirchhoff. Assim sendo,
considere o circuito desenhado a FIG. – 1.3 e, a partir da aplicação deste conceito obtenha
o sistema de equações que permite dimensionar este circuito e em seguida os valores das
correntes assinaladas.
que disposto na forma de matrizes fornece o seguinte sistema matricial de equações:
Ic
Ia
2 K 4 K
12 K 2 K
A solução deste sistema fornece os valores das correntes de ramos Ia e Ic, obtendo-
se em seguida o valor da corrente de ramo Ib.
A análise de malhas proposta por Maxwell permite obter este sistema matricial de
equações (9) diretamente a partir do circuito dado, para isso ao invés das correntes reais
de ramos, consideram-se as correntes ( α αα
α e ββββ ) fictícias de malhas, procedendo-se da
seguinte maneira: (considere o circuito desenhado na FIG. 1.4).
FIG. – 1.4 – Representação das Correntes de Malhas
- Identificam-se todas as Malhas do circuito. (Malha α αα
α e Malha β ββ
β )
- Adotam-se obrigatoriamente todas as correntes fictícias de malhas no sentido horário
(correntes αααα
e ββββ
- Obtém-se um sistema de duas equações a duas incógnitas (menor que o de Kirchhoff),
apresentado a seguir:
ββββ
αααα
ββ ββ
αααα
βαβαβαβα ββββββββ
αααααααα αβαβαβαβ
E
E
R R
R R
Aonde os elementos em cada matriz correspondem aos valores dos resistores e
geradores que formam o circuito, assim considerados:
“ R
αα αααα
αα
” é um elemento sempre positivo e igual a SOMA das resistências que pertencem a
MALHA "
αααα
". No caso: R
αααααααα
= 10K + 2K = 12K
“ R
ββββββββ
” é um elemento sempre positivo e igual a SOMA das resistências que pertencem a
MALHA " ββββ ". No caso: R
ββββββββ
= 1K + 1K + 2K = 4K
“ R R
βα βαβα
αβ βα αβαβ
αβ
==== ” são elementos sempre negativos e iguais à resistência comum às MALHAS
" α αα
α ” e “ ββββ ". No caso: R R
αβαβαβαβ βαβαβαβα
==== = 2K
αααα
E ” é um elemento sempre igual à soma algébrica das fontes de TENSÕES que pertencem
à malha " αααα ", sendo positivo se a corrente da malha sair pelo POSITIVO da fonte e
negativo caso contrário. No caso: E
α αα
α
= + 110 V.
ββββ
E ” é um elemento sempre igual a soma algébrica das fontes de TENSÕES que pertencem
à malha " β ββ
β ", sendo positivo se a corrente " β ββ
β " sair pelo POSITIVO da fonte e negativo caso
contrário. No caso:
ββββ
E = 0. (não há gerador na malha " ββββ ").
As fictícias correntes " αααα
” e “ β ββ
β " podem ser relacionadas com as verdadeiras correntes
de ramos (Ia, Ib e Ic) da maneira como segue:
αααα
I = I
a
→ pois o ramo “a” pertence apenas à malha “ α αα
α ”
ββββ
I ==== I
c
→ pois o ramo “c” pertence apenas à malha “ ββββ ”
β ββ
α β αα
α
I = I I
b
→ pois o ramo “b” pertence simultaneamente às malhas “ α αα
α ” e “ ββββ
sendo que o sentido da corrente no ramo “b” concorda (sinal +) com o sentido da corrente
da malha “ α αα
α ” e discorda (sinal -) do sentido da corrente de malha “ β ββ
β ”.
Substituindo-se estes valores nos elementos do sistema de equações (10), obtém-se
o sistema de equações (11) que é o mesmo que o sistema de equações (9) obtido pela
análise de Kirchhoff, com a vantagem de ser construído diretamente a partir do circuito.
Ib
Ia
2 K 4 K
12 K 2 K
Cuja solução fornece os valores das correntes do circuito:
I 10 mA,I 5mA e I 5 mA
a b c
b) Potência dissipada no resistor de 10 Ω.
P V I
10
==== ⋅⋅⋅⋅ → P 40 4
10
==== ⋅⋅⋅⋅ → P 160 W
10
c) Potência total gerada
P 60 4 40 4
Tg
==== ⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅ → P 400 W
Tg
OBS: A potência total gerada ou fornecida ( bipolos geradores ou fontes) é sempre igual a
potência total recebida (bipolos receptores).
A–02 Dado o circuito elétrico abaixo, sabe-se que o resistor de 15Ω dissipa 240W, pede-
se determinar:
a) O valor da força eletromotriz “E”.
b) O valor da tensão (((( ))))
AB
V entre os pontos A e B.
c) O valor da tensão (((( ))))
CA
V entre os pontos C e A.
d) O valor da potência total dissipada.
Solução:
Equação obtida a partir da malha “ αααα ” → [[[[ 15 ++++ 2 ++++ 8 ]]]] ⋅⋅⋅⋅αααα====++++ 60 ++++ E (((( 1 ))))
Equação obtida a partir da potência → ( ((
( ) ))
)
2
R
P ==== R ⋅⋅⋅⋅ I
→ ( ((
( ) ))
)
2
240 ==== 15 ⋅⋅⋅⋅ αααα
( ((
( ) ))
) 2
Cuja solução fornece duas respostas: + 4 ++
α= αα
α ou − 4 −−
α= αα
α
É necessário verificar se as duas respostas são possíveis:
(( (( I )))) - Para αααα ====++++ 4 → [[[[ 15 ++++ 2 ++++ 8 ]]]] ⋅⋅⋅⋅ 4 ====++++ 60 ++++ E → E=40V
(( (( II ))))- Para αααα ====−−−− 4 → [[[[ 15 ++++ 2 ++++ 8 ]]]] ⋅⋅⋅⋅((((−− −− 4 )))) ====++++ 60 ++++ E → E=-160V como “E” deve assumirr um
valor positivo esta resposta deve ser descartada.
a) Cálculo do valor da tensão entre os pontos A e B. (((( ))))
AB
V
Separando o circuito em duas partes, conforme figura acima, e adotando o sentido de
percurso horário, obtêm-se os seguintes resultados:
Circuito 1 → V 15 4 8 4 60 0
AB
V 32 V
AB
Circuito 2 → 2 4 40 V 0
AB
V 32 V
AB
Os resultados são iguais, mostrando que uma vez dividido o circuito em partes, no caso
duas, o resultado independe da parte selecionada para análise, bastando equacionar uma
delas para obter a resposta procurada. Escolher para análise a parte mais simples, que
neste caso é o circuito 2.
b) O valor da tensão entre os pontos C e A. ( ((
( ) ))
)
CA
V
Adotando o sentido horário para analisar o
circuito, obtém-se o seguinte resultado:
V 60 15 4 0
CA
V 0 V
CA
OBS: Verifique que o resultado se mantém
caso se faça a análise utilizando a outra parte
do circuito.
A–04 Calcule o valor do resistor “R” no circuito abaixo para que este dissipe 240W.
Solução:
Equação obtida a partir da malha “ αααα ” → [[[[ R ++++ 4 ++++ 6 ]]]] ⋅⋅⋅⋅αααα====++++ 60 −−−− 160 (1)
Equação obtida a partir da potência fornecida → (((( ))))
2
R
P ==== R ⋅⋅⋅⋅ αααα → (((( ))))
2
240 ==== R ⋅⋅⋅⋅ αααα →
( ((
( ) ))
)
R
2
α = αα
α (2)
A equação (1) pode ser assim desenvolvida:
[[[[ R 10 ]]]] (((( )))) 10000
2 2
++++ ⋅⋅⋅⋅ αααα ==== → substituindo pela equação (2) resulta a seguinte expressão:
[[[[ ]]]] 10000
R
R 10
2
++++ ⋅⋅⋅⋅ ==== → 240 R 4800 R 24000 10000 R
2
240 R 5200 R 24000 0
2
⋅ → 3 R 65 R 300 0
2
(((( ))))
R
2
R
==== obtendo-se os seguintes resultados:
R ==== 15 ΩΩΩΩ ou ==== ΩΩΩΩ
R e como ambos são positivos atendem a exigência do enunciado.
OBS: Verifique que substituindo “R” pelos valores encontrados a potência nele dissipada é
igual a 240W.
A–05 Considere o circuito do exercício anterior e determine qual o valor da potência que o
resistor “R” deve dissipar para que se tenha uma única resposta.
Equação obtida a partir da malha “ αααα ” → [[[[ R ++++ 4 ++++ 6 ]]]] ⋅⋅⋅⋅αααα====++++ 60 −−−− 160 (1)
equação obtida a partir da potência → (((( ))))
2
R
P R α αα
⋅ α ⋅⋅
( ((
( ) ))
)
2
R
P
R
αα αα
Substituindo a equação (2) na equação (1) obtém-se a seguinte expressão:
( ((
( ) ))
)
P
2
R
α= αα
⋅α ⋅⋅
αααα
(((( ))))
( ((
( ) ))
)
P 10
2
2
R
α= αα
⋅α ⋅⋅
αααα
++++ ⋅⋅⋅⋅ αααα
( ((
( ) ))
)
P 10
2
R
αααα
α αα
⋅ α ⋅⋅
→ ( ((
( ) ))
) 10 100 P 0
R
2
⋅⋅⋅⋅ αααα ++++ ⋅⋅⋅⋅αααα++++ ====
10 0 , 1 P 0
R
2
αααα ++++ ⋅⋅⋅⋅αααα++++ ⋅⋅⋅⋅ ====
(((( ))))
10 10 4 0 , 1 P
R
2
α= αα
α →
Então para que a resposta seja única o discriminante “ ∆ ” da equação deve ser nulo,
obtendo-se o seguinte resultado:
( ((
( ) ))
) 10 4 0 , 1 P 0
R
2
0. 4 P 100
R
P 250 W.
R
OBS: Como exercício, desenhe o circuito correspondente e indique o valor da corrente e
das tensões nos bipolos.
B) – Circuitos com duas malhas.
B–01 Dado o circuito elétrico abaixo, pede-se:
a) Indicar no circuito o sentido e o valor da corrente e da tensão em cada bipolo.
b) O valor da potência dissipada no resistor de 10 Ω.
c) O valor da potência total gerada.
P 60 4 40 9 60 5
Tg
==== ⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅ → P 900 W
Tg
OBS: Como exercício, verifique o balanço de potências.
B–02 Determine o valor da resistência “R” no circuito abaixo, de forma que a tensão sobre
ela seja igual a 25V.
Há dois casos a serem considerados: Chamando de “A” e “B” os terminais do resistor “R” a
tensão sobre ele será:
a) V 25 V
AB
b) V 25 V
BA
Equações de malhas: (((( 25 )))) ⋅⋅⋅⋅ αααα−−−−(((( 0 )))) ⋅⋅⋅⋅ββββ====++++ 10 ++++ 50 ++++ 40 (1)
( ((
( ) ))
) ( ((
( ) ))
) −−−− 0 ⋅⋅⋅⋅αααα++++ R ++++ 15 ⋅⋅⋅⋅ββββ====−−−− 60 −−−− 40
Para a condição a) obtém-se a equação: β ββ
⋅β ⋅⋅
V = R
AB
→ β ββ
⋅β ⋅⋅
25 = R (3)
Combinando as equações (2) e (3) obtém-se a seguinte equação:
(((( )))) 100
R
R ++++ 15 ⋅⋅⋅⋅ ====−−−− → 25 R 375 100 ⋅ R
R = 3 → Impossível.
Para a condição b) obtém-se a equação: V ==== R ⋅⋅⋅⋅(((( −−−−ββββ))))
AB
→ 25 ==== R ⋅⋅⋅⋅(((( −−−−ββββ)))) (4)
Combinando as equações (2) e (4) obtém-se a seguinte equação:
(((( ))))
(((( ))))
R
R 15 ====−−−−
++++ ⋅⋅⋅⋅ → −−−− 25 ⋅⋅⋅⋅ R −−−− 375 ====−−−− 100 ⋅⋅⋅⋅ R → R ==== 5 ΩΩΩΩ.
OBS: Como exercício, verifique o balanço de potências e determine a tensão (((( ))))
CA
V entre
os pontos “C e A”.
1-04 EXERCÍCIOS PROPOSTOS COM RESPOSTAS.
E–01 Dado o circuito abaixo pede-se determinar:
a) Os valores das correntes Ia e Ib.
b) O valor da tensão Va.
c) A potência dissipada em cada resistor.
d) A potência fornecida pela fonte de 50V.
Resp: Ia = 0.5 mA, Ib = 2.0 mA, Va = 160 V
E–02 Qual a potência total fornecida no circuito abaixo.
Resp: Pg = 2160 W
E–03 Dado o circuito abaixo e o valor das correntes indicadas, pede-se:
a) Os valores das correntes de malhas.
b) A tensão no resistor de 800 Ohms.
c) A potência na fonte de 23 V.
d) A potência total dissipada.
